高等数学函数

高等数学函数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§1函数

本节内容: 一、邻域 二、函数的概

念

三、基本初等

函数

四、复合函数 五、初等函数

一、邻域

1.定义1:设,a R R δ+

∈∈,则

—点a 的δ邻域

a —(,)U a δ的中心,

δ—(,)

U aδ的半径.

2.定义2:

—点a的去心δ邻域

二、函数的概念

f——定义在D上的函数; D——定义域;

x——自变量; y——因变量;

() f x

0——x

处的函数值;

{}

(),

W y y f x x D

==∈——值域.

注意:函数的两个要素——定义域和对应法则.

补例1求下列函数的定义域.

(1)y =1

(2)ln y x =+1

2

.

三、基本初等函数

基本初等函数指下列5类: 幂函数

是常数()y x μ

μ=

指数函数 是常数(,,)x y a a a a =>≠01

对数函数

是常数log (,,)a y x a a a =>≠01

三角函数

sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x

======

反三角函数

arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====

(一)幂函数 1.幂函数的定义: 2.幂函数的图形与性质:

(a)μ取不同值,幂函数的定义域与值域均

可能不同;

(b)对任意μ,函数图形都过点(1,1);当0μ>时,图形过点

(0,0)和(1,1);

图1-2

2

x -1

图1-1

2

(c)当0μ>时,幂函数在(0,)+∞为单调递增函数;

而0μ<时,幂函数在(0,)+∞为单调递减函数;

(d)幂函数为无界函数. 3.幂函数的运算性质: (a)a a a

α

β

αβ

+⋅=;

(b)

a a

a ααβ

β-=;

(c)()a a αβαβ

=;

(d)()a b a b μ

μ

μ

⋅=⋅. (二)指数函数 1.指数函数的定义: 2.指数函数的图形与性质: (a)定义域为R ,值域为R +

;

图1-3

(b)a 不论取何值,函数图形都过点(0,1); (c)当1a >时,指数函数为单调递增函数, 而01a <<时,指数函数为单调递减函数;

(d)指数函数为无界函数; (e)指数函数是非奇非偶函数. 3.指数函数的运算性质: 与幂函数的运算性质相似,略. (三)对数函数 1.对数函数的定义: 其中a ——底数. 一种特殊对数:ln y x =. 2.对数函数的图形与性质:

图1-4

x

(a)定义域为R +

,值域为R ;

(b)a 不论取何值,函数图形都过点(1,0); (c)当1a >时,对数函数为单调递增函数; 而01a <<时,对数函数为单调递减函数;

(d)对数函数为无界函数; (e)对数函数是非奇非偶函数. 3.对数函数的运算性质: (a)log ()log log a a a uv u v =+;

(b)log log log a a a u

u v v

=-;

(c)log log v a a u v u =; (d)ln log ln a x

x a

=.

(四)三角函数

1.sin ,cos y x y x ==:

sin y x =——正弦函数;

cos y x =——余弦函数.

sin ,cos y x y x ==的图形与性质:

(a)定义域均为R ,值域均为[1,1]-; (b)sin ,cos y x y x ==均为非单调函数; (c)sin ,cos y x y x ==均为有界函数; (d)sin y x =为奇函数,cos y x =为偶函数; (e)sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2.tan ,cot y x y x ==:

tan y x =——正切函数;

cot y x =——余切函数.

tan ,cot y x y x ==的图形与性质:

(a)tan y x =定义域为

1\{()}2

R k π+,cot y x =定义域为\{}R k π, 值域均为R ;

(b)tan ,cot y x y x ==均为非单调函数;

(c)tan ,cot y x y x ==均为无界函数;

(d)tan ,cot y x y x ==均为奇函数;

图1-6

(e)tan ,cot y x y x ==均为周期函数.

3.sec ,csc y x y x ==:

1sec cos y x x

==——正割函数; 1csc sin y x x

==——余割函数. (五)反三角函数

1.arcsin ,arccos y x y x ==:

arcsin y x =——反正弦函数;

arccos y x =——反余弦函数.

arcsin ,arccos y x y x ==的图形与性质: