(完整版)矩形、菱形、正方形经典难题复习巩固(教案)
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DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲
矩形、菱形、正方形
一、 导入
老先生与服务生
老先生常到一家商店买报纸,那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子,就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要,可是缺乏礼貌一定会流失客人,没有了客人服务速度再快,又有什么用? 朋友对老先生说,为何不到其他地方去买? 老先生笑着回答:“为了与他赌气,我必须多绕一圈,浪费时间,徒增麻烦,再说礼貌不好是他的问题,为什么我要因为他而改变自己的心情?”
大道理:不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情,也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面,心情也会是很快乐的。
二、 知识点回顾
矩形、菱形、正方形
1.性质:
(1)矩形:①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形:①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线
平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.
(3)正方形:①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直
平分,每条对角线平分一组对角.
2.判定:
(1)矩形:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的
平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)菱形:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等
的平行四边形是菱形.③四条边都相等的四边形是菱形.
(3)正方形:①有一个角是直角的菱形是正方形.②有一组邻边相等
的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形. 3.面积计算:
(1)矩形:S=长×宽;(2)菱形:121
2
S l l =⋅(12l l 、是对角线) (3)正方形:S=边长2
三、 专题讲解
考点一、特殊平行四边形的性质
【例1】如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,OF ⊥BC ,CE ⊥BD ,OE ∶BE=1∶3,OF=4,求∠ADB
的度数和BD 的长.
解:由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE ∶BE=1∶3可知E 是OD 的中点.
又因为CE ⊥OD ,根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD ,即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )
A.85°
B.90°
C.95°
D.100° 解析:∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=
21∠BMC′+21∠CMC′=2
1
×180°=90°答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
【例 2】如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E.
又点F 在DE 的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF 是菱形. 答案:证明:∵∠ACB=90°,DE 是BC 的中垂线, ∴E 为AB 边的中点. ∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°, ∴△ACE 为正三角形.
在△AEF 中,∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°,而AF=CE , 又CE=AE, ∴AE=AF.
∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.
∴四边形ACEF为平行四边形.
又CE=AC,∴平行四边形ACEF为菱形.
如图,在Y ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=1
2
AB,CF=
1
2
CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°,
∴四边形AGBD是矩形.
考点三、作辅助线构造特殊平行四边
【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点,BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.求证:PF+PG=AB
如图,点M是矩形ABCD的边AD中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,
PF⊥BM,垂足分别为E、F,
(1)当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长与宽应满足什么条件?
(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,四边形PEMF变为正方形?为什
么?
考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
【例4】如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点
的方法折出菱形EFGH (见方案一),张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ,∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?
解:(方案一)S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21
×6×2
5=30(cm 2). (方案二)设BE=x ,则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=
+.
因为四边形AECF 是菱形,则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=
24
119
. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×2
1×5×
24
119
≈35.21(cm 2). 经比较可知,(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.
如图,在矩形纸片ABCD 中,3BC=6,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边上的点P
处,点D 落在点Q 处,AD 与PQ 相交于点H ,∠BPE=30°.