最新高中数学分册同步讲义(必修1) 初中、高中衔接课 第1课时

初中、高中衔接课

第1课时因式分解

学习目标

1.理解提取公因式法、分组分解法.

2.掌握十字相乘法.

3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.

知识点一常用的乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.

(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.

(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.

(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.

知识点二因式分解的常用方法

(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.

(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式

写成因式乘积形式的方法.

(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.

(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).

(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.

如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x ＋x－1提取公因式后分解因式.

1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).(×)

2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.(√)

3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.(×)

4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.(×)

突破一配方法因式分解

例1把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.

解(1)原式＝(x＋1)2－2＝(x＋1－2)(x＋1＋2).

(2)原式＝x2＋4xy＋4y2－8y2＝(x＋2y)2－8y2＝(x＋2y＋22y)(x＋2y－22y).

反思感悟这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

跟踪训练1分解因式x2＋6x－16.

解x2＋6x－16＝x2＋2×x×3＋32－32－16＝(x＋3)2－52

＝(x＋3＋5)(x＋3－5)＝(x＋8)(x－2).

突破二十字相乘法因式分解

命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.

x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q).

因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.

例2把下列各式因式分解：

(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；

(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.

解 (1)如图1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2).

今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1表示(如图2所示). (2)由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6).

(3)由图4，得x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2＝(x －ay )(x －by ). (4)xy －1＋x －y ＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1)(y ＋1)(如图5).

反思感悟 十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的逆运算. 跟踪训练2 把下列各式因式分解： (1)x 2＋xy －6y 2； (2)(x 2＋x )2－8(x 2＋x )＋12.

解 (1)x 2＋xy －6y 2＝(x ＋3y )(x －2y ).

(2)(x 2＋x )2－8(x 2＋x )＋12＝(x 2＋x －6)(x 2＋x －2)＝(x ＋3)(x －2)(x ＋2)(x －1). 命题角度2 形如一般二次三项式ax 2＋bx ＋c 型的因式分解 我们知道，(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)＝a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2. 反过来，就得到：a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)

我们发现，二次项系数 a 分解成a 1a 2，常数项c 分解成c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2写成a 1a 2

×c 1

c 2

，

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于ax 2＋bx ＋c 的一次项系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)·(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1位于上一行，a 2，c 2位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法. 例3 把下列各式因式分解：