(完整版)矩形菱形正方形练习题及答案
矩形菱形正方形习题含答案
1. 在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知8CD =cm ，5BE =cm ，则AD = cm ．2.如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=，点E F ，分别从点B D ，出发以同样的速度沿边BC DC ，向点C 运动．给出以下四个结论：①AE AF =②CEF CFE ∠=∠③当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △是等边三角形④当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）3如图，四边形ABCD 为正方形，ADE △为等边三角形．AC 为正方形ABCD 的对角线，则EAC ∠= 度．4.如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A C ，作l 的垂线，垂足分别为 E F ，．若1AE =，3CF =，则AB 的长度为 ．5如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．1. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 2. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A ．24 B ．20C ．10D ．53. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ∠=，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为 ．ＦＤ Ａ ＥＣlD M N DD C FG5.如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，折叠正方形纸片 A B C D ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB AC ，于点E G ，，连结GF ．下列结论：①112.5AGD ∠=；② tan 2AED ∠=；③AGD OGD S S =△△；④四边形AEFG 是菱形；⑤2BE OG =．则其中正确结论的序号是 ．6. 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．7. 如图，菱形ABCD 中，∠BAD =60º ，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM +PB 的最小值是3，则AB 长为 ． 8. 将一正方形按如图方式分成n 个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n 的值为 A ．12 B ．10 C ．8 D ．69. 如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm10. 如果菱形的周长是8cm ，高是1cm ，那么这个菱形两邻角的度数比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:5 D ．1:611. 如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．812.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使D 与A 重合，B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AECD 的面积等于（ ）A ．36B ．48C ．72D ．96BCD ＢＦ ＣＥＤＡBE6如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结PA 、PC ． （1）证明：PAB PCB ∠=∠；（2）在BC 上取一点E ，连结PE ，使得PE PC =，连结AE ，判断PAE △的形状，并说明理由．7如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ．求证：（1）∠E=∠F ．（2）□ABCD 是菱形．8如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM PN =还成立吗？不必说明理由.D C B A P图1 图2 图39已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）10如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点（G 与B C 、两点不重合），E F 、是AG 上的两点（E F 、与A G 、两点都不重合），若AF BF EF =+，12∠=∠，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论.11如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； （3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？12如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . （1） 求证：DE －BF = EF ．（2） 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．（3） 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．A DB E FO C2 A BC D E FG 1A F N DC B M E O（图）13如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ． （1）试找出一个与AED △全等的三角形，并加以证明； （2）若83AB DE P ==，，为线段AC 上任意一点，PG AE ⊥于G ，PH EC ⊥于H ．试求PG PH +的值，并说明理由．14已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD ，上的点，且BE DF =． （1）求证：AE AF =．（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形．15如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．ABDCEF A D E FB GC 图① C BG A D 图② A BC D PG HE B ′16如图-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点（不与A 、C 重合），PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ．（1） 求证：BP =DP ；（2） 如图-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3） 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 ．17已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ， （1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．17（1）证明：在△A BC 中， AB ＝AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD ＝∠DAC ．2分∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝⨯21180°＝90°．4分又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ ADC CEA ∠=∠＝90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分．②答案只要正确均应给分．图-2图-1N例如，当AD ＝12BC 时，四边形ADCE 是正方形．6分 证明：∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ．∴ DC ＝12BC ． 7分又 AD ＝12BC ，∴ DC ＝AD ． 8分 由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形． 9分 16⑴ 解法一：在△ABP 与△ADP 中，利用全等可得BP =DP . 2分 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP =DP . 2分 ⑵ 不是总成立 . 3分当四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，点P 旋转到BC 边上时，DP >DC >BP ，此时BP =DP 不成立. 5分说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE 、DF ，则BE 与DF 始终相等. 6分 在图8-1中，可证四边形PECF 为正方形， 7分 在△BEC 与△DFC 中，可证△BEC ≌△DFC . 从而有 BE =DF . 8分15（1）①BG DE BG DE =⊥， 2分 ②BG DE BG DE =⊥，仍然成立 1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =，CG CE =， 90BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠1分 ∴BCG DCE △≌△ （SAS ）1分∴BG DE = C B G C D E∠=∠ 又∵BHC DHO ∠=∠ 90CBG BHC ∠+∠= ∴90CDE DHO ∠+∠= ∴90DOH ∠=∴BG DE ⊥14证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，B D ∠=∠， 又∵BE =D F∴ABE △≌ADF △ ∴AE =AF (2)连接AC∵AB =BC ，60B ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形， E 是BC 的中点∴AE ⊥BC ， ∴906030BAE ︒∠=︒-=︒，同理30DAF ∠=︒ ∵120BAD ∠=︒∴60EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒又∵AE =AF∴AEF △是等边三角形． 13 解：（1）AED CEB '△≌△证明：四边形ABCD 为矩形，90B C BC AD B B D ''∴==∠=∠=∠=，°， 又B EC DEA '∠=∠， ∴AED CEB '△≌△．（2）由已知得：EAC CAB ∠=∠且CAB ECA ∠=∠ EAC ECA ∴∠=∠ 835AE EC ∴==-=在ADE △中，4AD = 延长HP 交AB 于M 则PM AB ⊥ PG PM ∴=4PG PH PM PH HM AD ∴+=+===12（1） 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， BF ⊥AG ， DE ⊥AG ∴ DA =AB ，∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE ， AF = DE ∴ DE －BF = AF －AE = EFA DE F BG C图①（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC ， BF ⊥AG ， AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FGBFBF AF BF AB ∴ AF = 2BF ， BF = 2 FG由（1）知，AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG （3） 如图 DE + BF = EF------------------------------------------------ 11解：（1）OE OF =．其证明如下：∵CE 是ACB ∠的平分线，12∴∠=∠．∵MN BC ∥，∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OE OC =． 同理可证OC OF =． ∴OE OF =． 3分（2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线． 3分（3）当点O 运动到AC 中点时，OE OF =，OA OC =，则四边形AECF 为，要使AECF 为正方形，必须使EF AC ⊥．∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形， ∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形时， 四边形AECF 是正方形．------------------------------------------------10根据题目条件可判断.DE BF ∥证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴ 290AB AD BAF ∠+∠==，°． ∵,AF AE EF =+又,AF BF EF =+ ∴AE BF =，∵12,∠=∠∴().ABF DAE SAS △≌△5分∴AFB DEA ∠=∠，BAF ADE ∠=∠.∴290ADE ∠+∠=°.∴90AED BFA ∠=∠=°. ∴.DE BF ∥9分------------------------------------------------ 9证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，AF D CB M EO （图） 1 2 54 3 6∴Rt Rt ABE ADF △≌△． ∴BE ＝DF ．4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ． ∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即CE CF =． ∴OE OF =． ∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．8分------------------------------------------------ 8（1）证明：①如图2.BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，90BMN CNM ∴∠=∠=°．BM CN ∴∥．MBP ECP ∴∠=∠．又P 为BC 边中点， .BP CP ∴=又BPM CPE ∠=∠， BPM CPE ∴△≌△ 3分②BPM CPE △≌△12PM PE PM ME ∴=∴=∴在Rt MNE △中，12PN ME =PM PN ∴=5分 （2）成立.如图3.6分证明：延长MP 与NC 的延长线相交于点E .BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ， 90180BMN CNM BMN CNM ∴∠=∠=∴∠+∠=°．°．BM CN MBP ECP ∴∴∠=∠∥．．7分又P 为BC 中点，BP CP ∴=． 又BPM CPE ∠=∠，BPM CPE ∴△≌△． 12PM PE PM ME ∴=∴=．．则在Rt MNE △中，12PN ME =．∴PM PN =．10分 （3）四边形MBCN 是矩形. 11分 PM PN =成立. 12分AD BE FOCM-----------------------------------------------7证明：（1）在□ABCD 中，BC AD ∥∴1F ∠=∠∵BE BP =∴1E ∠=∠∴E F ∠=∠（2）∵BD EF ∥∴23E F ∠=∠∠=∠，∵E F ∠=∠∴23∠=∠∴AB AD =∴□ABCD 是菱形6（1）∵在正方形ABCD 中，BD 是对角线，∴AB CB ABD CBD =∠=∠，．又∵BP BP =，∴ABP CBP △≌△．∴PA PC PAB PCB =∠=∠，． ······································································ 3分（2）如图，PAE △是等腰直角三角形，理由如下： ············································ 4分 ∵PE PC =，∴PEC PCB ∠=∠．又∵PAB PCB ∠=∠，∴PAB PEC ∠=∠．∵E 是BC 上一点,180PEB PEC ∠+∠=,∴180PAB PEB ∠+∠=． ∵在四边形ABEP 中，36090PAB ABC PEB APE ABC ∠+∠+∠+∠=∠=，，∴90APE ∠=．∵PA PC PE PC ==，， D C E B A P A D F Q C P E B 1 2 3∴PA PE =．∴PAE △是等腰直角三角形． ··········································· 7分（其他方法酌情给分）1.102. ①②③3. 1054.5. 81. 2. B 3. 90A ∠=或AD BC =或AB CD ∥ 4. 3 5. ①④⑤ 6. 2 c m7. 8. C9. D 10. C 11. A 12. A。
华师大版八年级下册数学第19章 矩形、菱形与正方形含答案(学生专用)
华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A.4B.3C.2D.12、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不确定3、已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4、平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD一定是（）.A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形5、如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm6、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A.7B.8C.9D.107、下列性质中，矩形不一定具有的是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.4个内角相等D.一条对角线平分一组对角8、学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是（）A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是( )A.(1)(4)(5)B.(2)(5)(6)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(5).10、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A.1或2B.2或3C.3或4D.4或512、如图，是△EBD以正方形ABCD的对角线BD为边的正三角形，EF⊥DF，垂足为F，则∠AEF的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°13、平面内有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A.90°B.180°C.270°D.360°14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.2.415、下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A.对角线互相平分的四边形B.对角线相等且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为________．17、如图，矩形中，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，则的长为________．18、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．19、如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于________度20、已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为________．21、如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为________ ．22、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为________．（填一般式）23、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为________24、如图，在中，，点的坐标为，点在轴上，轴.将沿翻折得到，直线过点，则四边形的面积为________.25、如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B 在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，科博会上某公司展示了研发的绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE⊥直线EL且AE＝25 cm，手臂AB＝BC ＝60 cm，末端操作器CD＝35 cm，AF∥直线EL.当机器人运作时，∠BAF＝45°，∠ABC＝75°，∠BCD＝60°，求末端操作器节点D到地面直线EL的距离．(结果保留根号)28、如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．29、如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）30、在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．猜想：如图①，当点在边上时，写出线段与的大小关系。
2024年八年级同步练习卷专题15矩形菱形正方形(共40题)+答案解析
专题15矩形菱形正方形（共40题）一、解答题：本题共40小题，共320分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题8分如图，在▱中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，，求证：四边形AECF 是矩形；，，，求BC 的长．2.本小题8分如图，在▱中，交于点O ，点在AC 上，求证：四边形EBFD 是平行四边形；若求证：四边形EBFD 是菱形．3.本小题8分如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，，求证：四边形OEFG 是矩形；若，，求OE 和BG 的长．4.本小题8分如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，，连接求证：；延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若，，求AO的长．5.本小题8分在中，AD是BC边上的中线，点E在线段AD上，点F在线段AD的延长线上，，连接BE，如图1，求证：四边形BFCE是平行四边形．若，①依题意补全图2；②求证：四边形BFCE为菱形.6.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，BD平分求证：四边形ABCD是菱形；连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在的内部作射线CM，使得，过点D作于点若，，求的度数及BD的长．7.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，点E，F在BD上，，连接求证：四边形AECF为平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．8.本小题8分如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得连接AF，求证：四边形AFBO为平行四边形；若，求证：四边形AFBO为矩形．9.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，过点B作交CD于点E，点F为AD边上一点，，连接求证：四边形ABEF为矩形；若，求ED的长．10.本小题8分如图，点O为▱的对角线AC的中点，直线l绕点O旋转，当时，与边分别交于点E，F，连接若，求▱的面积．11.本小题8分如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点连接OE，若，，求OE的长．12.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，，过点D作交BC的延长线于点连接AE交CD于点F，连接若，，求BF的长．13.本小题8分如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，，若，求四边形AEBO的面积．14.本小题8分如图，在中，，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作交DE的延长线于点求证：四边形ABDF是菱形；若，，求AE的长．15.本小题8分如图，在中，，点D为BC中点，过点分别作的平行线，相交于点求证：四边形ADCE为矩形；连接，若，求AB的长．16.本小题8分如图，在菱形ABCD中，于E，于求证：四边形BEDF是矩形；连接BD，如果，，求AB的长．17.本小题8分已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长DE到点F，使得，连接求证：四边形AFCD是菱形如果，且，求AB的长．18.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线垂足为的交点.求证：四边形OEBC是平行四边形；连接AE，求证：四边形AEBO是矩形.19.本小题8分如图，在▱中，点E是BC中点．点F是AD中点．连接、、平分求证：四边形AECF是菱形：连接AC，与EF交于点O，连接若，，求OD的长．20.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，求证：四边形ABCE为菱形；若，，求CD的长．21.本小题8分如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在AC上，且求证：四边形EBCD是菱形；若，，，求AE的长．22.本小题8分如图，▱中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取求证：四边形AECF是矩形；若，求证：AC平分23.本小题8分如图，BD是的角平分线，过点D作交AB于点E，交BC于点求证：四边形BEDF为菱形；如果，，，求菱形BEDF的面积．24.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接OF求证：四边形AFBO是矩形；若，，求OF的长25.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，，求证：四边形OCED是平行四边形；当▱是________填“矩形”或“菱形”时，四边形OCED是菱形，并写出证明过程．26.本小题8分如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且求证：四边形ABCD是矩形；的角平分线DE交AB于点E，当，时，求AE的长．27.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使求证：四边形AECF是平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．28.本小题8分如图，在中，，点D为AC的中点，连接DB，过点C作，且，连接BE，求证：四边形BECD是菱形；连接AE，当，时，求AE的长．29.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，，点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA 的延长线于点E，连接求证：四边形ACDE是矩形；若，，求四边形BCDE的面积．30.本小题8分如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接求证：四边形BCDE为菱形；连接AC，若AC平分，，求AC的长．31.本小题8分如图，在▱中，于E，于F，且求证：▱是菱形；连接AC，BD交于点O，当，时，求▱的面积．32.本小题8分如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点B作，过点C作交BM于点求证：四边形BECO是矩形；连接DE，若，，求DE的长．33.本小题8分如图，在中，，点A关于BC的对称点为D，连接BD，求证：四边形ABDC是菱形；过点A作于E，且交BC于点F，若，，求AF的长．34.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，DE的延长线交AB于点过点B作交DC于点交AC于点过点G作于点求证：四边形NEMG为矩形；若，，，求线段AC的长．35.本小题8分如图，四边形ABCD是平行四边形，、相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点求证：四边形EFGO是矩形；若四边形ABCD是菱形，，求OG的长．36.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形；若，，，求的值．37.本小题8分如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．求证：四边形OMPN是矩形；连接AP，若，，求AP的长．38.本小题8分如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，，求证：四边形ABCD是菱形；连接DE，若，，求DE的值．39.本小题8分如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，求证：当，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．求，时，求EF的长．40.本小题8分如图，四边形ABCD是矩形，延长DA至E，使得，连接BE，过点D作交BA的延长线于F，连接EF，求证：四边形BDFE是菱形；连接CF，若，，求CF的长．答案和解析1.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，四边形AECF是平行四边形，，平行四边形AECF是矩形；解：由知四边形AECF是矩形，，，，是等腰直角三角形，，又，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等内容.利用平行四边形的性质求出，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；证明是等腰直角三角形，可得，然后解直角三角形求出EC即可．2.【答案】证明：在▱ABCD中，，，，四边形EBFD是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，，平行四边形EBFD是菱形．【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形EBFD是菱形．3.【答案】解：四边形ABCD是菱形，，是AD的中点，是的中位线，，，四边形OEFG是平行四边形，，，平行四边形OEFG是矩形；四边形ABCD是菱形，，，，是AD的中点，；由知，四边形OEFG是矩形，，，，，【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据菱形的性质得出，再由点E是AD的中点，所以OE是的中位线，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG 是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．4.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，AC平分，，，，；解：如图所示：由得：，又，所以，又，四边形BEGD为平行四边形，，，，，，，【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形及平行四边形的性质与判定等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，AC平分，再根据，得到，最后根据等腰三角形的三线合一得到结论；先证四边形BEGD为平行四边形，得到，再由，得出，由，得出，得出5.【答案】证明：，，是BC边上的中线，，，≌，，四边形BFCE是平行四边形．解：①依题意补全图2，如图；②证明：，，是BC边上的中线，，由证明方法可得四边形BFCE是平行四边形，四边形BFCE为菱形．【解析】【分析】证明≌，可得，再根据，即可得出结论；由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键．6.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，平分，，，，平行四边形ABCD是菱形．解：四边形ABCD是菱形，，，，.四边形ABCD是菱形，，，又，，【解析】【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明平行四边形ABCD是菱形；由菱形的性质可得，进而得到，；进一步求出，则由角平分线的性质得到，则.【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．7.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，.，.，≌..四边形AECF为平行四边形．，.，...四边形AECF是矩形．【解析】【分析】证明≌，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；证明，进而得到，即可得证．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．8.【答案】证明：平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，又，为的中位线，，且，又E为OA的中点，，，四边形AFBO为平行四边形．平行四边形ABCD，，，，，，平行四边形ABCD是菱形，，，平行四边形AFBO是矩形．【解析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．证明OE为的中位线，则，且，又，则，即可得证；根据平行四边形的性质得出，则，结合已知得到，可得，则四边形ABCD是菱形，可得，结合的结论，即可得证．9.【答案】证明：，即，，四边形ABEF为平行四边形．，四边形ABEF为矩形；解：，.，，，，即，解得：，.【解析】由题意易证四边形ABEF为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定；由题意易证，即得出，代入数据，即可求出DF的长，最后由勾股定理即可求解．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键．10.【答案】四边形ABCD是平行四边形，，为AC的中点，在和中，，四边形AECF是平行四边形，过点C作交AB于点H，，四边形AECF是菱形，，，，，，▱ABCD的面积【解析】【分析】根据AAS证明得再证明四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；过点C作交AB延长线于点H，求出，再根据菱形的面积计算公式求解即可．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．11.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，又，四边形ADEC是平行四边形，，；如图，过点O作于点F，四边形ABCD是矩形，点O是的中点，，，点是BC的中点，是的中位线，又四边形ADEC是平行四边形，，在中，由勾股定理可得：.【解析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟记各性质并求出四边形ADEC是平行四边形是解题的关键．根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；如图，过点O作于点F，欲求OE，只需在直角中求得、的值即可．结合三角形中位线求得OF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE即可．12.【答案】解：证明：四边形ABCD是平行四边形，，，又，，四边形ACED 是矩形．如图所示．四边形ACED 是矩形，，四边形ABCD 是平行四边形，，，，又，是等边三角形，，，，，在中，【解析】【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可；先证明是等边三角形，再根据含角的直角三角形的三边关系，利用勾股定理即可计算．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质是解题的关键．13.【答案】证明：，四边形AEBO 是平行四边形又四边形ABCD 是矩形，，四边形AEBO 是菱形解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形AEBO的面积为：【解析】【分析】根据矩形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可；根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．14.【答案】证明：，E分别为BC，AC的中点，，，.又，四边形ABDF是平行四边形．，..四边形ABDF是菱形．解：连接AD，如图．四边形ABDF是菱形，，.是等边三角形．，..在中，，，.【解析】【分析】根据已知条件得出，，，可得四边形ABDF是平行四边形．进而根据已知条件得出，即可得出结论；连接AD，得出是等边三角形．在中，解直角三角形即可求解．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．15.【答案】证明：由题意得，四边形ADCE是平行四边形，，点D为BC中点，，即，四边形ADCE为矩形．解：四边形ADCE为矩形，，点D为BC中点，在中，，解得：在中，，故AB的长为.【解析】先根据平行四边形的判定，证明四边形ADCE是平行四边形，根据等腰三角形的性质证明，即可证明结论；根据矩形的性质和锐角三角函数定义求出在中由勾股定理即可得出结果．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握定理与性质是解题的关键．16.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，，，，四边形BEDF是矩形；解：设AB的长为x，四边形ABCD是菱形，，四边形BEDF是矩形，，，，，在中，，，，由勾股定理得，解得，的长为.【解析】【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到结论；设AB的长为x，由，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，正切函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】证明：点E是边AC中点，，又，四边形AFCD是平行四边形在中，点D，E分别是边中点，，，，，.四边形AFCD是菱形；解：由知，四边形AFCD是菱形，，，，，在中，，，解得或舍，AB的长为【解析】【分析】先根据对角线互相平分证明四边形AFCD是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形AFCD是菱形；根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．18.【答案】证明：四边形ABCD为菱形，，又，，即：，，四边形OEBC是平行四边形.由可知：四边形OEBC是平行四边形，，，四边形ABCD为菱形，，，，四边形AEBO为平行四边形，又，四边形AEBO是矩形.【解析】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行;四条边都相等;对角线互相垂直平分;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形.由菱形的性质可得出：，再根据可得出，然后再根据已知条件即可判定四边形OEBC是平行四边形;首先根据的结论得出，，再根据菱形的性质得出，据此可得到，，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件即可判定四边形AEBO是矩形.19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，是AD中点，E是BC中点，四边形AECF是平行四边形平分四边形AECF是菱形解：四边形AECF是菱形，，，，，过点O作于点G，，即，，【解析】【分析】根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF 是平行四边形，再根据EF平分，易证得，则可得，继而证得结论；过点O作于点G，由三角形面积公式可求OG的长，勾股定理可求GF，的长，OD的长即可求解.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.20.【答案】证明：，，，四边形ABCE为平行四边形，又，平行四边形ABCE为菱形．解：，，，，，，，，，，在中，，.【解析】【分析】先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCE为平行四边形，再由，即可证明平行四边形ABCE为菱形；先证明，进而得到，，利用三角形内角和定理推出，由平行线的性质得到，解，即可得到.【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21.【答案】证明：在和中，，≌，，，，四边形EBCD是平行四边形，，，是等腰三角形，O为BD中点，，即，平行四边形EBCD是菱形；解：四边形BCDE是菱形，，，，，在中，，，，，，在中，，.【解析】先证明≌，得到，再根据内错角相等，两直线平行，得到，进而证明四边形EBCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直，即可证明四边形EBCD是菱形；根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求得，然后根据正切值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，四边形AECF是平行四边形，；四边形AECF是矩形；证明：四边形AECF是矩形，，四边形AECF是正方形，，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，平分.【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形AECF是矩形；先证明四边形AECF是正方形，得到，即可证明四边形ABCD是菱形，则由菱形的性质可得AC平分.【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．23.【答案】证明：，，四边形BFDE是平行四边形，是的角平分线，，，，，，平行四边形BFDE是菱形；连接EF，交BD于O，，，，平分，，，，，，在中，，菱形BFDE的面积.【解析】【分析】根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；根据含的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，即：，O为AC的中点，，即B为EC的中点，为的中位线，，又，四边形AFBO是平行四边形，又，四边形AFBO是矩形；解：由可知，，四边形AFBO是矩形，，则，，四边形BCOF是平行四边形，，四边形ABCD是菱形，，，是等边三角形，，.【解析】【分析】由菱形的性质可知，O为AC的中点，根据，可得BO为的中位线，可得，进而证得四边形AFBO是平行四边形，即可证得四边形AFBO是矩形；结合可知，可证四边形BCOF是平行四边形，可得，由，可证得是等边三角形，进而可得答案．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．25.【答案】解：在▱中，，，，，四边形OCED是平行四边形；矩形，当▱是矩形时，，，四边形OCED是菱形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，结合可得，即可证明；根据矩形的性质得到，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握特殊四边形的判定和性质定理．26.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，▱ABCD为矩形．解：过点E作于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，，，为的角平分线，，，，，设，则，在中，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；过点E作于点G，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．27.【答案】证明：▱ABCD，，，即四边形AECF是平行四边形.▱AECF，，，四边形AECF是平行四边形，▱AECF是矩形.【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．根据平行四边形的性质和判定解答即可；根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．28.【答案】证明：，，四边形BECD是平行四边形，在中，，点D为AC的中点，，四边形BECD是菱形．解：四边形BECD是菱形，，，，，，四边形ADEB是平行四边形，，，，，，四边形ADEB是菱形，，，，在中，，.【解析】【分析】先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明四边形BECD是菱形；根据菱形的性质，证明四边形ADEB是平行四边形，再根据角所对的直角边等于斜边一半，推出，进而证明四边形ADEB是菱形，然后利用勾股定理，求得OA的长，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．29.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，.，.点M为边AD的中点，.≌..四边形ACDE是平行四边形．，.平行四边形ACDE是矩形．解：四边形ACDE是矩形，，..，.，.，..【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得，.从百得，，再证明≌.得，从而得四边形ACDE是平行四边形．即可由矩形判定定理得出结论，先由矩形与三角形面积公式求得，.再由求解即可．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形与三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．30.【答案】证明：为AD的中点，，，四边形BCDE为平行四边形.又在中，E为AD的中点，，，▱为菱形.解：设AC与BE交于点H，如图.，平分，，，，由可知，，，为等边三角形，，，在中，，【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的性质.由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；在中，只要证明，即可解决问题.31.【答案】证明：在▱中，，于E，于F，且，，≌，，▱是菱形；解：▱是菱形，，，，，在中，，，▱的面积为.【解析】【分析】证明≌，得即可；在中，根据三角函数求出，再根据勾股定理得角三角形等知识，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是本题的关键．32.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，四边形，平行四边形解：四边形，，是等边三角形，，在中，，，，四边形BECO是矩形，，，在中，.【解析】【分析】根据菱形的性质可得，再根据，可得四边形BECO是平行四边形，进而证明四边形BECO是矩形；根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得BO的长，进而求得BD的长，在中，勾股定理即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．33.【答案】证明：关于BC的对称点为D，，，，，四边形ABDC是菱形；解：，，，，四边形ABDC是菱形，，，，，，设，，有，，.【解析】【分析】根据A关于BC的对称点为D，可得，，结合已知条件，可得，即可得证；根据勾股定理求得AE，根据菱形的性质得出，，即可证明，根据相似三角形的性质即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握是菱形的性质与判定解题的关键．34.【答案】解：，，，，，，四边形NEMG是矩形．四边形NEMG是矩形，，，，，，，，。
初中数学 矩形、菱形与正方形测试题含答案
矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。
(完整word版)矩形菱形正方形练习题及答案
矩形的习题精选一、性质1、下列性中，矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行2.在矩形ABCD中，∠AOD=130°，则∠ACB=_ _3.已知矩形的一条对角线长是8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______4.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________5.如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_____6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___7、已知，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。
8、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD 于F.求证：BE=CF. AB E FO9.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形；10.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。
试说明:DC=2AB.11、在△ABC中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F。
求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（C ）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直2、平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形4、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。
(完整版)矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
矩形、菱形、正方形精讲精练(含答案)-
矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。
一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。
（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。
解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。
例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。
证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。
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菱形的习题精选
一、性质
1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件<A=<B ，使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）
A、小明、小亮都正确
B、小明正确，小亮错误
C、小明错误，小亮正确
D、小明、小亮都错误
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）
（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）
A. 当AB=BC时，它是菱形；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形；
C. 当∠ABC=90°时，它是矩形；
D. 当AC=BD时，它是菱形。
4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形
的面积是__40____cm．
5．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为__32____ cm2。
6 ．已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。
求两对角线长分别是。
7、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为.
8、如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，
PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_____ cm
13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角
线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______．
9．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数。
A D
10、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）
菱形ABCD的面积。
11、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形；
12、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。
二、判定
1、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是形；（2）若AC=BD，则□ABCD 是形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形。
2、下列条件中，不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
4、如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与
BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点F.求证:四边形ABEF
是菱形.
5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?
6、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB
上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
正方形练习题
1._____________的矩形叫做正方形。
2.正方形具有_________、___________、
____________的一切性质。
3．如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，OA=2，
则∠AOB=_____,∠OAB=_____,BD =______,AB=______.
A B C D
O
4.第三题图中等腰三角形的个数是（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
5.判断。
（1）正方形一定是矩形。
（ ）（2）正方形一定是菱形。
（ ）（3）菱
形一定是正方形。
（ ）（4）矩形一定是正方形。
（ ）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。
（ ）
自主学习
1.在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________，正方形具有的是____________。
1.四边都相等；
2.对角线互相平分；
3.对角线相等；
4.对角线互相垂直；
5.四个角都是直角；
6.每条对角线平分一组对角；
7.对边相等且平行；
8.有两条对称轴。
2.正方形两条对角线的和为8cm ，它的面积为____________.
3.在正方形ABCD 中，E 在BC 上，BE=2，CE=1，P 在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到_____________
4.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF.
（1）AE 与BF 相等吗？为什么？（2）AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
A B C D E F G A B C D
E
G F
6.如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。
试判断AG 与AB 是否相等，并说明道理。