二次函数压轴题之四边形的存在性(讲义及答案)

课前预习

1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 点坐标为(3，4)，若B 为x 轴上一点，且恰好使得以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则点B 的坐标为_____________．

提示：两定点一动点的等腰三角形存在性问题，

考虑两圆一线．

2.如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠C =90°，AB =8，动点E 从点B 出发，以每秒1个单位长度沿BA 方向向终点A 运动；同时动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度沿AC 方向向终点C 运动，当点D 到达终点时，两点同时停止运动．设点D 的运动时间为t 秒，当△ADE 是等腰三角形时，t 的值为_______．提示：夹角固定两点动的等腰三角形存在性问题，列方程求解

时要充分考虑夹角、等腰三角形三线合一的使用．

二次函数压轴题之四边形的存在性（讲义）

知识点睛

1.存在性问题的处理思路

①分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结

合图形形成因素（判定等）考虑分类．

②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．

③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

2.菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想

来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：

①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可

借助菱形性质解决．

②矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理．

③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．

精讲精练

1.如图，已知二次函数的解析式为y=x2+6x+8，抛物线与x轴交

于A，B两点，点C(-1，n)在抛物线上；若点P在直线AC上，点Q在坐标系内，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为_____________________．

2.如图，已知抛物线y=x2-x-2与x轴交于A，B两点，与y轴

交于点C．

（1）若点P在对称轴右侧的抛物线上，使得△P AC为直角三角形，则点P的坐标为_____________________；

（2）将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，且第三个顶点落在矩形这一边的对边上，则矩形未知顶点的坐标为_________________．

3.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交

于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE与x轴交于点E，连接BD．已知点P为BD的中点，过点P作PF ⊥x轴于点F，点G为抛物线上一动点，点M为x轴上一动点，点N为直线PF上一动点，若以点F，M，N，G为顶点的四边形是正方形，则点M的坐标为__________________ ____________________．

4.如图，在平面直角坐标系中，直线3342

y x =-与抛物线214

y x bx c =-++交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．

①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；

②连接P A ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．

5.如图，已知直线113

y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD ．

（1）点M 在CD 上，且CM =OM ，抛物线y =x 2+bx +c 经过点C ，M ，求抛物线的解析式．

（2）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．

【参考答案】

课前预习1.

125(0)6B ，，B 2(-5，0)，B 3(5，0)，B 4(6，0)2.

4或1243-或434- 精讲精练1.

12(222)(222)Q Q ----+，，，，Q 3(-4，2)，Q 4(-3，-1)2.（1）125735()()2424

P P -，，，；（2）第一种情况：未知点D (-1，-2)；第二种情况：未知点4812()()5555

E F --，，， 3.1121(0)2M +，，2121(0)2M -，，3313(0)2M +，，4313(

0)2

M -，4.（1）2135442

y x x =--+；（2）①23184882555l x x x =--+-<<（），最大值为15；②1317(2)2P --，，2317(2)2P -+，，3789789()22

P -+-+，5.

（1）2732y x x =-+；（2）存在，菱形周长为1828-或102．