中考数学复习方案(26)矩形、菱形、正方形(26页)

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(2)由题知△ABF、 △ADE、 △CEF 均为直角三角形， 1 1 且 AB＝AD＝4，DE＝BF＝ ×4＝2，CE＝CF＝ ×4＝2， 2 2 ∴S△AEF＝S 正方形 ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF 1 1 1 ＝4×4－ ×4×2－ ×4×2－ ×2×2 2 2 2 ＝6.
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解 析 (1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB， 1 ∵E、F 为 DC、BC 中点，∴DE＝ DC， 2 1 BF＝ BC，∴DE＝BF， 2 ∵在△ADE 和△ABF 中， AD＝AB， ∠B＝∠D， DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)．
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直角 (3)正方形四个角都是________
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判定正方形的思路图：
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考点4
定义
中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四 边形
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______ 菱形
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解 析 作CF⊥BE于F，得Rt△BCF和矩形FEDC，先证明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝CF即 可．
证明：如图，作CF⊥BE于F， ∴∠BFC＝∠CFE＝90°. ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠BED＝90°.
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命题角度： 1．矩形、菱形、正方形的性质•娄底] 如图26－4所示，在矩 形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中 点，P、Q分别是BM、DN的中点． (1)求证：△MBA≌△NDC； (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？ 请说明理由．
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点
析
中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定
的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原四
边形的对角线互相相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角 线既相等又互相垂直时，中点四边形是正方形．
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方法点析
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形
的所有性质，同时也具有特殊的性质；同时，判定矩形的方 法也是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后 再判定是矩形．
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探究二、菱形的性质及判定的应用
命题角度： 1．菱形的性质；
2．菱形的判定．
例2．[2013•盐城] 如图26－2所示，在平 行四边形ABCD中，E为BC边上的一点， 连接AE、BD且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形 ABCD是菱形．
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解 析 (1)由四边形ABCD为正方形，得到AB＝AD，∠B＝ ∠D＝90°，DC＝CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE＝ BF，进而证明出两三角形全等； (2)首先求出DE和BF的长度，再根据S△AEF＝S正方形ABCD－ S△ADE－S△ABF－S△CEF得出结果．
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菱形面积
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考点3 正方形
正方形的 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 定义 (1)正方形对边________ 平行 (2)正方形四边________ 相等 正方形的 垂直平分 (4)正方形对角线相等，互相____________，每条对角线平分一 性质 组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条， 对称中心是对角线的交点 正方形的 判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
考点2
菱形定义
菱形 邻边 有一组________相等的平行四边形是菱形
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点
菱 形 的 性 质
对称 性
定理
相等 (1)菱形的四条边________； 垂直 (2)菱形的两条对角线互相________平分，并且每条对角线平 一组对角 分______________
回 归 教 材
中点四边形 教材母题
如图26－5，在四边形ABCD中，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点．四边形EFGH是平行四 边形吗？为什么？ 图26－5
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解 析 四边形 EFGH 是平行四边形． 连接 AC.在△ABC 中， 因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点， 即 EF 是△ABC 的中位线． 1 所以 EF∥AC，EF＝ AC. 2 理由是：“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． ” 在△ADC 中， 1 同理可以得到 HG∥AC，HG＝ AC. 2 所以 EF∥HG，EF＝HG. 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 理由是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
理由：∵△MBA≌△NDC，∴BM＝DN. 连接 MN，则 MN∥AB∥CD， 得∠BNM＝∠DMN＝90°. ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点， 1 1 ∴PN＝MP＝ BM，MQ＝QN＝ DN， 2 2 ∴PN＝MP＝ MQ＝QN. ∴四边形 MPNQ 是菱形.
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中考预测
如图26－6所示，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为O， 点E、F、G、H分别为边AD、AB、 BC、CD的中点．若AC＝8，BD ＝6，则四边形EFGH的面积为 ________． 12 图26－6
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解 析
∵E、F、G、H 分别为边 AD、AB、BC、CD 的
在直角三角形中，斜边上的中线等于________的一半 斜边 (1)定义法 (2)有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的判 定
拓展
相等 (3)对角线______的平行四边形是矩形
(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形； (2)矩形的面积等于两邻边的积
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图26－4
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解 析 (1)证明： 在矩形 ABCD 中， AB＝CD， AD＝BC， ∠A＝∠C＝90°. ∵M、N 分别是 AD、BC 的中点， ∴AM＝CN. ∴△MBA≌△NDC.
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解 析
(2)四边形 MPNQ 是菱形．
(1)定义法
菱形的判 定
相等 (2)四条边________的四边形是菱形
垂直 (3)对角线互相________的平行四边形是菱形
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高 (2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分 成4个全等三角形，故菱形的面积等于两条对角线乘积的 一半 ________
第26课时
矩形、菱形、正 方形
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考 点 聚 焦
考点1
矩形定义 矩 形 的 性 质 对称 性 定理 推论
矩形 直角 有一个角是________的平行四边形叫做矩形
矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点
直 (1)矩形的四个角都是______角； 相等 (2)矩形的对角线互相平分并且______
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图26－2
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解 析 (1)要证明∠ABE＝∠EAD，由AE＝AB可得∠ABE＝ ∠AEB，从而只要证明∠EAD＝∠AEB，显然由平行四边形 ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质可证； (2)要证明四边形ABCD是菱形，而已知四边形ABCD是平行四边 形，只要证明一组邻边相等即可．
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归 类 探 究
探究一、矩形的性质及判定的应用
命题角度： 1．矩形的性质；
2．矩形的判定．
例1．[2012•扬州] 如图26－1，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA ＝90°，BE⊥AD，垂足为E. 求证：BE＝DE. 图26－1
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方法点析 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，
解 析
特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形
的判定方法有两种：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩 形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩
形．
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探究四、特殊平行四边形的综合应用
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探究三、正方形的性质及判定的应用
命题角度：
1．正方形的性质； 2．正方形的判定． 例3．[2013•鄂州] 如图26－3所示， 正方形ABCD的边长为4，E、F分别 为DC、BC中点． (1)求证：△ADE≌△ABF. (2)求△AEF的面积． 图26－3
解:
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠AEB＝∠EAD.
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