第56课时 圆锥曲线的定点、定植和最值问题

课题：
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题
教学目标：
会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建

立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的
最值.
（一）
主要知识及主要方法：

1.
在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算
推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，
即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊
方法往往比较奏效.
2.
对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）
上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），
然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
3.
解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征
选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和
最小值.
（二）典例分析：

问题1．
（05广东）在平面直角坐标系xOy中，

抛物线2yx上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO．
（Ⅰ）求AOB△得重心G的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB△的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；
若不存在，请说明理由．
x

y
O
A
B
问题2．
已知椭圆

22

142xy
上的两个动点,PQ及定点61,2M ，F为椭圆的左焦点，且PF，

MF
，QF成等差数列.1求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

2设点A关于原点O的对称点是B，求PB
的最小值及相应的P点坐标.

问题3．
（06全国Ⅱ）已知抛物线
2
4xy
的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
AFFB



（0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明FMAB为定值；
（Ⅱ）设ABM△的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值．
问题4．
直线m：1ykx和双曲线
22
1xy
的左支交于A、B两点，直线l过点2,0P和线段

AB的中点M
，求l在y轴上的截距b的取值范围.
（四）课后作业：
1.已知椭圆22221xyab（0ab
）的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有
2BFAF
，求椭圆离心率的取值范围.

2.过抛物线22ypx的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB
，
求证：AB交抛物线的对称轴上一定点.

3.
如图，在双曲线2211213yx的上支上有三点11,Axy，
2,6Bx，33,Cxy，它们与点
0,5F
的距离成等差数列.


1
求13yy的值；2证明：线段AC的垂直平分线经过

某一定点，并求此点坐标.
x

y
O
F
 1 A B C 1A 1B 1C 2B 2C 2A        



x
y
O
A

B
（六）走向高考：
1.（05
重庆）已知椭圆1C的方程为1422yx，双曲线2C的左、右焦点分别为1C的左、右顶点，而
2
C

的左、右顶点分别是1C的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C的方程；
（Ⅱ）若直线l：2ykx与椭圆1C及双曲线2C都恒有两个不同的交点，且l与2C的两个交点A和
B

满足6OBOA（其中O为原点），求k的取值范围.

2.（06
江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，,MN分别是圆2254xy

和2251xy上的点，则PMPN的最大值为
.A6 .B7 .C8 .D9
3.（07重庆）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为3,0F，右准线l的方程为：12x
.

1
求椭圆的方程；2在椭圆上任取三个不同点321,,PPP，使133221FPPFPPFPP

证明：123111FPFPFP为定值，并求此定值.

4.(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O
，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆

于A、B两点，OAOB与(3,1)a共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB (,)R，证明22为定值.

x
y
O
F

1
P
2
P

3
P

l
5.(05
全国Ⅱ)P、Q、M、N四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与
FQ

共线，MF与FN共线，且0PFMF．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
6.(04
浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为1,0A，点P、Q在双曲线的右支上，点,0Mm到
直线AP的距离为1，


1
若直线AP的斜率为k，且3,33k, 求实数m的取值范围；


2
当21m时，APQ△的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

7.（07
重庆文）如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点F，

且与抛物线交于A、B两点.

1
求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；


2若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明:cos2FPFP
为定值，并求此定

值.

8.（07山东）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3
，

最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点（,AB不是左右顶点），且以AB为直径的圆过
椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
9.（08上海）已知双曲线22: 14xCy，P为C
上的任意点。
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为(3,0)，求||PA的最小值；

10.（08安徽文）设椭圆2222:1(0)xyCabab其相应于焦点(2,0)F的准线方程为4x
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点1(2,0)F倾斜角为的直线交椭圆C于,AB两点，求证：
2
42
2ABCOS
;

（Ⅲ）过点1(2,0)F作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于,AB和,DE,求ABDE
的最小值