(新课标版)备战18高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量测试卷文
高考数学二轮复习专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量能力训练理
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第三讲 平面向量一、选择题1．(2018·郑州一模)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13D ．4解析：依题意得a·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝13，故选C.答案：C2．(2018·石家庄模拟)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(AC →＋CB →)＝13CA →＋23CB →＝13b ＋23a ，故选B.答案：B3．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( ) A.12 B.13 C ．1D ．2解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1,2)＝(2－m ，m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4．(2018·南宁模拟)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为( )A.33 B. 3 C.32D.23解析：∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC .∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4.又S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A. 答案：A5．(2018·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(－2，x )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3解析：由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，x －3)·(1，3)＝－3＋3x －3＝0，即3x ＝6，解得x ＝23，故选B.答案：B6．(2018·洛阳模拟)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(3，－6)，若|a ＋b|＝|a －b|，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方整理得a·b ＝0，即3m －12＝0，故m ＝4，故选D. 答案：D7．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0，(a －c )·(b －c )＝－c·(a ＋b )＋|c|2＝－|c||a ＋b|·cos θ＋|c |2＝0，其中θ为c 与a ＋b 的夹角，所以|c |＝|a ＋b |cos θ ＝ 2 cos θ≤2， 所以|c|的最大值是 2. 答案：C8．(2018·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝1，c·b ＝1，|c|＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t2b 2＋2t a ·c ＋2tc·b ＋2a·b ＝2＋t 2＋1t2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t2＋22t ·2t＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，∴|c ＋t a ＋1tb |的最小值为2 2.答案：B9．(2018·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( ) A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →.答案：A10．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.答案：C11．(2018·渭南瑞泉中学五模)如图，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30˚，若|AD→|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A ．13B ．3C ．33D ． 3解析：如图，考虑特殊情况，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60˚，又∠DAP ＝30˚，所以∠DPA ＝90˚.由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝34AD →＋14AB →.又AP →＝mAD →＋nAB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3.故选B.答案：B12．(2018·东北四市模拟)已知向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析：由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，则|OC →|＝＋2m2＋m －2＝20m 2－20m ＋10＝m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案：C 二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：714．(2018·惠州模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________.解析：∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2.答案：215．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． 解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π616．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60˚，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)＝－13AB →2＋(13λ－23)AB →·AC →＋23λAC →2＝－3＋3(13λ－23)＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：311。
备战高考数学二轮复习 难点2.3 三角变换、平面向量、
三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题（一）选择题（12*5=60分）1.在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠=o，CD 是AB 边上的高，则CD CB =u u u r u u u rg（ ） A.94-B.94C.274D.274- 【答案】B【解析】如图所示，在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠=o，CD 是AB 边上的高，则120ABC ∠=o，所以33sin 602CD BC ==o，且030BCD ∠=，所以33cos 3cos302CD CB CD CB BCD =∠=⨯o u u u r u u u r u u u r u u u r gg 94=.2.【河南省南阳市2018届期中】已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o，若2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C3.在ABC ∆中，,P Q 分别是,AB BC 三等分点，且11,33AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b ==u u u r u u u r ，则PQ =uuu r （ ）A ．1133a b + B ．1133a b -+ C ．1133a b - D ．1133a b -- 【答案】A【解析】因b a AB AC AB AB BQ AB AP AQ PQ 3131)(313231+=-+=-+=-==.故应选A. 4.【2018年高考数学训练试题】若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC是( )A. 直角三角形或等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形但不一定是直角三角形D. 直角三角形但不一定是等腰三角形 【答案】C【解析】由()()2OB OC OA AB AC +-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0得()AB AC +u u u v u u u v ·()AB AC -u u u v u u u v ＝0，∴AB u u u v 2－AC u u uv 2＝0，即|AB u u u v|＝|AC u u u v |，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.5. 【广西南宁市2018届9月联考】已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ， 2AB AC ⋅=u u u v u u u v且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ） A.3 B. 12 C. 3 D. 23【答案】A6.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC ∆的面积为（ ）A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C【解析】如图所示，1OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，由3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r ，两边平法可得9121625OA OB +⋅+=u u u r u u u r ,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，因此OA OB ⊥u u u r u u u r ，同理354OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，453OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，两边分别平方可得43cos ,,cos ,55OB OC OA OC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0ABC AOB AOC BC S S S S ∆∆∆∆=++113146111111225255=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,故选C.7.【河南省郑州市2018届第一次质量检测】如图，在ABCV中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且22 =1111AP m AB BC⎛⎫++⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v，则实数m的值为（）A. 1B.12C.911D.511【答案】D8.【2018届广东省七校第二次联考】P、Q为三角形ABC中不同两点,若PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r,QA3QB5QC0++=u u u r u u u r u u u r r,则PAB QABS:SV V为A.13B.35C.57D.79【答案】B【解析】令D为AC的中点PA PB PC AB++=u u u v u u u v u u u v u u u v,化为PA PC AB PB+=-u u u v u u u v u u u v u u u v,即2PD AP=u u u v u u u v,可得3AC AP=,且点P在AC边上,则12PAB ABCS S∆∆=,设点,M N分别是,AC AB的中点,则由350QA QB QC ++=u u u v u u u v u u u v v 可得260QM QN QC ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点T 是CN 的中点,则2520QM QN QT ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点S 是MT 的中点,则450QS QN +=u u u v u u u v v ,因此可得59QAB ABC S S ∆∆=,所以3:5PAB QAB S S ∆∆=，故选B.9.已知ABC ∆中，10,16BC AB AC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，D 为边BC 的中点，则AD u u u r等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】D【解析】由题意可得16cos -=A bc ,故由余弦定理得: A bc c b cos 210022-+=,即6822=+c b .设AD u u u rx =,由题设2522222⨯+=+x c b ,即1822=x ,解之得3=x ,应选D.10.已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（ ）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】AAO11.【四川省成都外国语学校2018届11月月考】设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且222AB AC BC AP =-⋅u u ur u u u r u u u r u u u r .则点P 是ΔABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 【答案】A12.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA u u u v u u u vg 的值为（ ）A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D【解析】如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E为线段OD 的中点，∴0OD AD •=u u u r u u u r ，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +•=•-=-••u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 4AO OD OD AD •+•=-u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 444OA OD AOD OD OA OD ••∠•===u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .AOB ∆中，利用余弦定理可得7AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=••=••︒可得11371222OD ••=•••，所以37OD =，∴328OE EA =u u u v u u u v g ，故选：D.（二）填空题（4*5=20分）13.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且320OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∠= ．【答案】23π【解析】不妨设外接圆半径为1，32023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r，两边平方得1443OA OC ++⋅=u u u r u u u r ，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=14. 【河南省漯河市2018届第四次模拟】如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据： 2CD =， 23CE =， 45D ∠=︒， 105ACD ∠=︒， 48.19ACB ∠=︒， 75BCE ∠=︒， 60E ∠=︒，则A 、B 两点之间的距离为__________．（其中cos48.19︒取近似值23）【答案】1015.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10cm ，则旗杆的高CD 的长是__________m ．【答案】(1033【解析】由题意得4530DEA ADE ∠=∠=oo，,所以sin 452sin 30cos15AE ABAD ==o o o,因此10sin 602sin 6010(33)cos(4530)CD AD ===--o o o o16. ABC △中的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，若45b =，5c =，2B C =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC △的面积为 ． 【答案】10（三）解答题（4*12=48分）17.如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =u u u r u u u rg .（1）若BA u u u r 与BC uuu r 的夹角为30o，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O =u u u r 为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG u u u r 与OD u u u r互为相反向量求AD CD u u u r u u u r g 的值.【解析】(1)3264332,cos3032,cos30BA BC BA BC BA BC =∴=∴==oo u u u r u u u r Q g g g11313sin 3022323ABC S BA BC ∆∴==⨯=o g . (2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y =u u u r ，因为OG u u u r 与OD u u u r 互为相反向量，所以(),OG x y =--u u u r.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--u u u r u u u r ，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+u u u r u u u r,因此22949BA BC x y =-+u u u r u u u rg .由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=u u u r u u u rg g .18.已知向量(3sin ,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，记()f x m n =⋅u r r ．（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A 的取值范围．所以(2)f A 的取值范围313(,]22．19. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届第二次联考】设函数()32sin cos 32f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若322A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值.20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅=u u u r u u u r ，求ABC ∆的面积；（2）设向量(2sin ,3)x B =-r ，2(cos 2,12sin)2B y B =-u r ，且//x y r u r ，求角B 的值．。
高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题2 第4课时 高考中的三角函数、解三形、平面向量解答题 文
高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题2 第4课时 高考中的三角函数、解三形、平面向量解答题 文(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·荆州质量检查)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，若f (A )＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．解析： (1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)在锐角△ABC 中，有f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝1， ∵0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3， ∴2A ＋π3＝5π6，∴A ＝π4. 又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2，∴|AB →|·|AC →|＝2.∴△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×2×22＝22. 2．(2013·江西上饶)已知函数f (x )＝23sin(2ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈(0，π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为π2，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0是它的一个对称中心． (1)求f (x )的表达式； (2)若f (ax )(a ＞0)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上是单调递减函数，求a 的最大值． 解析： (1)由题意得f (x )的最小正周期为π，∴T ＝π＝2π2ω，得ω＝1. ∴f (x )＝23sin(2x ＋φ)，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0是它的一个对称中心，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，得φ＝π2， ∴f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝23cos 2x . (2)由(1)得f (ax )＝23cos 2ax ，∵2ax ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a π3， ∴欲满足条件，必须2a π3≤π， ∴a ≤32，即a 的最大值为32. 3．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0＜α＜x ＜π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值． 解析： (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1＜t ＜ 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1＜t ＜2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22， ∵π4＜x ＜π，∴π2＜x ＋π4＜54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0＜α＜x ＜π，∴0＜x －α＜π，∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0， ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 4．已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω＞0)的两个相邻的零点． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围． 解析： (1)f (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. 由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π， 又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1，∵对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1， ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32， ∴－32≤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤34， 即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32， ∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1－32.。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课时作业
一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文的全部内容。
第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。
而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。
高考数学二轮复习 第四单元 三角函数与平面向量综合测试
2008高考数学二轮复习 第四单元 三角函数与平面向量综合测试一、选择题 (10×5分=50分) 1．已知等腰三角形底角的正弦值为,32则顶角的正弦值是 （ A ） A ．594 B ．592 C ．594-D ．592- 2．函数x y sin =的图象按向量)2,2(π-=a 平移后与)(x g 的图象重合,则函数=)(x g (A )A ．2cos +xB ．2cos --xC ．2cos -xD ．2cos +-x3．等边ABC ∆的边长为1,设C AC b BC a AB ===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （ B ）A ．23 B ．21 C ．23- D ．21- 4．已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ A ）A ．1B ．1-C ．12+kD ．12+-k5．若θ是第三象限角，且2sin2cossin 1θθθ+=+，则2θ是 （ B ） A ．第二、四象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若R ∈+=λλ,。
则点P 一定在( B ）A ．ABC ∆内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．把函数x x y sin cos 3-=的图象按向量)0()0,(>-=m m 平移，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 （ D ）A ．6π B ．3π C ．π32 D ．π65 8．在ABC ∆中，下列三角表达式：①C B A sin )sin(++ ②A C B cos )cos(++ ③ 2tan 2tanC B A + ④ 2sec 2cos AC B +，其中恒为定值的是 （ B ） A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④9．已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且DB CD 2=,,s r +=则s r +的值( D )A ．32 B ．34C ．3-D ．0 10．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=, 若⋅≥⋅, 则实数λ的取值范围是 ( B )A ．112λ≤≤B ． 112λ-≤≤C ． 1122λ≤≤+D ． 1122λ-≤≤+二、填空题（6×5=30）11．︒︒-︒25cos 25sin 5cos 2的值为12．函数)32sin(4π--=x y 的单调减区间是5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦_____________ 13．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==在直线λ上的射影长度相等，则直线l 的斜率为3或12-_____________ 14．已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则实数λ的取值范围1(,2)(2,)2-∞-⋃-__________15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=⋅，则AOB ∆的面积为_2_________ 16． 在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的 最小值是___-2_________ 三、解答题：17．（本题10分）设πππ471217,53)4cos(<<=+x x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。
人教版2018最新高考数学二轮复习测试题(文科)Word版
高考数学二轮复习测试题 (附参照答案 )数学(文科)一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。
1. 会合 P{ x | yx 1} ，会合 Q { y | yx1} ，则 P 与 Q 的关系是A. P＝ QB. P QC. P QD. P∩ Q ＝2. 复数1 2i的虚部是（）．1 i．1． 1i．3A ． 2iBCD已知平面向量 r （）， r 22r2r23.（）， 则向量 aba= 1, m b= m , mA ．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角均分线C ．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角均分线4. （文） 以下函数中，在 (0, ) 上是增函数的是A. ysin xB.y1C. y2xD.yx 2 2x 1x5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图 ( 或称主视图 ) 是一个底边长为 8、高为 5的等腰三角形，侧视图 ( 或称左视图 ) 是一个底边长为 6、高为 5的等腰三角形．则该儿何体的体积为B. 80C. 64D. 2406. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 2a 5 a 8 15,则S 9=A ． 18B ． 36C ． 45 D． 607. 角 终边过点 P( 1,2) ，则 sin=A .5B. 2 5C. 5D. 2 55 5 558. 在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边边长分别为 a 3,b 5, c 6 ,则 bc cos A ca cos B ab cosC 的值为A ． 38B ． 37C． 36 D． 359. 方程 ( 1 ) x x 20 的根所在的区间为（）。
2A ． ( 1,0) B.(0,1)C． (1,2) D. (2,3)10. 将正整数排成下表：1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 1415 16,,,,,,,,,,,,,则数表中的数字 2010 出现的行数和列数是 A ．第 44 行 75 列B．45行 75列C．44 行74列D．45行 74列二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 .（一）必做题（ 11—13 题）11. 已知点 M （1， 0）是圆 C:x 2 y 2 4x 2 y 0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在的直线方程是。
(新高考)高考数学二轮复习专题强化训练(九)三角函数、平面向量理
（新高考）高考数学二轮复习专题强化训练（九）三角函数、平面向量理专题强化训练(九) 三角函数、平面向量一、选择题1．[2019·太原一模]已知tan α＝2，α∈(0，π)，则sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.255 B ．－255C.455D ．－455解析：解法一：因为tan α＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角，如图，由任意角的三角函数的定义可知P (1,2)是α终边上一点，则有|OP |＝22＋12＝5，所以cos α＝15＝55，所以sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin αcos α－sin α＝－2cos α＝－255，选B.解法二：因为tan α＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角．由tan α＝sin αcos α＝2得sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15，解得cos α＝55或cos α＝－55(舍去)，所以sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin αcos α－sin α＝－2cos α＝－255，选B.答案：B2．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，BD →＝12DC →，则AD →＝( )A.14AB →＋34AC →B.23AB →＋13AC →C.13AB →＋23AC → D.13AB →－23AC → 解析：通解：因为BD →＝12DC →，所以B ，D ，C 三点共线，且BD →＝13BC →，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB →＋13AC →，故选B.优解一：因为BD →＝12DC →，所以BD →＝13BC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB→＋13AC →，故选B. 优解二：因为BD →＝12DC →，所以BD →＝13BC →，所以AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，故选B. 答案：B3．[2019·广州综合测试二]已知sin α＋cos α＝15，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α＝( )A ．－247B ．－43C.724D.247解析：解法一：由sin α＋cos α＝15可得(sin α＋cos α)2＝125，解得sin αcos α＝－1225，联立得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin αcos α＝－1225，可得sin α，cos α是方程y 2－15y －1225＝0的两根，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝45，cos α＝－35，则tan α＝－43，所以tan2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－169＝－83－79＝247，选D. 解法二：由sin α＋cos α＝15可得(sin α＋cos α)2＝125，解得sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0，则(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，故sin α－cos α＝75，联立得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝75，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，则tan α＝－43，所以tan2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－169＝－83－79＝247，选D.答案：D4．[2019·福建质检]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，故所得图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，选A.答案：A5．[2019·郑州质量预测二]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－1解析：通解：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2·BD →2＝λ|CB →|·|BD →|cos135°＋λ2×(22)2＝8λ2－4λ＝8⎝⎛⎭⎪⎫λ－142－12，当λ＝14时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.优解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,2)，D (2,0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2，因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t,2－t )(0≤t ≤2)，所以CP →＝(t,2－t )，BP →＝(t ，－t )，所以CP →·BP →＝t 2－t (2－t )＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，当t ＝12时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.答案：A6．[2019·石家庄一模]已知非零向量a 与b 的夹角为2π3，且|b |＝1，|a ＋2b |＝2，则|a |＝( )A ．1B ．2 C. 3D ．2 3解析：通解：∵|a ＋2b |＝2，∴|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4，又a 与b 的夹角为2π3，|b |＝1，∴|a |2－2|a |＋4＝4，∴|a |2－2|a |＝0，又a ≠0，∴|a |＝2，故选B.优解一：如图，设a ＝(m,0)(m ＞0)，∵a 与b 的夹角为2π3，|b |＝1，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴a ＋2b ＝(m －1，3)．∵|a ＋2b |＝2，∴(m －1)2＋3＝4. ∵m ＞0，∴m ＝2， ∴|a |＝2，故选B.优解二：在如图所示的平行四边形中，∵|b |＝1，∴|2b |＝2，又a 与b 的夹角为2π3，|a ＋2b |＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a |＝2，故选B.答案：B7．[2019·合肥质检二]将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 B ．函数g (x )的最小正周期是π2C ．函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增D ．函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上的最大值是1 解析：由题意知，函数f (x )的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，由2x ＋π6＝0，得x ＝－π12，可知函数g (x )的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－1，所以选项A 不正确；g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以选项B 不正确；由－π2≤2x ＋π6≤π2，得－π3≤x ≤π6，所以函数g (x )的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增，所以选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，g (x )＜2×1－1＝1，所以选项D 不正确．故选C.答案：C8．[2019·南昌二模]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π24，k π＋7π24(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－11π24，k π＋π24(k ∈Z ) 解析：通解：设函数f (x )的最小正周期为T ，由函数的图象得T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝π6时，f (x )取得最大值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵将函数f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6，∴g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3(A >0)，由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )，故选A. 优解：设函数f (x )的最小正周期为T ，由函数的图象得T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，利用周期性将函数f (x )的图象补充到如图所示的情况，由函数f (x )的图象及函数的周期性得函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，又将函数f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，∴函数g (x )的单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )，故选A. 答案：A9．[2019·武汉4月调研]已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，且c·a ＝3，c·b ＝1，则|b ＋c |＝( )A. 6B.7 C ．2 2D ．2＋ 3解析：因为向量a ，b 是相互垂直的单位向量，所以设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，又c ·a ＝3，c ·b ＝1，所以⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，即c ＝(3，1)，所以b ＋c ＝(3，2)，所以|b ＋c |＝3＋22＝7，故选B.答案：B10．[2019·石家庄一模]已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：∵函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，∴2cos φ＝3，即cos φ＝32，∴φ＝2k π±π6(k ∈Z )．∵|φ|＜π2，∴φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， ∴cos (ω－1)π6＝0，∴(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，∴ω＝6m ＋4(m ∈Z )．∵ω＞0，πω＞π6，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6.∵x ＝π24时，f (x )＝2，∴x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．[2019·济南模拟]若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23 B.34 C.43D.32解析：∵0≤x ≤π，ω>0，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴ωπ－π6≥π2，∴ω≥23，故选A.答案：A12．[2019·南昌二模]已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∵AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，∴AC ＝2sinπ4sinπ6＝22，∴AP →·BC→＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝2，故选B. 答案：B13．[2019·广东六校联考]已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A.π2 018 B.π1 009 C.2π1 009D.π4 036解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2018x ＋12cos2 018x ＋12cos2 018x ＋32sin2 018x ＝3sin2 018x ＋cos2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max ＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T ＝π1 009，故选B. 答案：B14．[2019·安徽示范高中联考]已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)(A >0，|θ|<π2)的部分图象如图所示，f (a )＝f (b )＝0，f (a ＋b )＝3，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是增函数解析：由题图可知A ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋θ)． 因为f (a )＝f (b )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝2，则sin(a ＋b ＋θ)＝1，a ＋b ＋θ＝π2＋2k π，k ∈Z.由f (a ＋b )＝3得sin[2(a ＋b )＋θ]＝32， 2(a ＋b )＋θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，或2(a ＋b )＋θ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝2π3＋2k π或θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|θ|<π2，所以θ＝π3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12时，2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是增函数．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6时，2x ＋π3∈(π，2π)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上先减后增．故选B.答案：B15．[2019·唐山摸底]已知函数f (x )＝sin x －sin3x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：f (x )＝sin x －sin3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos2x sin x ，令f (x )＝0，可得cos2x ＝0或sin x ＝0，∵x ∈[0,2π]，∴2x ∈[0,4π]，由cos2x ＝0可得2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x＝7π2，∴x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∵π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f (x )的所有零点之和等于7π，故选C. 答案：C16．[2019·广州综合测试二]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，先把函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝3π4B ．x ＝π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－3π4解析：设f (x )的最小正周期为T ，依题意可得T 4＝72π－2π＝32π，所以T ＝6π，由T ＝6π＝2πω，解得ω＝13，由13×2π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|<π，所以π＝－π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，所以y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π3，令23x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－π4，选C. 答案：C二、填空题17．[2019·广州综合测试二]若e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，向量a ＝2e 1＋e 2，则|a |＝________.解析：因为|e 1|＝1，|e 2|＝1，e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12，所以|a |＝(2e 1＋e 2)2＝4|e 1|2＋4e 1·e 2＋|e 2|2＝4＋4×12＋1＝7. 答案：718．[2019·福建质检]在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2的值是________．解析：由三角函数的定义知，cos α＝a ，sin α＝b .∴cos α＋sin α＝a ＋b ＝75，∴(cos α＋sin α)2＝1＋sin2α＝4925， ∴sin2α＝4925－1＝2425，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－2425. 答案：－242519．[2019·天津模拟]在△ABC 中，D 为AB 的中点，点O 满足CO →＝2OD →，OA ⊥OB ，若AB＝10，则AC →·BC →＝________.解析：∵△ABC 中，D 为AB 的中点，点O 满足CO →＝2OD →，OA ⊥OB ，AB ＝10，∴OD ＝12AB ＝5，OC ＝2OD ＝10， 且OA →·OB →＝0，∴AC →·BC →＝(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OC →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝OC →2－OC →·2OD →＝OC →2＋OC →2＝100＋100＝200.答案：20020．[2019·郑州质量预测二]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________.解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435可得cos αcos π3＋sin αsin π3＋cos α＝435，即32cos α＋32sin α＝435，3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45. 答案：45。
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测卷二 理
专题综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝(A ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析：sin α＋cos α＝33， 两边平方可得1＋sin 2α＝13⇒sin 2α＝－23，∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1＋23＝－153. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝(A )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析：∵8b ＝5c ，由正弦定理得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ， ∴8sin B ＝5sin 2B .所以8sin B ＝10sin B cos B ．易知sin B ≠0， ∴cos B ＝45，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是(A )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝(D )A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°5. (2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是(C )A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4解析：由题意f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋k π，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.故选C.6．(2015·新课标Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝(A )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：解法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.解法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为(B )A.π6B.π3C.π2 D.2π3解析：∵m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )且m ⊥n ，∴m·n ＝(b －c ，c －a )·(b ，c ＋a )＝b (b －c )＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8．设0≤x ＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是(B ) A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4 D.π2≤x ≤3π29．(2015·新课标Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.10．(2015·新课标Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴ F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴ MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵ MF 1→·MF 2→＜0，∴ (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵ 点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.故选A.11．已知tan α＝－35，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝(A )A.1617 B.1517 C.917 D.81712．若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且(a ＋b )·b ＝12，向量a 、b 的夹角为(B )A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝2π3．解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝－ab ，根据余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12⇒C ＝2π3. 14．(2015·新课标Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12． 解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.15．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝5π6．解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，0≤x ＜2π⇒－π3≤x －π3＜5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2时，即x ＝5π6时取得最大值．16．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小4解析：由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·茂名一模)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b .解析：(1)∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，由于sin A ≠0， 故有sin B ＝12，又∵B 是锐角，∴B ＝30°.(2)依题意得：S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7， ∴b ＝7.18．(12分)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．解析：f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x＝（sin x －cos x ）2sin x cos xsin x ＝2(sin x －cos x )cos x ＝sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，{x |x ≠k π，k ∈Z} (1)原函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，最小正周期为π.(2)原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π8＋k π，k π，⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，3π8＋k π(k ∈Z)．19．(12分)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3cos ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．解析：(1)由已知可得：f (x )＝6cos 2ωx2＋3cos ωx －3＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)． 又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4， 所以，函数f (x )的周期T ＝4×2＝8， 即2πω＝8，得ω＝π4. 所以，函数f (x )的值域为[－23，2 3 ]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.20．(12分)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解析：(1)∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B . 又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . (2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由 (1)，得4tan A1－3tan 2A＝－2， 解得tan A ＝1或tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.21．(12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值；(2)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)因为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0. 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0. 解得a ＝ 3. (2)由(1)得，f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.所以函数f (x )的最小正周期为2π.因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)，所以当2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．22．(12分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1(x ∈R)，设函数f (x )＝m·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值．解析：(1)f (x )＝m·n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sinx .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1，1]． (2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin []π－（A ＋B ）＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665. ∴f (C )的值为5665.。
(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.2函数与导数测试卷文
2.
x
（ 2）函数 g( x) 的定义域是 0, . 若 a 0 ，则 g( x) f ( x) kx2 x kx2 . 令 g (x) 0 ，则 x kx2 0 .
又据题设分析知 k
0 ，∴ x1
0 ， x2
1 . 又 g (x) 有两个零点，且都大于
k
g ( x1)
知
g ( x2 )
x1 a ln x1 kx12 0,
3 x2 4
3x
1
x 2ex ，令
4
gx
1 x3 2
3 x2 4
3x 1
x 2ex
，g
x
3 x2 2
3 x3
2
x1 2ex
x1
3 x
2
3
1 2ex
，故当 x
2,1
时， g x 0 ，当 x 1, 时， g x 0 ，故 g x 在 2,1 上是减函数，在 1, 上是增函数；故
13
1
gmin x g 1
31
24
2e
3
1 ；则实数 a 的最小值为
3
1
故选 C．
4 2e
4 2e
12．若对 x, y 0,
，不等式 4ax ex y 2 ex y 2 2 ， 恒成立，则实数 a 的最大值是（
）
A． 1
B
．1
C.
2
4
【答案】 D
D ．1 2
（二）填空题（ 4*5=20 分）
13．【江苏省丹阳高级中学 2018 届期中】已知函 数 f x 与 g x 的图象关于原点对称，且它们的图象
5
y=x(0< x<1) ，所以 f x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 专题1.3 三角函数与平面向量 （一）选择题（12*5=60分） 1．已知倾斜角为的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点00cos130,sin50P，且030APO，则等于（ ）
A．100° B．160° C．100°或160° D．130° 【答案】C 【解析】因为0000cos130,sin50cos130,sin130PP，所以0130POx，因此1303013030或，即160100或，选C.
2． 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值为（ ）
A．13 B．32 C．2324 D．2425 【答案】D
3．【2018广西贺州桂梧联考】若函数fx与gx的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与212fxxx互为同轴函数的是（ ） A. cos21gxx B. singxx C. tangxx D. cosgxx 【答案】D 【解析】由题意可得， 212fxxx的图象都关于直线1x对称，所以cosgxx与2
1
2fxxx的图象都关于直线1x对称.选D. 2
4．已知向量(1,2)a，(3,2)b，若()//(3)kabab，则实数k的值为（ ） A．13 B．13 C．3 D．3 【答案】A 【解析】1()//(3)(3,22)//(10,4)10(22)4(3)3kababkkkkkrrrr，选A 5．【2018广西贺州桂梧联考】设向量a， b满足1a， 2b，且aab，则向量a在向量2ab方向上的投影为（ ）
A. 1313 B. 1313 C. 113 D. 113 【答案】A
6．已知,AB是圆22:4Oxy上的两个动点，522,,33ABOCOAOB.若M是线段AB的中点，则OMOC的值为（ ）． A．3 B．23 C．2 D．-3 【答案】A 【解析】因为点M是线段AB的中点，所以OBOAOM21,2ABOBOA,所以ABC是等
边三角形，即060,OBOA,260cos220OBOA OBOAOBOAOBOAOBOAOMOC2131652121323
522
322123126522，故选A.
7．已知点O在△ABC内部一点，且满足2340OAOBOC，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（ ） 3
A．4：2:3 B．2:3:4 C．4:3:2 D．3:4:5 【答案】A
ACBO 8．【2018全国名校联考】设向量,,abc满足2ab， 2ab， ,60acbc，则c的最大值等于（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】A
【解析】因为2ab， 2ab，所以1cos,2ababab,,120ab.如图所以，设
,,OAaOBbOCc，则CAac,CBbc,120AOB.
所以60ACB，所以180AOBACB，所以,,,AOBC四点共圆.不妨设为圆M，因为ABba,所以222212ABaabb.所以23AB,由正弦定理可得AOB的外接圆即圆M
的直径为2R4ABsinAOB.所以当OC为圆M的直径时， c取得最大值4.故选A. 4
9．设向量(cos,sin)axx，(cos(),cos)2bxx，且atb，0t，则sin2x的值等于（ ） A．1 B．1 C．1 D．0 【答案】C 【解析】因为(cos(),cos)(sin,cos)2bxxxx,atb，所以coscossinsin0xxxx，即22cossin0xx，所以2tan1,tan1xx，()24kxkZ， 2()2xkkZ，sin21x，故选C.
10．设当x时，函数xxycos2sin取得最大值，则cos=（ ）
A.55 B.55 C.552 D.552 【答案】C
11．【2018全国名校联考】某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为：29米AB29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点,CD，测得60BDC， 75BCD， 40CD米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且1CE米，
则发射塔高AB（ ） A. 2021米 B. 2061米 C. 4021米 D. 4061米 【答案】A 【解析】过点E作EFAB，垂足为F，则BC,BFCE1EF米，30AEF，在BDC中，由正弦定理得： 406020645CDsinBDCsinBCsinCBDsin米.在RtAEF中， 32062023AFEFtanAEF（米）.所以 1202ABAFBF（米），符合设计要 5
求.故选A. 12．【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数 的周期为 B. 将 的图像向左平移个单位后得到 的图像 C. 函数的最大值为
D. 的一个对称中心是 【答案】D
（二）填空题（4*5=20分） 13．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是__________m．
【答案】1033 【解析】由题意得4530DEAADE，,所以sin452sin30cos15AEABAD,因此10sin602sin6010(33)cos(4530)CDAD
6
14．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且3 3DCDEBCBF，，若ACmAEnAF，其中 mnR，，则mn ．
【答案】32
15．【2018河南天一联考】在中，角所对的边分别为，若，且，记为边上的高，则的取值范围为__________．
【答案】 【解析】由得，所以
， 16．【河南省长葛市一中2018届12月月考】若函数sin(0,)2fxx的图象相邻的两个
对称中心为51,0,,066，将fx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到gx的图象，则gx_________. 【答案】sin26x. 7
（三）解答题（10+5*12=70分） 17．已知函数)2||,0,0)(sin()(AxAxf的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(xf的解析式； （2）若），（30，且34)(f，求cos.
【解析】(1)由图得：2A． 由213165424T，解得．由2)3sin(2)31(f，可得223k，解得62k，又2，可得6，∴)6sin(2)(xxf．
(2)由(1)知34)6sin(2)(f，∴32)6sin(，由α∈(0，3)，得6∈(6，2)，∴
35)32(1)6cos(2．∴ ]6)6cos[(cos=6sin)6sin(6cos)6cos(
=21322335=6215． 18．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知12c，64b，O为ABC的外接圆圆心. （1）若54cosA，求ABC的面积S； （2）若点D为BC边上的任意一点，1134DODAABAC，求Bsin的值. 8
19．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosaC，cosbA，coscA 成等差数列． （1）求角A的大小； （2）若3a，1()2ADABAC，求||AD的最大值． 【解析】（1）由题意知2coscoscosbAaCcA，由正弦定理知sincossincos2sincosACCABA，
即sin()sin2sincosACBBA，又sin0B，故1cos2A，∴3A． （2）由1()2ADABAC，得2221(2)4ADABABACAC221(2cos)4cbcbA 221()4cbcb，又由余弦定理得222222cos9acbcbAcbcb，故
22
1
||(92)4ADADcb，由2292cbcbcbcbcb，当且仅当cb时取等号，故
2127||(918)44AD，∴||AD的最大值为332．
20．【2018安徽阜阳一中二模】若 的最小值为 . （1）求 的表达式；
（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.