算法设计与分析报告大作业

算法分析与设计大作业

班级：12信科

姓名：郭倩南

学号：1242155105

完成日期：2015-6-4

指导教师：陈平

序号选定题目所用算法设计技术1数字三角形问题动态规划

2集合划分问题分治法

3

回溯法

求子集问题

评分：

大作业报告

1、数字三角形问题

一、问题描述

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的底至顶的路径经过的数字和的最大值。如：7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

二、实验内容与实验步骤

实验内容:

输入数据的第1 行是数字三角形的行数n，1<=n<=100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间

实验步骤:

1、首先证明该问题满足最优化原理

最优化原理：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。

2、建立动态规划函数

3、填表

三、实验环境

Window7系统，vc++6.0软件

四、问题分析

由观察数字三角形可知，从数字三角形的顶层出发，下一层选择向左还是向右取决于两个4层数字三角形的最大数字和，而对于第四层的决定取决于第三层的最大数字和，依次类推，可知该问题是多阶段决策最优化问题，并且划分出来的子问题是相互重叠的，所以该问题采用动态规划法解决

动态规划：与分治法相似，把问题分解按层次分成子问题，直到可以直接求解的子问题，然后一级一级地向上求解。

与分治法的出别在于：动态规划适用有许多重复子问题出现的问题，它保留已求出问题的解。

7

3 8 3 8

8 1 0 8 1 1 0

2 7 4 4 2 7 4 7 4 4

4 5 2 6 5 4 5 2 6 5 2 6 5

一个五层数字三角形子问题（1）子问题（2）

五、问题解决

（1）根据对问题的分析，写出解决办法。

1、证明：S,S1,S2,..Sn,t是从S到t的一条数字和最大的路径，从源点S开始，设从S到下一段的顶点S1已经求出，则问题转化为求从S1到t的数字和最大的路径，显然S1，S2，...Sn,t一定构成一条从S1到t的数字和最大值的路径，如若不然，设S1，r1,r2,....rq,t是一条数字和最大的路径，则S,S1，r1,r2,....rq,t 的路径经过数字和的最大值比S,S1，S2，...Sn,t的路径数字和更大，从而导致矛盾，所以数字三角形问题满足最优性原理。

2、动态规划函数：

a[i][j]+=a[i+1][j] 当a[i+1][j]>a[i+1][j+1] 时

a[i][j]+=a[i+1][j+1] 当a[i+1][j]<=a[i+1][j+1] 时

3、填表

（2）你在调试过程中发现了怎样的问题？又做了怎样的改进？

答：（a）在代码编译成功后，显示屏上无任何提示语，让人有点不知所措，感觉设计的不太人性化，于是在代码中又添加了一些提示语句，使其更容易理解和操作

（b）算法设计比较简单，运行结果没有显示路径，所以还有待研究

（3）描述你在进行实现时，主要的函数或操作内部的主要算法；分析这个算法的时、空复杂度

答：主要算法：

int func()

{

int i,j;

for(i=n-1;i>=1;i--)

for(j=1;j<=i;j++)

{

if(a[i+1][j]>a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j];

else a[i][j]+=a[i+1][j+1];

}

return a[1][1];

}

该段代码是程序的核心部分，可以根据此代码进行填表。

算法复杂度：O(T(n)∈O(n^2))

六、实验结果总结

七、附录及源程序

#include

using namespace std;

const int M=100;

int n;

int a[M][M];

int func()

{

int i,j;

for(i=n-1;i>=1;i--)

for(j=1;j<=i;j++)

{

if(a[i+1][j]>a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j];

else a[i][j]+=a[i+1][j+1];

}

return a[1][1];

}

int main()

{

int i,j,max;

cout<<"请输入行数:";

cin>>n;

cout<<"请输入数字三角形:\n";

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

cin>>a[i][j];

max=func();

cout<<"最大值为"<

}

实验参考的资料

【1】C++面向对象程序设计清华大学出版社

【2】算法分析与设计（第二版）清华大学出版社

2、集合划分问题

一、问题描述

给定正整数n，计算出n个元素的集合{1，2，…，n}可以划分为多少个不同的非空子集。

二、实验内容与实验步骤

n个元素的集合{1，2，…，n}可以划分为若干非空子集。例如，当n=3时，集合{1，2，3，4}可以划分为5个不同的非空子集。

三、实验环境

Window7系统，vc++6.0软件