扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学

017-2018学年度第一学期期末检测试题

高三数学

2018.2

第一部分

一、填空题

1. 若集合A ={x |1

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100

名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直

方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的

人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为

__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4

y ≤33x +4y ≥12

，则x 2+y 2的取值范围是________。 9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等

差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2

a 2−y 2

b 2=1(a >0,b >0)的渐近线

与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是

__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +

1−4x 2x ，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ

⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。 13. 已知函数f (x )={log 12(−x +1)−1,x ∈[−1,k ]

−2|x −1|,x ∈(k,a ]

，若存在实数k 使得该函数的值域为[−2,0]，

则实数a 的取值范围是_______。 14. 已知正实数x,y 满足5x 2+4xy −y 2=1，则12x 2+8xy −y 2的最小值为_________。

二、解答题

15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D,E分别为AB,AC的中点，

(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE。

16.已知在ΔABC中，AB=6,BC=5，且ΔABC的面积为9

(1) 求AC；

)的值。

(2) 当ΔABC为锐角三角形时，求cos(2A+π

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17. 如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q 分别在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即∠POQ）为2π

、半径为1千米。为了

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方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计。

(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围：

(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值。

18. 已知椭圆E1:x 2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)，若椭圆E2:x2

ma2

+y2

mb2

=1(a>b>0,m>1)，则称椭圆E2

与椭圆E1“相似”。

(1) 求经过点(√2,1)，且与椭圆E1:x 2

2

+y2=1“相似”的椭圆E2的方程；

(2) 若m=4，椭圆E1的离心率为√2

2，P在椭圆E2上，过P的直线l交椭圆E1于A,B两点，且AP

⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB

⃗⃗⃗⃗⃗ ，

①若B的坐标为(0,2)，且λ=2，求直线l的方程；

②若直线OP,OA的斜率之积为−1

2

，求实数λ的值。

19. 已知函数f(x)=e x,g(x)=ax+b,a,b∈R

(1) 若g(−1)=0，且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线，求实数a的值；

(2) 若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数m的取值范围；

(3) 若对任意实数a，函数F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点，求实数b的取值范围。

20. 已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n，数列{b n}满足b1=1

2

，

2b n+1=b n+b n

a n

。

(1) 求数列{a n}、{b n}的通项公式；

(2) 设数列{c n}满足c n=b n+2

S n

，求和c1+c2+⋯+c n；

(3)是否存在正整数p,q,r(p

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高三数学

2018.2

第二部分（加试部分）

21.B．已知x,yϵR，若点M(1,1)在矩阵A=[2x

3y]对应变换作用下得到点N(3,5)，求矩阵A的逆矩

阵A−1。

C．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：{x=m+√2

2

t

y=√2

2

t

（t是参数，m是常数）。以O为极

点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ。

(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2) 若直线l与曲线C相交于P,Q两点，且|PQ|=2，求实数m的值。

22. 扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所。

(1) 求6名大学生至少有1名被分配到甲校学习的概率；

(2) 设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ=|X−Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望值E(ξ)。

23. 二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，S n是所有n位二进制数构成的集合，对于a n,b n∈S n，M(a n,b n)表示a n和b n对应位置上数字不同的位置个数。例如当a3=100,b3=101时M(a3,b3)=1，当a3=100,b3=111时M(a3,b3)=2，

(1) 令a5=10000，求所有满足b5∈S5，且M(a5,b5)=2的b5的个数；

(2)给定a n(n≥2)，对于集合S n中所有b n，求M(a n,b n)的和。