多线性分数次Hardy算子交换子的有界性
Campanato函数与θ(t)型Calderón-Zygmund算子交换子在Hardy空间上的有界性
第ｌ ７卷第 １期
安庆 师 范学院 学报 （自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ ｎ ｉｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃｏｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆＡ ｑｎ ｅ ｃ ｅｓ ｌ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ） ｎ ｅ ｉ ｏ
Ｆｅ ２ １ ｂ．０ｌ
（ｉｒ（）＝Ｊ （， Ｙｄ ０ｅ ｉ） ｉｆ ｙ ）ｙ ） ．．
定义 ２
ｓｐ∽ 。 ｕｐ
， ０≤ Ｏ ≤ １ １≤ ｑ ＜ ∞ ， ｔ ， 如果
设 ∈Ｌ ） 称 属 于 Ｃ ｍ ａ ａｏ空 间 ｌ（ ， ａ ｐ ｎｔ
｛ ） ） ｃ∞ 南 ＜ ＝
其 中 Ｊ ） Ｂ 中 任 球并 为 的ｃ ｐａ范 ，为 ，为 的 意 ，称ｃ 厂 ａ ａｔ 数记 ： ｍ ｎ。
（
（ ）存 在 ｃ ＞Ｏ， 得 Ｖ ∈ ｃ ） ｌ ｆｌ １ 使 厂 （ ，ｌ ｌ ｒ （ ）存在 定 义在 ＝ ｛ ，） ∈ ２ （ Ｙ
（ｉ）对 于 ，。Ｙ ∈ ｉ ，
≤ ＣＩ ｌ ； ｆｌ ｌ （
×
≠Ｙ ｝上 的连续 函数 后 ，）和 常数 Ｃ ＞０使 得 （ Ｙ ，
（ｉ）Ｉ （ Ｙ ≤ Ｃｌ 一）ｌ （ Ｙ ； ，）ｌ ｋ ， 一， ， ）∈
， ２Ｉ —Байду номын сангаасｌ Ｉ时有 ： 当 。 ＜Ｉ Ｙ一
）Ｉ 。 — ｙ— Ｉｎ
Ｉ （ ｙ ， ）一ｋ ｘ ，）ｌ ｌ （ ，）一ｋ ｙ ）ｌ ｃ （ （ ｏｙ ＋ ｙ 戈 ｋ （ ，。 ≤
２１ 年 ０１
注 由
的定义可 知 ， Ｏ ＝０时 ， 当 ／
＝Ｂ 。而 Ｂ 。＝Ｂ ＭＯ ， ＭＯ ＭＯ， 由此可见 ，
Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性
Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性张建林【摘要】利用Hardy空间上的原子分解和Cauchy不等式证明了向量值极大算子在Hardy空间上的有界性,并推广到向量值极大算子的加权情形.【期刊名称】《玉林师范学院学报》【年(卷),期】2010(031)002【总页数】3页(P16-18)【关键词】加权Hardy空间;向量值Hardy-littlewood极大算子;有界性【作者】张建林【作者单位】中原工学院,数学系,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】O175Abstract:The boundedness of vector-valued maximal operators is obtained on Hardy space. This result is generalized the weighted vector-valued maximal operators, by using atom decomposition and Cauchy inequality. Key words: Weighted Hardy space; Vector-valued Hardy-littlewood maximal operators; boundedness设函数f(x)为Rn上局部可积的，即f(x)∈Lloc(Rn)，x∈Rn，令Q是Rn中含x 的任意球体或方体，称为f(x)的定义在Rn上的Hardy-Littlewood极大函数，简记为H-L极大函数，称M为H-L极大算子. 关于该算子在Lebesgue空间以及Hardy空间的性质可以参看文献[1]. 但是关于H-L极大算子在Hardy空间（0〈P≤1）时的性质的研究还不够深入，本文利用Hardy空间中的原子分解证明了向量值H-L极大算子的Hp-Lp 有界性，并把它推广到加权情形. 关于向量值空间Lp(lr)的定义可以参阅文献[2]，[5].在本文中，Hp(Rn)表示Rn上的Hardy空间，‖‖p,ω为该空间的范数，ω(x)为加权函数. C为常数，但各处不尽相同.我们知道，如果1〈p〈∞，f∈Hp，则有Hp=Lp，我们得到为了得到我们的结果，我们需要如下引理[3].引理1 设φt为Rn中中心在原点，半径为t的球面上的正规面测度，φt为φ的一个伸缩函数，即据有关知识[2]得知：引理2 当|x|≥2|y|>0时，不等式和成立.利用上述引理，我们可以得到定理1 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，那么序列Mf={Mf1,Mf2, Mf3, ..., Mfn, ...}∈Lp，并且在加权hardy空间上，向量值极大算子的有界性也可类似得到.定理2 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，ω(x)为权函数，则定理1的证明首先假设0〈p≤1，由于 f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp(lr)，我们只要证明任意一个fj( j≥1)在Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们使用原子分解，得到那么，对任意一个那么所以只需要对证明不等式：设p-原子a的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性[4]知，可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，我们利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理1得证.定理2的证明假设0〈p≤1，由于f ={f1, f2, ..., fn, ...}∈Hp(lr)，所以，对于非负权函数为ω(x)，我们只要取任意一个fi，证明极大算子在加权Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们同样使用原子分解的方法，只需对任意一个而那么所以此时只需要对证明不等式：成立即可，其中ω∈Ap.设p-原子aj的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性知，我们可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理2得证.【相关文献】[1] Stein E M. Harmonic analysis[M]. Princeton: Princeton University Press, 1993.[2] 周民强. 调和分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社, 1999.[3] 韩永生. 近代调和分析方法及其应用[M]. 北京：科学出版社，1999.[4] Muckenhoupt. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 165:207～226[5] 党健，张建林. 虚数阶Laplace算子的向量值估计[J]. 洛阳大学学报，2006，2:26-28.。
粗糙Hardy—Littlewood极大交换子在Herz空间上的有界性
Ｃ
证明 设 ） ’ Ｒ）记 ） Ｅ ， ＝∑厂戈 ＝∑ ， （ （ （） （） 则
Ｉ ｂ（ Ｉ Ｉ ， Ｉ ０ Ｍ 碍 ＝｛ ２ Ｉ （ １ ｎ Ｍ
，
∑～
２
脚
ｌ） Ｉ
Ｉ
∑
≤
，
∑２ ∑ Ｉ ｂ（ 帅【 Ｉ Ｍ
对某一常数 Ｃ （ ｙ 满足标准尺寸条件 ， 。 ）
ｌ ， ｉ ，， ≤ Ｉ ｝ ） （
Ｉ
一
Ｉ
≠Ｙ
（） １
设 ｒ∈ （ ． ， ∈Ｌ（ ） ０阶齐次函数 ， １ ∞】 力 Ｓ 是 如果我们用以下“ 粗糙”尺寸条件
ｃ ｙ （） ２
代替 （ ） 那么对于齐次 ｔ ｒ空间上这类交换子是否有界呢？ ［ ］ １， ｔｚ ｅ 在 ２ 中江寅生等得到了加权Ｈ ｒ空间上由某 ｅ ｚ 些粗糙算子和 Ｂ （ ｎ函数所生成 的交换子的有界性 ， ＭＯ Ｒ ） 受此启发我们考虑了在齐型 ｔ ｒ空间上 由某些粗 ｔｚ ｅ 糙算子和 Ｂ （ “函数所生成 的交换子是否有界呢？ ＭＯ Ｒ ） 在本文 中我们主要研究了齐次 Ｈ ｒ空间上粗糙 Ｈ ｒ ｅ ｚ ａｄ ｙ
２ １ 年 ８月 ０１
洛阳师范学院学报
Ｊｕ ａ ｆＬ ｏ ａ ｇＮｏｍａ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ｌｏ ｕ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎｖｒｉ ｎ ｔ
Ａｕｇ ．，２ ０１１
第３ Ｏ卷 第 ８ 期
Ｖ０． ０ Ｎ ． １３ ｏ ８
粗 糙 Ｈａｄ ｒ ｙ—Ｌｔ ｅ ｏ ｄ极 大 交 换 子 ｉｌｗ ｏ ｔ 在 Ｈｅｚ空 间 上 的 有 界 性 ｒ
关键词 ：Ｈ 空闻 ；ＭＯ函数； ｅ Ｂ 奇异积分 算子 ； 交换ｑ ； － 粗糙 核
齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性
齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性陶双平;武江龙;孙小春【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2009(029)001【摘要】In this paper, we study the boundedness of higher order commutators.By using the truncated operator methods and the techniques of function compositions, we not only obtain the boundedness results for higher order commutators generated by the sublinear operators and BMO functions on homogeneous Morrey-Herz spaces, but also get the boundedness for higher order commutators type of convolution operators.%本文研究了高阶交换子的有界性, 利用截断算子方法和函数分解技术, 在齐次Morrey-Herz空间上, 得到了由次线性算子与BMO函数生成的高阶交换子的有界性以及卷积类算子高阶交换子的有界性.【总页数】6页(P21-26)【作者】陶双平;武江龙;孙小春【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070;牡丹江师范学院数学系,黑龙江牡丹江,157012;西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O174.2【相关文献】1.一类分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军2.N维分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军3.交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 杨明华;张学铭;刘冬华4.齐次Morrey-Herz空间上多线性交换子的有界性 [J], 王立伟;束立生5.带粗糙核的参数型Marcinkiwicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 张爱翠;陈金阳;王松柏;江秉华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
θ(t)-Calderón-Zygmund算子在群上的Hardy空间Hp(G)中的有界性
θ(t)-Calderón-Zygmund算子在群上的Hardy空间Hp(G)
中的有界性
赵凯
【期刊名称】《数学研究及应用》
【年(卷),期】2000(020)003
【摘要】设G为局部域K上的2n+1维Heisenberg群,文献[1]给出了一类Hardy空间Hp(G),(0<p≤1),本文讨论了θ(t)-Calderón-Zygmund算子在
Hp(G)(0<p≤1)中的有界性.
【总页数】5页(P459-463)
【作者】赵凯
【作者单位】青岛大学数学系,266071
【正文语种】中文
【中图分类】O174.6
【相关文献】
1.Calderón-Zygmund型算子在加权Herz型Hardy空间上的有界性 [J], 王杰;束立生
2.Calderón-Zygmund型算子在加权Herz型Hardy空间上的有界性 [J], 王杰;束立生
3.Campanato函数与θ(t)型Calderón-Zygmund算子交换子在Hardy空间上的有界性 [J], 陈玲玲
4.Calderón-Zygmund算子交换子在Herz型Hardy空间上的加权有界性 [J],
王振;赵凯
5.Dini型多线性Calderón-Zygmund算子在Herz型Hardy空间上的有界性 [J], 王美仲;叶晓峰
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
多线性交换子的Sharp估计
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｍ ｍｕｔ ａ ｔ ｏ ｒ； ｓ ｉ ｎｇｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ；ｓ ｐａ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｏ ｍｏｇ ｅ ｎ ｅ ｏ ｕｓ ｔ ｙｐ ｅ； ＢＭ Ｏ ｓ ｐａ ｃ ｅ； Ｓｈａ ｒ ｐ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕａ ｌ ｉ ｔ ｙ
２ ． Ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ Ａｆ ｆ ａ ｉ ｒ ｓ Ｏｆ ｆ ｉ ｃ ｅ ，Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ Ｓ ｏ ｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ，Ｂ ａ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ０ ７ １ ０ ０ ０，Ｃｈ ｉ ｎＴｈ ｅ ｓ ｈ ａ ｒ ｐ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｍ ｍｕ ｔ ａ ｔ ｏ ｒ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ
ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏｒ ｏ ｎ ｔ ｈｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎ ｅ ｏ ｕｓ ｔ ｙ ｐ ｅ ｂｙ ｍｅ ａ ｎｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｂｏ ｕｎ ｄ ｅ ｄｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｓ ｉ ｎｇ ｕｌ ａ ｒ ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏｒ ｗａ ｓ ｐｒ ｏｖ ｅ ｄ．
Ｖｏ １ ． ３ ３ ＮＯ ． １
薛定谔型算子的交换子的加权l~p有界性
薛定谔型算子的交换子的加权l~p有界性
含有交换子的薛定谔型算子有着良好的有界性，此有界性主要表现在其l~p加权中。
下面是l~p加权有界性的几种表现形式：
I.L1加权有界性:L1加权有界性表明，算子的组成元素是通过l1范式进行加权，其吸收小值而抵抗大值，从而提升算子的安全性和稳定性。
II.L2加权有界性:L2加权有界性表明，算子的组成元素是通过l2范式进行加权，其能够抑制病态数据带来的紊乱，能够有效克服算子计算过程中的噪声，从而提高算子的稳定性。
III.P加权有界性:P加权有界性表明，算子的组成元素是通过p范式进行加权，其强调更多的元素的一致性，可以有效克服噪声带来的影响，从而在高维空间中保持有界性。
以上就是薛定谔型算子的l~p加权有界性的几种表示形式。
l1加权有界性可以抵抗大值的负面影响，能够显著提升安全性和稳定性；l2加权有界性可以抑制病态数据带来的紊乱，从而提高算子的稳定性；而p 加权有界性可以有效克服噪声影响，保持高维空间的有界性。
总之，薛定谔型算子的l~p加权有界性是一种有效的处理算子有界性的方法，有助于提高算子的稳定性和安全性。
两类算子及其交换子的有界性的开题报告
两类算子及其交换子的有界性的开题报告一、题目：两类算子及其交换子的有界性二、研究背景和意义：在数学中，算子是指把一个函数变成另一个函数的映射，是一种广泛存在于各种数学问题中的概念。
有界算子则是指从一个赋范空间到另一个赋范空间的线性变换，并且满足其模（也称范数）有一个有限的上界。
本研究主要关于两类算子的有界性问题：1. 微分算子：微分算子指的是将一个函数对自变量的导数映射为另一个函数的线性算子。
在实际问题中，微分算子应用非常广泛，如在物理学和工程学中都有着重要应用。
因此，研究微分算子的有界性问题具有很高的实用性和重要性。
2. Fourier变换算子：Fourier变换是一种函数变换，它将一个时域函数（例如一个指定时间内的电压）映射到一个与之等价的频域函数（例如相应频率的电压），是解决线性偏微分方程中的常用工具。
因此，研究Fourier变换算子的有界性问题对解决实际问题也具有重要意义。
此外，本研究还会探讨两种算子的交换子有界性问题，即研究微分算子和Fourier变换算子的交换子是否有界。
三、研究方法和步骤：本研究将从以下两个方面探讨两类算子及其交换子的有界性：1. 利用算子范数的定义和有关性质，研究微分算子和Fourier变换算子的有界性问题，进而给出它们的范围估计。
2. 利用两类算子之间的关系，探讨它们的交换子有界性问题。
此外，该方面还需要探究交换子有界性的一些条件和性质。
四、预期成果：通过对两类算子及其交换子的有界性问题进行研究，可以得到一系列关于微分算子和Fourier变换算子的有界性和交换子有界性的结论和性质，提高了我们对算子的认识和理解，为更深入地研究相关问题提供了一定的参考；同时，对于相关领域的应用也具有一定的指导意义。
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／ ｇ ） ｆ（ｄ ＝／ ｆｘＨ （ （ ｄ， （ Ｈ（ ｘ ｘ （ ） ） ｘ ）） ） ｇｘ ｘ
其 中． ＰＲ＋ ， 厂∈Ｌ （ ）ｇ∈Ｌ （ ）ｌ＜Ｐ＜Ｏ， ＋ １： １ ｑＲ＋ ， Ｏ１ ．
（ １ ）
１９ ￣ ， ｈｉ 和Ｇ ａａｏ ［给 出了ｎ ９５ Ｃ ｒ ｔ ｒｆ ｓ］ ｓ ｋ 维Ｈａｄ 算子 ｒｙ
， ） ｌ
寿 Ｌ ＋ （ Ｒ ） ， ＋ （， ） ） Ｒ Ｉ
州＋ Ｒ， ）
（ ２ ）
（ ，） ） 赤 （
） ∈ ｛ 出 ＼） ， ０
在Ｌ （ ） ＰＲ”上的有界性 ． ０７ 傅尊伟等【首次建立 了ｎ ２０ 年， ］ 维分数 次Ｈａｄ 算子 ｒｙ
首先给出中 ￣ ＭＯ Ｂ 空间的概念， ， 该空间是由陆和杨￣１９年在文献［ ］ －９ ５ １ 中介绍的． １
定义１ ［ 】 ｑ＜∞， ． 设１ １ 称一个函数６ Ｔ（”Ｎ￣Ｃ ＭＯ （ （ ∈Ｌｏ Ｒ ） Ｂ ｑＲ ） 中心Ｂ ） Ｍ０ 函数
空 间， 指 如 下式 子 是
Ｉ［Ｂ 。 ｓｐ （ ［［ ＭＯ ｕ 厩 ｂｃ （ ）６ ） 。ｑｘ ＜。 ｆ 一ｂ ［ ） （ ｄ 。 成立， 其中Ｂ＝Ｂ Ｏｒ ＝｛ （，） ∈Ｒ ｎ： ｒ ， 表示６ ）ｂ Ｂ 在球体Ｂ Ｏｒ上的平均， （， ） 即
文献标识码： Ａ
文章编号： ００ ４４２ １）１ １５０ １０— ２（ ００— —７ ４ ０ ０１
§ 引 言 １
设， 是Ｒ十 上的非负 司积 函数， 经典的Ｈａｄ 算子被定义为 ｒｙ
日，ｚ＝ ｔ （ｔ ）） Ｊ （ｔ ＞． （（ Ａ ， ｔ ，Ｈ（（ ／ｆ）， ０ ）） 山０ ） ／ｆ ｄ ， １ ｔ ｄ
摘
要 ： 在 齐 ；ＭｏｒｙＨｅｚ 间Ｍ ） ｒｅ－ ｒ ｋ
．
பைடு நூலகம்
（ ） 建 立 了 由ｎ 分 数 ）Ｈ ｒｙ￣子 Ｒ 上 维 ｋ ａｄ Ｊ ． －
和 ｃＢ Ｏ函 数 生 成 的 多线 性 交 换 子 Ｍ
的有界性．
关键词 ： ｒｙ Ｈａｄ 算子； ｒｅ— ｅｚ 间； ＭｏｒｙＨ ｒ 交换子； Ｂ Ｃ ＭＯ￣ ： 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１４２
１６ １
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ５ 期
在Ｌ ｂ ｓｕ 空间和齐次Ｈ ｒ空间中的有界性 ， ｅ ｅｇ ｅ ｅｚ 同时讨论 了与Ｃ ＭＯ￣数所 生成交换子 ， Ｂ ｂ ，
的有界性， 中０ 其
＜凡 ＿ ， 是Ｒ” 的局部可积 函数， 厂 上 且 和 满足
／ ｇ ）ｔｆ（ ｄ ＝ ／ ， ） （ （ ｄ． （ Ｊ ） ）ｘ ｘ ￣ ｘ ｄ （ ｇ ｘ ｘ ））
张和傅【又讨论ＴＨａｄ 算子 交换 ９ 】 ｒｙ ￣Ｌｐｃ ｉ 估计 ． ０ ２ ， ６ｅ￣Ｔ ｕｉｏＧ ｎ ￣ｅ［ １ ｉｓ ｔ ｈ ｚ ２ ０ 年 Ｐ ｒｚ Ｉｒｊｌ ｏ ｚ１ 定义 ｌ— ｚ。 了一类包含 高阶交换子的多线性交换子， 并得 到了有界性结果．
受上述 工作 的启发， 本文将讨论多线 性分数次Ｈ ｒ ｙ ａｄ 算子交换子在Ｌ ｂ ｓｕ ￣ 间， ｅｚ ｅ ｅｇ ｅ ＿ Ｈ ｒ空间 及ＭｏｒｙＨ ｒ空间中的有界性 问题． ｒ 。 ｅｚ ｅ 在叙述主要结 果之前， 我们先给 出一些相关概念 ．
高校应用数学学报 ２ １ ， ５１： １—２ ００ ２ （） １ ５１ １
多线 性 分数 次 Ｈ ｒｙ 子 交 换子 的有 界性 ａｄ 算
武江龙 王婧敏。 ，
（．牡丹江师范学院 数学 系，黑龙江牡丹 江 １７ １ １ ５０２
２ 龙 江 大学 数 学 系， 龙 江哈 尔 滨 １０ ８ ） ．黑 黑 ５ ０ ０
（ 南 ｊ出唰， ， ） （ ， ） ） （
收稿 日期： ０ ９０ — ６ ２ ０ —９２
技 创 新 项 目（０ ９ ０ ２ ２０ ０ ７）
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∈ ｛ ０ ）
基金项 目： 黑龙江省 教育厅科学技术研 究项 目（１４ ３ ８； １５ １７ ） 黑龙江省 自然科 学基金（ ２ ０ ｌ） 黑龙江大学 学生科 Ａ ０９ ３；
ｂ Ｂ Ｏｒ ／ 。垒｝（ ） ，ｌ
ｂ） ． （ｄ ｘｘ
ｔＢ（，） ， Ｏｒ
注１ ，］ 当１ ｑ 。 ：Ｂ （ Ｃ ＭＯ （ ）当１ ｐ １１ ８１ ＜。时， ＭＯ Ｒ ） Ｂ ｑ ￣ Ｒ ； ＜ｑ 。 有 ＜。时，
Ｃ ＭＯｑ ） Ｃ Ｂ （ ＢＭＯ （ ） ａｎ ｐ ．
在文献［ 中， ａｄ 在证明Ｈｌ ｒ １ Ｈ ｒｙ 】 ｉ ｅｔ ｂ 双重级数定理的过程中得到了如下著名的Ｈ ｒｙ ａｄ 积分不
等 式
其 中１＜ Ｐ ＜ ∞， ＋ 百 ＝ １ 此后， ａｄ ￣分不等 式得 到 了广泛 的关注（ １ １ ． Ｈ ｒｙ 见文【５ ． ２】 — 等） ２０ 年， ０ ２ 龙顺 潮 和王 健【在 （ ） 分别 建 立 了 由上 述Ｈａｄ 算 子 和单 边Ｃ ＭＯ￣数生 成 的 。 】 Ｒ＋上 ｒｙ Ｂ 交换子凰 和蟛 的有界性 ．
注２ ｏ 当１ ［］ １ ＜ｒ ＜∞时， ｓ （ Ｂ 有Ｏ ｃ Ｌ Ｒ ） ＭＯ（ ”； ｐ ｒ Ｒ ）而当ｒ 时， ｓ。 （ ＝ ＝１ 有Ｏ ｃ ｐ Ｒ ） Ｌ Ｂ （ ）有关Ｏ ｃ ｐ ｒ ） ＭＯ Ｒ”． ｓ Ｌ （ 的细节可参考文献【 】 。 Ｒ” ｌ． ０ Ｖｉ ∈Ｎ， ｉ ｍ ， 当１ ≤ｍ时， 令 ＝ ｛ （ ， （ ， ， （ ｝Ｃ（，， ， ， （） （） １ ２ … ） ） ） １２… ｍ） 且 １， ２， （ 互不相 同， ） 用 表示 由所 有有限集 成的集 合． 任意 的 ∈ 构 对 ， 记 的余集 ＝
…
，