2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题07 平面向量 文

2020最新命题题库大全2020年高考试题解析数学（文科）分项专题
07 平面向量
2020年高考试题 一、选择题
(2020高考重庆文6)设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r
（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10 【答案】B
【解析】因为b a ⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以
)1,3(-=+b a ，10=+b a ，选B.
(2012高考全国文9)ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r
，||2b =r ，则AD =u u u r
（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455
a b -r r
【答案】D
【解析】如图，在直角三角形中，
521===AB CA CB ，，,则5
2=
CD ,所以5
4
54422=
-
=-=
CD CA AD ,所以
54=AB AD ,即b a b a AB AD 5
4
54)(5454-=-==，选D. (2020高考四川文7)设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||
a b
a b =r r
r r 成立的充分条
件是（ ）
A 、||||a b =r r
且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r
【答案】Ｄ
【解析】A.可以推得||||a b
a b =r r
r r 或||||b b a a -=为必要不充分条件；Ｂ可以推得|
|||b b a a -
=为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.
(2020高考浙江文7)设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|
(2020高考陕西文7)设向量a r =（1.cos θ）与b r
=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）
A
22 B 1
2
C .0 D.-1 【答案】C.
【解析】02cos 0cos 212
=⇔=+-⇔⊥θθb a ，故选C.
(2020高考广东文3)若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r
，则AC =u u u r
A. (4,6)
B. (4,6)--
C. (2,2)--
D. (2,2) 【答案】A
【解析】
(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=u u u r u u u r u u u r . (2020高考广东文10)对任意两个非零的平面向量α和β，定义=
⋅⋅o αβ
αβββ
. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬
⎭⎩
Z 中，则=o a b A.
52 B. 32 C. 1 D. 1
2
【答案】D
(2020高考辽宁文1)已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 1
2
(D)1 【答案】D
【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D
(2102高考福建文3)已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-
1
2
B.x-1
C.x=5
D.x=0 【答案】D
【解析】00122)1(=⇔=⨯+⋅-⇔⊥x x b a ，故选D
(2020高考天津文科8)在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP r =AB λr ，
AQ r =(1-λ)AC r
，λ
∈R 。

若BQ
r •CP
r
=-2，则λ=
（A ）1
3
（B ）23
C ）43
（D ）2
【答案】B
【解析】如图
，设==, 0,21=•==c b ，
又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由2-=•得
2)1(4)1()(])1([2
2-=--=--=+-•-+-λλλλλλb c b c c b ，即3
2,23=
=λλ，选B.
二、填空题
(2020高考新课标文15)已知向量,a b r r 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=r r r ；则_____b =r
(2020高考安徽文11)设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则
=||a ______.[
【答案】2
【解析】1(3,3),()3(1)3022
a c m a c
b m m m a +=+=++=⇔=-⇒=r r r r r r g 。

(2020高考湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC u u u v u u u v
g = .
【答案】18
【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v
g
22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 2
22()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.
(2020高考浙江文15)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅u u u r u u u r
=________.
【答案】-16
【解析】由余弦定理
222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠， 222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，
0180AMB AMC ∠+∠=，两式子相加为
222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=，
2222221068100
cos 222AB AC BC
AB AC BAC AB AC AB AC AB AC
+-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
68100
cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC
-⋅=∠=⋅=-⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
(2020高考山东文16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，
1)时，OP u u u r
的坐标为＿＿＿＿.
另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθ
sin 1cos 2y x ，且
223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即
)2cos 1,2sin 2(--=.
(2020高考江西文12)设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。

若
，则
=_______________
(2020高考江苏9)5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g ，则AE BF u u u r u u u r
g 的值是 ▲ ．
∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g
)
=cos cos sin sin =122
212
AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r
g g g g g 。

(2020高考上海文12)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别
是边BC 、CD 上的点，且满足BM
CN BC CD
=u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM AN ⋅u u u u r u u u
r
的取值范围是
(2020高考湖北文13)已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

(2102高考北.京文13)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______
2020年高考试题 一、选择题:
1．(2020年高考广东卷文科3)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===r r r
，若λ为实数，()//a b c λ+r r r
，则λ= （ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2
2.（2020年高考全国卷文科3)设向量a b r r 、
满足|a r |=|b r |=1, a b ⋅r r 1
=2
-,则2a b +=r r （A 2 （B 3（C 5（D 7【答案】B
4．（2020年高考重庆卷文科5)已知向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与共线，那么a b ⋅的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 二、填空题：
5. （2020年高考海南卷文科13)已知a r 与b r
为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b +r r 与向量ka b -r r
垂直,则k = .
【解析】要求→1b *→2b ，只需将题目已知条件带入，得：→1b *→2b =（→
1e -2→
2e ）*（3→
1e +4→
2e ）=2
2212
1823→→
→→-•-e e e e
其中2
1→e =1，=•→
→
21e e =ο
60cos 21••→
→
e e =1*1*21=21，12
2=→e ，带入，原式=3*1—2*2
1—
8*1=—6.
8. （2020年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b （-1,2），则a·b 等于_____________.
9. （2020年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r
=
(A)0 (B)BE u u u r (C)AD u u u r (D)CF uuu r
答案：D
解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
10．（2020年高考湖南卷文科13)设向量,a b r r 满足||25,(2,1),a b ==r r
且a b r r 与的方向相反，
则a r
的坐标为 ．
答案：(4,2)--
解析：由题2
||215b =+=r ，所以2(4,2).a b =-=--r r
11．（2020年高考湖北卷文科2)若向量{1,2},{1,1}a b ==-，则2a b +与a b -的夹角等于
A.4
π
-
B.
6
π
C.
4
π D.
34
π
12.（2020年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、
β为邻边的 平行四边形的面积为
1
2
，则α和β的夹角θ取值范围是___。

13. (2020年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=o
,AD=2,BC=1,P
是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +u u u r u u u r
的最小值为 .
【答案】5
【解析】画出图形,容易得结果为5.
14.(2020年高考江苏卷10)已知→
→21,e e 是夹角为
π3
2
的两个单位向量，,,22121→
→
→
→→
→
+=-=e e k b e e a 若0=⋅→
→b a ，则k 的值为 .
2020年高考试题
2020年高考数学试题分类汇编——向量
（2020湖南文数）6. 若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为 A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
（2020辽宁文数）（8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==u u u r r u u u r r
,则OAB ∆的面积等
于
（A
（B
（C
（D
解析：选
C.
111||||sin ,|||||||222OAB
S a b a b a b a b ∆=<>=r r r r r r r r
=
（2020全国卷2文数）（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r = a , CA u u u r
=
b ,
a = 1 ，
b = 2, 则CD uuu r =
（A ）
13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b 【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==
，∵ AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴ 222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，∴ 22213333CD CA AD b a b a b
=+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r
（2020安徽文数）(3)设向量(1,0)a =,11(,)22
b =,则下列结论中正确的是
(A)a b = (B)2
2
a b =g
(C)//a b (D)a b -与b 垂直
（2020山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)a m n =，
(,)b p q =，令a b mq np =-e ，下面说法错误的是
(A)若a 与b 共线，则0a b =e (B)a b b a =e e
(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=e e (D)2
2
2
2
()()||||a b a b a b +•=e 答案：B
（2020天津文数）（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，，1AD =u u u r
，则AC AD ⋅u u u r u u u r =
（A ）23 （B ）
32 （C ）3
3
（D ）3 【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC
•=•=•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∠∠∠sin B 3BC ==u u u r
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强
平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

（2020广东文数）
（2020福建文数）
（2020全国卷1文数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两
切点，那么PA PB •u u u v u u u v
的最小值为
(A) 42-+32- (C) 422-+322-+
11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2
sin 1x
α=
+，
||||cos 2PA PB PA PB α
•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v
=
22(12sin )
x α-=
222(1)1x x x -+=4221
x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则42
21x x y x -=+，
即4
2
(1)0x y x y -+-=，由2
x 是实数，所以
2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或32y ≥-+.
故min ()322PA PB •=-+u u u v u u u v
.此时21x =
-P
A
B
O
（2020四川文数）（6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =u u u r ， AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM u u u u r =
（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1
（2020湖北文数）8.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r
.若存在实m 使得AM AC mAM +=u u u u r u u u r u u u u r
成立，则m =
A.2
B.3
C.4
D.5
2020年高考数学试题分类汇编——向量
（2020上海文数）13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为
(5,0)，1(2,1)e =r 、2(2,1)e =-r
分别是两条渐近线的方向向量。

任取双曲线Γ上的
点P ，若12OP ae be =+u u u r u u r u u u r
（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 4ab =1 。

（2020陕西文数）12.已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ）∥c ，则
m ＝ －1 .
解析：0)1()1(21//)(),1,1(=-⨯--⨯+-=+m c b a m b a 得由，所以m=-1
（2020浙江文数）（17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，
设G 为满足向量OG OE OF =+u u u r u u u u u r u u u r
的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边
形ABCD 外（不含边界）的概率为 。

答案：3
4
（2020浙江文数）（13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是
答案 ：10
（2020广东理数）10.若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r
=(1,1,1),满足条件
()(2)c a b -⋅r r r
=-2,则x = .
10．C ．(0,0,1)c a x -=-v v ，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x -⋅=-⋅=-=-v v v ，解得2x =．
2020年高考数学试题分类汇编——向量
（2020江苏卷）15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（2020江苏卷）15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(3)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (4)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r ，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
故所求的两条对角线的长分别为42、210。

2020年高考试题
2020年高考数学试题分类汇编——向量
一、选择题
1.(2020年广东卷文)已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－）， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】
【解析】+a b 2
(0,1)x =+,由2
10x +≠及向量的性质可知,C 正确.
4.（2020浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ）
A ．77
(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93
--
5.（2020北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
6.（2020北京卷文）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，
若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( )
A ． 三角形区域
B ．四边形区域
C ． 五边形区域
D ．六边形区域
9.（2020全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= 52b ︱= （A 5 （B ）10（C ）5 （D ）25 答案：C
解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由52a b +=a+b ）2=a 2+b 2
+2ab=50，
得|b|=5 选C 。

E
F
D
C
B
A
15.（2020湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B
【解析】由计算可得(4,2)3c c b ==-v v v
故选B
16.（2020湖南卷文）如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则【 A 】
A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r
D ．0BD B
E FC --=u u u r u u u r u u u r r
图1
解: ,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
Q 得0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r ，故选A. 或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .
17.（2020辽宁卷文）平面向量a 与b 的夹角为0
60，a ＝(2,0), | b |＝1，则 | a ＋2b |＝
（A ）3 （B ）23 （C ）4 （D ）12
【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2
＝a 2
＋4a ·b ＋4b 2
＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23 【答案】B
18.（2020全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,
（A ）150°B ）120° （C ）60° （D ）30°
19.（2020陕西卷文）在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =u u u r u u u u r
,则科网()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
等于
（A ）
49 （B ）43 （C ）43- (D) 49
-
20.（2020宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 （A ）17-
（B ）17 （C ）16- （D ）16
【答案】A
【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝1
7
-，故选.A 。

22.（2020福建卷文）设→
a ，→
b ，→
c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→
a 与→
b 不共线，
→a ⊥→c ∣→a ∣=∣→c ∣,则∣→b •→
c ∣的值一定等于
A ．以→
a ，→
b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以→
b ，→
c 为两边的三角形面积 C ．→
a ，→
b 为两边的三角形面积 D. 以→
b ，→
c 为邻边的平行四边形的面积
24.（2020重庆卷文）已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】D
解法1因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与
42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。

解法2因为a b +与42b a -平行，则存在常数
λ，使(42)a b b a λ+=-，即
(21)(41)a b λλ+=-，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故2x =。

二、填空题
2.（2020江苏卷）已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o
，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的
数量积a b ⋅r r
= 。

【解析】 考查数量积的运算。

3
2332
a b ⋅=⋅⋅=r r
4.（2020安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或
=
+
，其中
，
R ，则
+
= _________。

w.w.w.zxxk.c.o.m
5.（2020江西卷文）已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r
则
k = ． 答案：0
【解析】因为(3,1),a c k -=--r r
所以0k =.
7.（2020湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r
，
则 x = 31+
，y =3
.
图2
解:作DF AB ⊥,设12AB AC BC DE ==⇒==
，60DEB ∠=o Q ,6,2
BD ∴=
由45DBF ∠=o
解得623,222DF BF ==
⨯=故31,2x =+3.2
y = 8.（2020辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.
【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
∴OD OA OC OB =+-u u u r u u u r u u u r u u u r
＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2) 【答案】（0，－2）
2020年高考试题
2020文科向量
10．（2020宁夏）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ） A ．a ，b 方向相同
B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C ．λ∈R ∃，λ=b a
D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b
12．（2020湖南7）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r
( D )
A ．23-
B ．3
2
- C ．32 D ．23
15．（2020辽宁5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且
2BC AD =u u u r u u u r
，则顶点D 的坐标为（ A ）
A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(13)，
22．(2020山东8) 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B
，的大小分别为（ C ） A ．ππ
63
，
B ．
2ππ36
， C ．ππ36
，
D ．ππ33
，
2．（2020北京11）已知向量a 与b 的夹角为120o
，且4==a b ，那么g a b 的值为________．8-
3．（2020湖南11）已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则+=_____________________.2
5．（2020江苏5）b a ρϖ,的夹角为ο120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 7
9．（2020全国Ⅱ）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．2
11．(2020天津14) 已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=-g c a a b b ，则
=c ．82
14．（2020浙江16）已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g
，则||b r
的取值范围是 。

[01]，
2020年高考试题
2020年平面向量
（北京4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r
，
那么（ Ａ ）
Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r
Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r
Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r
（辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭
g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ）
A ．0
B ．
π6
C ．
π3
D ．
π2
（辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则
向量a =（ A ）
A ．(12)--，
B ．(12)-，
C ．(12)-，
D ．(12)，
（湖北2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，a 平移，
则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ）
Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必
有（ A ）
A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
（湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）
A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r
B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r
D ．EF OF O
E =--u u u r u u u r u u u r
（浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ Ｃ ） Ａ．2>
2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b
Ｄ． 22<+b a b
（浙江文9）若非零向量a r 、b r 满足｜a r 一b r ｜＝｜b r
｜，则（Ａ） (A) ｜2b r ｜＞｜a r 一2b r ｜ (B) ｜2b r ｜＜｜a r 一2b r
｜ (C) ｜2a r ｜＞｜2a r 一b r ｜ (D) ｜2a r ｜＜｜2a r 一b r
｜
（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ Ｃ ） A ．1
B 2
C ．2
D ．4（重庆5）在ABC △中，
3AB =45A =o ，75C =o ，则BC =（ Ａ ）
Ａ．33
2
Ｃ．2
Ｄ．33+
（重庆10）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=u u u r u u u r u u u r
， 4AB BD BD DC +=u u u r u u u r u u u r u u u r
g g ，0AB BD BD DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r g g ， 则()AB DC AC +u u u r u u u r u u u r
g 的值为（ Ｃ ）
D
C
A
B
题（10）图
Ａ．2 Ｂ．
22
Ｃ．4
Ｄ．42
（上海14）直角坐标系xOy 中，i j r r
，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角
形ABC 中，若j k i AC j i AB ρ
ρρρ+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ B ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
二、填空题
（安徽13）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===u u u r u u u r u u u r
，
，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r
111
244++a b c （用，，a b c 表示）．
（北京11．）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是
3-
（湖南12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b 7，
3c =B = 5π
6 ．
（湖南文12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =π
3
C =，则A = π
6 ．
（陕西15. ）
如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 .
（天津15．）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，
2DC BD =，则AD
BC =u u u r u u u r
· 8
3- ． 三、解答题：
35．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=∠+·．
在ABC Rt △中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=
+·．
36．（福建）17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4
A =
，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
37．（广东）16.（本小题满分12分）
已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;
（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.
解：(1) (3,4)
AB =--u u u r
,
(3,4)
AC c =--u u u r
当c=5时，
(2,4)
AC =-u u u r
cos cos ,5255A AC AB ∠=<>==⨯u u u r u u u r 进而225sin 1cos A A ∠=-∠=
(2)若A 为钝角，则
AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2
<0 解得c>325
显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325
，+∞)
38．（广东文）16．(本小题满分14分)
已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =g ，求c 的值；
(2)若5c =，求sin ∠A 的值
39．（浙江）（18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．
（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数．
40．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船
的
北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒
方
向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
41．（山东文）17．（本小题满分12分）
在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，
． （1）求cos C ；
（2）若52
CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan 3737cos C
C C
=∴=Q ，
又2
2
sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±
． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．
（2）52CB CA =u u u r u u u r Q g
， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b +=Q
22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
42．（上海）17．（本题满分14分）
在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4
π,2=
=C a ，
5
522cos
=B ，求ABC △的面积S ． 解： 由题意，得3
cos 5B B =，为锐角，5
4sin =B ，
102
74π3sin )πsin(sin =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7
10=
c ， ∴ 111048
sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=g ．
43．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．
44．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分） 在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边3BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π
<<
3
． 应用正弦定理，知
23
sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3，
2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫
=
=- ⎪3⎝⎭
．
2020年高考试题
2020年平面向量
1．（2020年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r
，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______。

（用a b r r 、
表示） 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12
AM a b =+u u u u r r r
，所以
3111()()4244
MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r 。

3．（2020年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121.x x y y =-+-
给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o
C ∠=则2
22
;AC
CB AB +=
③在ABC ∆中，.AC CB AB +>
其中真命题的个数为 （ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
4．（2020年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD A. BA BC 21+
- B. BA BC 2
1
--
C. BA BC 21-
D. BA BC 2
1
+ 4．BA BC BD CB CD 2
1
+-=+=，故选A.
6. （2020年上海春卷）若向量b a ρ
ρ、的夹角为ο150，4,3==b a ρρ，
则=+b a ρ
ρ2 2 . 7．（2020年四川卷）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）
（A ）1213,PP PP u u u u r u u u u r （B ）1214,PP PP u u u u r u u u u r
（C ）1215,PP PP u u u u r u u u u r （D ）1216,PP PP u u u u r u u u u r
8．（2020年天津卷）设向量a ρ与b ρ
的夹角为θ，且)3,3(=a ρ，)1,1(2-=-a b ρρ，则=θcos _
310
_． 9.（2020年湖北卷）已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=
⋅b a ，
则b = （B ）
A. ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛433,41 D. ()0,1
9．解选B 。

设(),()b x y x y =≠，则依题意有221,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1,23.
2
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩ 10．（2020年全国卷I ）函数()tan 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调增区间为
A ．,,22k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
D ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ 10．以下如无特别说明，k Z ∈。

可以按部就班地解：tan y t =（自变量为t ）的单调区间为（
2k π
π-，
2k π
π+
），设4t x π
=+，则t 是关于x 的单调增函数。

解
2
4
2k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
，得
344k x k ππππ-
<<+。

按部就班地解是最安全的办法。

11．（2020年全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
A ．
14 B ．3
4
C ．24
D ．23
11．设1a =，则2c =，2b =。

2221423
cos 244a c b B ac +-+-===。

选B 。

选支不带或，你要不用特值法，那都对不起出题的人！
14．（2020年江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数
R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解：根据三角函数的图像变换法则易得：把R x x y ∈=,sin 2向左平移6
π
个单位长度得
2sin ,6y x x R π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭
，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）故选（C ）
点评：本题主要考查形如()sin y A x ωϕ=+的三角函数图像的变换
15． （2020年辽宁卷）已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值
域是
(A)[]1,1- (B)
2,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ (C) 21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D) 21,2⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦ 16．（2020年北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是_
3
π
_____________. 17．（2020年上海卷）如果αcos ＝
51，且α是第四象限的角，那么)2
cos(πα+＝ 26
5
． 18．（ 2020年浙江卷）函数y=
2
1sinx+4sin 2
x,x R ∈的值域是 ( C ) (A)［-21,23］ (B)［-23,21
］
(C)［2122,2122++-］ (D)［2
122,2122---］ 21．(2020年山东卷）已知函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求ϕ;
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008). 21. (1)ϕ=
4
π
;(2)2020. 22．（2020年上海卷）求函数y ＝2)4
cos()4
cos(π
π
-
+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正
周期． [解]
23. ( 2020年湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠AB C=β.
（1）证明 sin cos 20αβ+=;
B
D
C
α
β A
（2）若AC=3DC,求β的值.
23．
3
π
24．（ 2020年浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤
2
π
)的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求.
的夹角
与PN
PM
24.
15
arccos
17
25．（2020年北京卷）已知函数
12sin(2)
4
()
cos
x
f x
x
π
--
=，
（Ⅰ）求()
f x的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且
4
tan
3
α=-，求()
fα的值.
25. （Ⅰ）{|,}
2
x x k k Z
π
π
≠+∈,（Ⅱ）
14
5
.
26．（2020年辽宁卷）已知函数22
()sin2sin cos3cos
f x x x x x
=++，x R
∈.求: (I) 函数()
f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
(II) 函数()
f x的单调增区间.
∴当22
42
x k
ππ
π
+=+,即()
8
x k k Z
π
π
=+∈时, ()
f x取得最大值22
+
函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+
∈.
27．（2020年江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是 边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ， 设∠MGA ＝α（
23
3
π
π
α≤≤
） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2） 表示为α的函数
（2） 求y ＝2212
11
S S ＋的最大值与最小值
（1）
（2） y ＝221211y y ＋＝222144sin sin sin 66
ππααα〔（＋）＋（－）〕 ＝72（3＋cot 2
α）因为233ππα≤≤，所以当α＝3
π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240
当α＝2
π
时，y 取得最小值y min ＝216
28．（2020年全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，
α
D
A C
M
N
cos 2cos
2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。

29. （2020年湖北卷）设函数
()()c b a x f +⋅=，其中向量
()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-= ()R x x x c ∈-=,sin ,cos .
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心
对称，求长度最小的d .
29．点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

30．（2020年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π
2
．
（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；
（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 30．解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，……………2分
由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π
4
；………………4分
（Ⅱ）由a ＝(sin θ
，1)，b ＝(1，cos θ)得
｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)
＝
3＋22sin(θ＋π
4
)，………………10分
当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π
4
时，|a ＋b |最大值为2＋1．……
12分 31．（2020年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,1].DM tDE t =∈u u u u r u u u r
（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

2020年高考试题
平面向量
1.（2020全国卷Ⅰ）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
)(m ++=，则实数m = 1
2．（2020全国卷Ⅱ）已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于
（ C ）
－2
y
1
－1
1x －1
A
C
D E （第21题）
O
A ．2
B ．
21 C ．－3 D ．－3
1 3．（2020全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动
方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 （ C ） A ．（－2，4） B ．（－30，25） C ．（10，－5） D ．（5，－10）
6.（2020上海卷）直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。

7.（2020天津卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC =10310,55⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭
8.（2020福建卷）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则k 的值是 （ D ）
A ．5
B ．－5
C ．2
3
D ．2
3-
11.（2020江苏卷）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+•的最小值是_-2_________。

12.（2020
江西卷）已知向量
与则若,2
5
)(,5||),4,2(),2,1(=
⋅+=--= （ C ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
[
13（2020江西卷）已知向量
x f x x x x ⋅=-+=+=)()),4
2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令π
ππ.
是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出
x 的值；若不存在，则证明之.
答：2
x π=
时，()()0f x f x '+=
16.(2020湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心。