二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系

y
- o 1
1 x
y
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，下列判断不正确的是（ ④） ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.
-1
2
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同 C） 一坐标系内的大致图象是（
(2)b2-4ac的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定。 (4) b的符号由对称轴的位置确定。 抛物线与x轴 有两个交点 对称轴在y轴左侧 抛物线与x轴 有1个交点 对称轴是y轴 抛物线与x轴 无交点 对称轴在y轴右侧
b=0
b2-4ac=0
你还能用其他方法确定b -4ac吗？
a, b异号 b2-4ac<0 2
1.a的符号
抛物线开口向上 抛物线开口向下
a>0
a<0
2. b的符号
由于对称轴是x= －b/2a;a,b共同决定对称轴 的位置.
x= －b/2a
交点在y轴左侧
x= －b/2a
ab＞0 a、b 同号 交点在y轴右侧
ab＜0
a、b
异号
左同右异
3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，
பைடு நூலகம்
c)
y
解：
∵开口向上
∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
b 在y轴右侧 2a b >0,而a>0
2a
．
-1
∴c<0
· 1
x
对称轴x
∴b<0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点
∴b2-4ac>0
b 4ac b 2 顶点（, ）在第四象限 2a 4a 4ac b 2 0, 又a 0, 4a b 2 4ac 0
b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
5.抛物线与x轴有两个交点， 两个交点间的距离为
(x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0)
d=∣x1－x2∣
x1 x2 由交点横坐标还可以得到抛物线的 对称轴x 2
例题学习
已知，y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c 的符号。
y
当x=1时，y=a +b+ c
由图象可知，点（1，a+ b+ c）在第四象限 a+ b+ c<0 -1
．
· 1
x
又x=-1时，y=a- b+ c 由图象可知，点（1,a- b+ c）在第二象限
∴a- b+ c>0
归纳： (1)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点的位置确定。
（2）a- b+ c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 （3）b2-4ac的符号
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
7.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（C ）
8.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （ B） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 9.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 （ A） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
＞ b2－4ac_____0
＞ a____0
＞ b____0 ＝ c_____0 ＞ b2－4ac_____0
＜ b2－4ac_____0
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，那么a,b,c,b2－4ac,a+b+c,a－b+c中 值小于零的有（ c ） ●
－1
●
1
A 5个； B 4个； C 3个；D 2个。
由抛物线与x轴的交点个数确定，也可以由顶点的位置确 定。
你还想到啥？
1.根据图象判断a、b、c及 2 ＞ a____0 ＜ b____0 ＜ c_____0
b －4ac的符号
＜ a____0 ＝ b____0 c_____0 ＝ ＝ b2－4ac_____0 ＜ a____0 ＞ b____0 ＜ c_____0
交点在y轴正半轴
C＞0
抛物线过原点
交点在y轴负半轴
C＜0
C=0
4.b2－4ac的符号
抛物线与x轴的交点纵坐标为0，所以由y=ax2+bx+c (a≠ 0),方程解的个数显示抛物线与x 轴交点的个数。 0)得0=ax2+bx+c(a≠
抛物线与x轴有两个交点
抛物线与x轴有一个交点 抛物线与x轴无交点
b2－4ac＞0
小结
拓展
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
(3 )c的符号由抛物线与y轴的交点确定。 （1）a的符号由抛物线的开口确定。 开口向上 交点在y轴正半轴上 交点是原点 开口向下 交点在y轴负半轴上
a>0 c>0 a<0 c=0 c<0
b a, b同号2-4ac>0
3.如果函数y=k x + b的图象在第一、二、 三象限内，那么函数y=kx2+bx－1的图象大 致是（ Ｂ ）
1 －1 1 －1
A
B
C
D
4.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如
图所示，下列结论中：①abc＞0；② b=2a；③a+ b+ c＜0；④a+ b- c＞0; ⑤a-b+ c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
(5)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c )所在象限位置确定。
（6）a- b+ c的符号
由x=-1时抛物线上的点（1,a+b+c）所在象限位置确定。
（7）b2-4ac的符号
拓展
(1)你会判断 4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?
(2)你还想到啥？
愿大家在共同学习中成长！
二次函数y 系数a, b, c的关系
2+bx+c的图象与 =ax
贺胜中学初三数学组
回顾知识点：`
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？ a 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 (0,c) 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
b x=- 2a
.
.
探索发现
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|相同，抛物线的开口大小相同