2013鄂州高中自主招生数学试题
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ）A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21-B. 21C. −1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
鄂州市2013年高考数学仿真模拟试卷(理科)
鄂州市2013年高考模拟试卷数 学（理科）命题人：胡黎刚 审题人：熊建军本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试事间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项：参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 V S h =()()()P A B P A P B +=+ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 如果事件A ，B 相互独立，那么 棱锥的体积公式 13V S h =()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高在n 次独立重复试验中事件A 恰好 棱台的体积公式 ()112213V h S S S S =++发生k 次的概率是()1n kk kn C p k --， 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 h 表示棱台的高球的表面积公式 24S R π=球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．【原创】．已知集合M=⎩⎨⎧∈++==-=},1)42sin(2|{},3|2R x x y y N x y x π，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|-33≤≤x }B ． {y|-31≤≤y }C ．{x|33≤<x }D ．Φ（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）2. 【原创】已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）3. 【原创】设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值MN R1题5题（命题意图：考查线性规划）4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）. （A ）103 （B ）102 （C ）101（D ）31（命题意图：考查古典概型的计算）5．【改编教材必修3】如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m n C - B. 1m n A - C. m n C D. mn A（命题意图：考查排列数、组合数，算法中的循环结构）6．[原创] 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //。
重点高中自主招生数学试题
重点高中自主招生数学试题一、选择题1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于A. 2B. -2C. 1D. -12.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是A. $x \in (-\infty, \ln4)$B. $x \in (-\infty, 2)$C. $x \in (-\infty, \ln2)$D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于A. $f(x)$B. $f(x)+1$C. $f(x-1)$D. $\frac{1}{f(x)}$二、填空题1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。
2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。
3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。
三、解答题1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。
将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$进一步简化为：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\right)=\log_3(x+2)-1$由于等式两边底数相同，因此可以去掉对数符号：$\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}=x+2$接下来，我们将方程进行整理化简为二次方程：$x^2+2x=(x^2+2x+1)(x+2)$展开并合并同类项：$x^2+2x=x^3+4x^2+5x+2$整理得到：$x^3+3x^2+3x+2=0$通过观察，我们可以发现当$x=-1$时，方程成立。
2013年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（ ）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序 号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ． （5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x =+∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A（B（C） （D） 【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CDAB CDθ⋅====，故选A ． （8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）增函数 （D ）周期函数 【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）（A ）31200元 （B ）36000元 （C ）36800元 （D ）38400元 【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩， 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数 （租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236800k =⨯+⨯=（元），故选C ． （10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-． 切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ． 【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为 ．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s =． （13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ． 【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序，得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________． 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ． 【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ． 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）． （17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ． 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数． 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）． 【答案】（1）3, 1, 6；（2）79 【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥． 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ． 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （2）V V <估． 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+． （1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G ． 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ． 若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++． 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．①所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥，即(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤． （ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦． （22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=． 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A B x x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A B x x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=．。
湖北省鄂州二中2013-2014学年高二下学期6月月考数学(
2014年6月高二月考数学试题（ 理 科 ）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复平面内,复数20132iz i +=,则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知a,b ∈R,且ab<0,则 ( )A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b| 3.设x ＞0,y ＞0，2M=x yx y+++，22N=x y x y +++，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M≥ND ．M≤N4.由曲线xy= 1,直线y =x ，y = 3所围成的平面图形的面积为（ ）A ．932B ． -ln3C ．4+ln3D ．4-ln35.设a b 、是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的个数是（ ）① ()2232611a a a +>++ ②- ③2211a aaa+? A ．0 B .1 C .2 D .3），4，，7.若a>2,b>3,求a+b+错误！未找到引用源。
的最小值是( )A. 3B.8C. 9D.5 8.在极坐标系中，曲线关于（ ）直线．直线）A ．1 B. 2 C. 4 D. 510.已知e 为自然对数的底数，设函数f （x ）=()()11kxe x --，则下列说法正确的是（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.)11. 函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的单调递减区间是__________.12.已知a ，b ，c∈R +，且a+b+c=1，则的最大值为 ．13.已知1220061x x x ⋅=，且x 1，x 2，…，x 2006都是正数，则122006(1)(1)(1)x x x +++的最小值是 ．14.设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围是__________. 15. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，．若点P n （x n ，y n ）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n ∈N *），则点P 2013到点P 2014的距离|P 2013P2014|等于．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16. （本小题满分12分）用放缩法证明不等式：17. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=|x ﹣3|﹣2，g （x ）=﹣|x+1|+4． （1）若函数f （x ）得值不大于1，求x 得取值范围；（2）若不等式f （x ）﹣g （x ）≥m+1的解集为R ，求m 的取值范围．*1)1)n N <++<∈18.已知a,b,c 都是正数，求证：（1）222b c a c a b a b cab c abc+++≥； （2）2a ab +≥19. （本小题满分12分）用数学归纳法证明：()2222222*12121122()(),n n n n a a a b b b a b a b a b n N ++++++≥+++∈20. （本小题满分13分）已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x=+-，其中0,a >（1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（2）求证：1111(ln1ln 2ln 3ln )ln(!)ln23!ne n n n n nn ++++≥-++++=-= 1(ln1ln 2ln 3ln )ln(!)ln 23!ne n n n n nn ++++≥-++++=-=*1111ln ()23!n e n N nn ++++≥∈21. （本小题满分14分）已知大于1的正数x ，y ，z 满足．（1）求证：．（2）求的最小值．2014年6月高二月考数学试题参考答案（ 理 科 ）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复平面内,复数20132iz i+=,则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是 （A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知a,b ∈R,且ab<0,则 ( B )A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|3.设x ＞0,y ＞0，2M=x yx y+++，22N=x y x y +++，则M 、N 的大小关系是（ B ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M≥ND ．M≤N4.由曲线xy= 1,直线y =x,y = 3所围成的平面图形的面积为（ D ）A ．932B ． -ln3C ．4+ln3D ．4-ln35.设a b 、是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的个数是（ C ）① ()2232611a a a +>++ ②- ③2211a aaa+? A ．0 B .1 C .2 D .3），4，，7.若a>2,b>3,求a+b+错误！未找到引用源。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题湖北卷(文)
湖北卷(文)一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A 等于( ) A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}答案 B解析 ∁U A ＝{3,4,5}，∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．2．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案 D解析 双曲线C 1、C 2的焦距均为sin 2θ＋cos 2θ＝1.3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2 347x －6 423；②y 与x 负相关且y ^＝－3 476x ＋5 648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①中，回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 开始匀速行驶时小明距学校距离应匀速减小，停留时不变，加快速度行驶时距离学校的距离应快速减小．6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)∴AB →在CD →方向上的投影＝AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.8．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数答案 D解析 f (x )最小正周期T ＝1.9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元 答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x －a )＝ln x ＋1－2ax (x >0) 令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 大致图象如下若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.二、填空题11．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z 1＝2－3i ，则z 2＝________.答案 －2＋3i 解析 ∵z 1＋z 2＝0， ∴z 2＝－z 1＝－2＋3i.12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2解析 (1)X ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)D (X )＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数标准差为2.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________.答案 4解析 第一次循环：i ＝1，A ＝2，B ＝1；第二次循环：i ＝2，A ＝4，B ＝2；第三次循环；i ＝3，A ＝8，B ＝6；第四次循环：i ＝4，A ＝16，B ＝24，终止循环，输出i ＝4. 14．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.答案 4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．15．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 当m ≤2时，当然不适合题意， 当m >2时，由m ＋24－(－2)＝56得m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析 天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.17．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是__________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)． 答案 (1)3,1,6 (2)79 解析 (1)由图观察知．(2)再取一组数据S ＝2，N ＝0，L ＝6， 由题意，列方程⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0＋4b ＋c 3＝a ×1＋6b ＋c2＝6b ＋c可得a ＝1，b ＝12，c ＝－1∴所求＝71a ＋18b ＋c ＝71＋9－1＝79. 三、解答题18．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．20．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1，同样可得在B 、C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1—A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算. 已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．(1)证明 依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ， 所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2，又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，B 1B 2C 2C 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ，同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点， 即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线， 因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解 V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN ， 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN ，由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高． 因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12(d 1＋d 22＋d 1＋d 32)·a 2＝a 8(2d 1＋d 2＋d 3)． 即V 估＝S 中·h ＝ah 8(2d 1＋d 2＋d 3)． 又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)． 于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah 8(2d 1＋d 2＋d 3) ＝ah 24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]． 由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .21．设a >0，b >0，已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋1. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当x >0时，称f (x )为a 、b 关于x 的加权平均数．①判断f (1)，f (b a )，f (b a )是否成等比数列，并证明f (b a )≤f (b a)； ②a 、b 的几何平均数记为G .称2ab a ＋b为a 、b 的调和平均数，记为H .若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝a (x ＋1)－(ax ＋b )(x ＋1)2＝a －b (x ＋1)2. 当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a <b 时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)①计算得f (1)＝a ＋b 2>0，f (b a )＝2ab a ＋b>0，f (b a )＝ab >0. 故f (1)f (b a )＝a ＋b 2·2ab a ＋b＝ab ＝[f (b a )]2， 即f (1)f (b a)＝[f (b a )]2.* 所以f (1)，f (b a )，f (b a )成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f (1)≥f (b a)， 由*得f (b a )≤f (b a )． ②由*知f (b a)＝H ，f (b a )＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得 f (b a )≤f (x )≤f (b a)．** 当a ＝b 时，f (b a)＝f (x )＝f (b a )＝a . 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，0<b a <1，从而b a <b a ，由f (x )在[0，＋∞)上单调递增与**式， 得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a，b a ； 当a <b 时，b a >1，从而b a>b a ，由f (x )在[0，＋∞)上单调递减与**式， 得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a . 22．如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m,2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .记λ＝m n，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1；C 2：x 2a 2＋y 2n2＝1. 其中a >m >n >0，λ＝m n>1. (1)方法一 如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |， 所以S 1S 2＝|BD ||AB |. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD ||AB |＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1. 若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ， 化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二 如图，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |. 所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1. 若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ， 化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一 如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k 2， d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2， 所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是|AD ||BC |＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝ama 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n 2.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD ||BC |＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ(λ－1).③令t ＝λ＋1λ(λ－1)，则由m >n ，可得t ≠1， 于是由③可解得k 2＝n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2). 因为k ≠0，所以k 2>0.于是③式关于k 有解，当且仅当n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2)>0， 等价于(t 2－1)⎝⎛⎭⎫t 2－1λ2<0. 由λ>1，可解得1λ<t <1.即1λ<λ＋1λ(λ－1)<1， 由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 方法二 如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)．点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1、d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k 2， d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2， 所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ. 因为|BD ||AB |＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ， 所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B n 2＝1， 两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2(x 2A －λ2x 2B )m 2＝0， 依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B .所以由上式解得k 2＝m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A ). 因为k 2>0，所以由m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A )>0，可解得1<x A x B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以 当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。
2013年 “华约”自主招生数学试卷
2013年 “华约”自主招生数学试卷1.设{|10,},A x x x N B A =≥∈⊆,且B 中元素满足:(1)任意一个元素的各数位的数字互不相同; (2)任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(Ⅰ)求B 中的两位数和三位数的的个数;(Ⅱ)是否存在五位数,六位数?(Ⅲ)若从小到大排列B 中元素,求第1081个元素.2.已知1sin sin 3,1cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩求cos(),sin()x y x y +-的值.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中20,||||1k OA OB k >⋅=+,且,A B 在y 轴同侧. (Ⅰ)求AB 中点M 的轨迹C ;(Ⅱ)曲线C 与抛物线22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.4.有7个红球,8个黑球,一次取出4个.(Ⅰ)求恰有一个红球的概率;(Ⅱ)取出黑球的个数为X ,求X 的分布列和数学期望()E X ;(Ⅲ)取出四个球同色,求全为黑色的概率.5.数列{}n a 各项均为正数,且对任意*n N ∈,满足21(n n n a a ca c +=+为正常数)(Ⅰ)求证:对任意正数M ,存在*n N ∈,当n N >时,有n a M >;(Ⅱ)设1,1n n nb S ca =+是{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*n N ∈,当n N >时,有 110||n S d ca <-<.6.已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy yz xz ---,求,,x y z .7.已知函数()(1)1x f x x e =--.(Ⅰ)求证:当0x >时,()0f x <;(Ⅱ)数列{}n x 满足111,1n n x x n x ee x +=-=,求证:数列{}n x 递减,且12n n x >.。
湖北省鄂南高中 、黄石二中、鄂州高中2013-学年高一下学期五月联考数学理试题 Word版含答案.txt
鄂南高中 黄石二中 鄂州高中 2014级高一下学期五月联考 数学试卷 命题学校：鄂州高中 命题教师：杜少斌 吕长征 审题教师：杜少斌 考试时间：2014年5月8号下午3:00—5:00 试题满分：150分 第I卷(选择题共50分) 一、选择题:本大题共10小题每小题5分，共50分.(在每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的) 1.函数的零点所在的一个区间为（ ) A. B. C. D. 2.已知,是两个夹角为的单位向量,若则实数k的值为（ ) A. B. C. D.1 3.将函数（其中）的图象向右平移个单位，所得图象经过，则的最小值是（ ) A. B. C. D. 4.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知数列为等比数列，，则（ ）A.7B. 5C.D. 6.在中，角A,B的对边分别为.且 则的形状为（ )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 7.已知，且恒成立，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.三棱锥A-BCD中，三条侧棱两两互相垂直，AB=3,AC=4,AD=12,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 9.若实数x,y满足不等式组，且的最大值为9，则实数m的值为（ ）A.1B.C.2D. 10.已知定义在R上的函数满足,且，则当,方程最多有几个实根（ ）A.7个B.9 个C.13个D.14个 第Ⅱ卷(共100分) 二、填空题:（本大题共5小题,每题5分,共25分） 11.已知某人的血压满足函数关系式其中为血压t为时间，则此人每分钟心跳次数为________. 12.若某几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的体积为_______. 13.如上右图：在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,E,F分别在BC,CD上，BE=1,若，则_______. 14.已知则_______. 15.如图：互不相同的点和分别在角O的两边上，所有 互相平行，且所有梯形的面积相等，设则数列的通项公式为______________. 三、解答题:（本大题共6小题,共75分.） 16.(本小题满分12分）已知集合, （1）若A∪B=B,求实数k取值的集合C. （2）若，求实数k取值的集合D. 17.（本小题满分12分） 在中，角A,B,C对边分别为a,b,c.且 求. （2）若求向量方向上的投影. 18.（本小题满分12分）已知甲、乙两地相距为s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度每小时不得超过70千米.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:固定部分为a元，可变部分与速度v(单位）的平方成正比，且比例系数为m. （1）求汽车全程的运输成本y(以元为单位)关于速度v(单位）的函数解析式； （2）为了全程的运输成本最小，汽车应该以多大的速度行驶？ 19.（本小题满分12分）已知正项数列的前n项和为，且满足:，数列的前n项和为，且满足：. （1）求 （2）求数列的前n项之和. 20.(本小题满分13分)设是首项为1，公差为d的等差数列（d≠0）,其前n项的和为.记,其中c为实数. 若数列是等差数列,求c的值. （2）若c=0,且成等比数列，证明： 21．（本小题满分14分）已知函数为奇函数. (1)求m的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对于任意,是否存在实数,使得不等式.若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由. 鄂南高中 黄石二中 鄂州高中 2014级高一下学期五月联考 数学答案及评分标准 一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号12345678910答案BBACDDBCAC二：填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高中自主招生综合素质考查(数学与自然部分)
高中自主招生综合素质考查数学与自然部分温馨提示：1、本卷共三大题39小题，满分200分，考试时间150分钟。
2、答案写在答题卡上，写在试卷上一律无效。
一、选择题：（本题共20小题，共72分.1～8小题每小题3分，9～20题每小题4分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1、如下表，从左到右在每个格子中填入一个整数，使其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等，则第2013个格子中的数为A 、5 2、ABC ∆中，5=AC ，22cos =B ，53sin =C ，则ABC ∆的面积是 A 、221 B 、12 C 、14 D 、21 3、关于x 的方程a x x =-++|1||1|有实根，那么实数a 的取值范围为A 、0≥aB 、0>aC 、1≥aD 、2≥a4、已知0≠abc ，且k ba c a cbc b a =+=+=+，那么一次函数k kx y +=的图像一定通过 A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限5、在等边ABC ∆中，9=AC ，点O 在AC 上，且3=AO ，点P 是AB 上一点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得线段OD ，点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是A 、4B 、5C 、6D 、86、如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH (不重叠，无缝隙)，若①②③④四个平行四边形的面积和为14，四边形ABCD 面积为11，则①②③④四个平行四边形的周长的总和是A 、48B 、36C 、24D 、187、黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间间隙用黑色的正三角形嵌满，按第1，2，3个图案所示的规律依次下去，则第n 个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是A 、22++n n ，12+nB 、22+n ，12+nC 、n 4，32+-n nD 、n 4，12+n8、如图，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2122+-=x y 交于点)3,1(A ，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，2y 的值总是正数②1=a ③当0=x 时，412=-y y ④AC AB 32=其中正确的结论是A 、①②B 、②③C 、③④D 、①④9、关于运动和力，下列说法正确的是A 、在平衡力的作用下物体一定静止B 、彼此不接触的物体不可能发生力的作用C 、如果要使一个物体持续运动，就必须对它施加力的作用D 、物体不受力的作用，运动状态就一定不改变10、小明同学听到上课铃声响了，他一口气从一楼跑到三楼所用的时间为10秒，那么他上楼过程中，克服自身重力做功的功率最接近下面的A 、W 3B 、W 30C 、W 300D 、W 300011、一般情况下，河水越靠近河的中央，水速越大；越靠近河岸，水速越小。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (文科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,2}A=，{2,3,4}B=，则B∩∁U A=A．{2} B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}解析∁U A＝{3,4,5}，∴B∩∁U A＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．故选B2．已知π4θ<<，则双曲线1C：22221sin cosx yθθ-=与2C：22221cos siny xθθ-=的A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析双曲线C1、C2的焦距均为sin2θ＋cos2θ＝1. 答案 D3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q答案 A解析“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝()p⌝∨()q⌝．4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且 2.347 6.423y x=-；②y与x负相关且 3.476 5.648y x=-+；③y与x正相关且 5.4378.493y x=+；④y与x正相关且 4.326 4.578y x=--.其中一定不正确．．．的结论的序号是A．①②B．②③C．③④D．①④答案 D解析①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是答案 C解析开始匀速行驶时小明距学校距离应匀速减小，停留时不变，加快速度行驶时距离学校的距离应快速减小．6．将函数sin()y x x x=+∈R的图象向左平移(0)m m>个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)∴AB →在CD →方向上的投影＝AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ． 周期函数答案 D解析 f (x )最小正周期T ＝1.9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x－a )＝ln x ＋1－2ax (x >0)令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 大致图象如下若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z =.答案 －2＋3i 解析 ∵z 1＋z 2＝0， ∴z 2＝－z 1＝－2＋3i.12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 答案 (1)7 (2)2解析 (1)X ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)D (X )＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数标准差为2.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = . 答案 4解析 第一次循环：i ＝1，A ＝2，B ＝1； 第二次循环：i ＝2，A ＝4，B ＝2； 第三次循环；i ＝3，A ＝8，B ＝6； 第四次循环：i ＝4，A ＝16，B ＝24， 终止循环，输出i ＝4.14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 答案 4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = . 答案 3解析 当m ≤2时，当然不适合题意， 当m >2时，由m ＋24－(－2)＝56得m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 答案 3解析 天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.答案 (1)3,1,6 (2)79 解析 (1)由图观察知．(2)再取一组数据S ＝2，N ＝0，L ＝6， 由题意，列方程⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0＋4b ＋c 3＝a ×1＋6b ＋c 2＝6b ＋c可得a ＝1，b ＝12，c ＝－1， ∴所求＝71a ＋18b ＋c ＝71＋9－1＝79.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos 23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值.解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.第20题图(1)证明 依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ， 所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2，又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，B 1B 2C 2C 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ，同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点， 即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线， 因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解 V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN ， 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN ，由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高．因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12(d 1＋d 22＋d 1＋d 32)·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中·h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]． 由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f ′(x )＝a (x ＋1)－(ax ＋b )(x ＋1)2＝a －b(x ＋1)2.当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增； 当a <b 时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减． (2)①计算得f (1)＝a ＋b 2>0，f (b a )＝2aba ＋b >0，f (ba)＝ab >0. 故f (1)f (b a )＝a ＋b 2·2aba ＋b ＝ab ＝[f (b a)]2， 即f (1)f (ba )＝[f (b a)]2.* 所以f (1)，f (b a )，f (ba)成等比数列． 因a ＋b2≥ab ，即f (1)≥f (ba)， 由*得f (ba)≤f (b a)． ②由*知f (ba )＝H ，f (ba)＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得 f (ba)≤f (x )≤f (ba)．** 当a ＝b 时，f (ba)＝f (x )＝f (ba)＝a . 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)； 当a >b 时，0<b a <1，从而ba <ba，由f (x )在[0，＋∞)上单调递增与**式， 得ba≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a，b a ； 当a <b 时，b a >1，从而ba >ba，由f (x )在[0，＋∞)上单调递减与**式， 得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a .22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.第22题图第22题解答图1第22题解答图2（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x === ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。
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鄂州高中2013届自主招生数学试题
一、选择题（每题3分共24分）
1、如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，
则第2013个格子中的数为（ ）
5 a b c -2 7 ……
A、5 B、7 C、0 D、-2
2、△ABC中AC=5，2cos2B，3sin5C，则△ABC的面积是（ ）
A、10.5 B、12 C、14 D、21
3、关于x的方程11xxa有实根，那么实数a的取值范围是（ ）
A、0a B、0a C、1a D、2a
4、已知0abc，且abbcackcab，那么一次函数ykxk的图象一定通过（ ）
A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限
5、如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将
线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是
（ ）
A、4 B、5 C、6 D、8
6、如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH
（不重叠无缝隙），若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边
形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
A、48cm B、36cm C、24cm D、18cm
7、黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌
图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正
六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色
的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六
边形的个数分别是（ ）
A、n2+n+2，2n+1 B、2n+2，2n+1
C、4n，n2﹣n+3 D、4n，2n+1
8、如图，抛物线2123yax与221(3)12yx交于点A（1，3），过点A作
x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总
是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
二．填空题（每题4分共20分）
9、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，
则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为
10、对于正整数n有11111nnnnnn，若某个正整数k满足
11111
2
21123223433411kkkk
，则k
11、若不等式组1023544133xxaxxa 恰好有两个整数解，则a的取值范围是
12、已知1x、2x是方程2310xx的两个实数根，则312820xx
13、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例
函数kyx（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E、F．过点E作EM⊥y轴于
M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若BFmBE（其中m为大于l
的常数），记△CEF的面积为1S，△OEF的面积为2S，则 12:SS (用含m的
代数式表示）
三、解答题
14、（8分）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲
比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）。．
（1）分数段在 范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参
赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表
法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配
成同一种颜色的概率．
15、（8分）已知方程组210221kxxyykx，（x、y为未知数），有两个不同的实数解11xxyy，22xxyy。
（1）求实数k的取值范围。
（2）如果1212113yyxx，求实数k的值。
16、（10分）在锐角三角形ABC中，BC=5，4sin5A，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径； （2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长． 17、（10分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，23），B（2，0）。直线AB与反比例函数myx的图象交于点C和点D（-1，a）。 （1）求直线AB和反比例函数的解析式． （2）求∠ACO的度数。 （3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长。 18、（10分）当0a且0x时，20axx，20axax，2axax（当xa时取等号），记函数ayxx，（0x，0a），由上述结论知当xa时该函数有最小值2a。（1）已知函数1yx（0x）与函数21yx（0x），则当x 时，12yy取最小值为 （2）已知函数111yxx与函数22141yxx，求21yy 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值。 （3）已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
19、（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B
的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB
交y轴于点E。
（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线
交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动
时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相
似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。