第5章(5.5.2)均方误差准则(MSE)和LMS算法

5.5.2均方误差准则（MSE ）和LMS 算法

引言：均方误差准则同时考虑ISI 及噪声的影响，使其最小化。

本节讨论问题： 1. 均方误差准则；

2. 无限长LMS 均衡器（C (z )，J min ）；

3. 有限长LMS 均衡器（C opt ，J min ）；

4. LMS 算法；

5. 均衡器的操作；

6. 递推LMS 算法收敛特性的分析。

一. 均方误差准则

信息符号的估计值：ˆk j k j

j I c ∞

-=-∞

=

∑v （无限长均衡器情况）

其中， 接收数据样本为：k n k n k n f I η-=+∑v ，k η为白噪声。 估计误差：ˆISI k k k k

I I εε=-，包括及噪声 定义：估计值2ˆ[]k k

I J E ε=的均方误差为均衡器的性能指数。 }{k ηε

均方误差准则：使均方误差性能指数J 最小（min J ），此准则同时考虑使ISI 及噪声影响最小。

获得min J 的途径：调整{}j c ，当min J J =时，opt C C =(最佳抽头系数)

寻找opt C 的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：*

[]0k k l E l ε-=，所有v 。（注：与ZF 准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本k v ，这就包含了噪声）。即*ˆ[]0kkl E l ε-=，所有I 。

2)求函数极值方法：令

?0=→=∂∂opt k

J

C C 2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。

这两种方法是等价的，证明如下。

证明：求导置零方法与正交性原理等价。

ˆl i m K

k

j

k

j j k

j

K j j K

I c c

∞

--→∞

=-∞

=-==∑

∑v v

lim T k K →∞

=V c

假如均衡器为有限长，则

ˆT k k

I =V c 其中

11T

k k K k K k

k K k K v v v v v ++--+-⎡⎤=⎣⎦V ，以及 1

1

T

K

K K K c c c c c --+-⎡⎤=⎣⎦c 。

()2

ˆˆ[][()()]k k k k k

J E E I I I I ε**==--c *

[()]T k k k E I ε=-V c

故

{}k k J E ε*

∂=-∂V c

另一种方法：

()2

2

*ˆˆ[][()()] {()()}

[][][][]

k k k k k k i k i k j k j i

j

k i k k i j k k j i j k i k j i

j

i

j

J E E I I I I E I c I c E I c E I c E I c c E ε*****

--****----==--=--=--+∑∑∑∑∑∑c v v v v v v

2

*[][][][]k i k k i j k k j i j k i k j i

j

i

j

E I c E I c E I c c E ****----=--+∑∑∑∑v v v v

可见，()J c 是{}j c 的平方函数（二次型）。求导置零可得：

*0k k l j k l k j j

l J E I c E c **

---∂⎡⎤⎡⎤=-+=⎣⎦⎣⎦∂∑v v v 即， ***0, k j k j k l j l J E I c l c --⎧⎫⎡⎤∂⎪⎪=--=-∞<<∞⎨⎬⎢⎥∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭

∑v v

()()**

00k k i k k i E E εε--∴==，或v v ，i -∞<<∞

{}k k J E ε*

∂=-∂V c

1

1

T

k k K

k K k

k K k K v v v v v ++--+-⎡⎤=⎣⎦V

结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE 。

二、无限长LMS 均衡器（()min J z C ，性能）

1. 求()z C ：从正交原理出发，

()*

0k k l E ε-=v

(10-2-27)

即

*

[()]0k j k j

k l j E I c ∞

--=-∞

-

=∑v

v

即

()()

*

j

k -j

k -l k k l j c E E I ∞

-=-∞

=∑*v

v v （*） 正交条件

注: k l -v 是收数据样本，其中的噪声已经白化。

在（*）式左边可以得到：

{}********

0 k j k l n k j n k j m k l m k l n m n m k j n k l m k j k l n m n m k j n k l m lj

n

m

E E f I f I E f f I I f f E I I N ηηηηδ*------------------⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫=+⎨⎬

⎩⎭

=+∑∑∑∑∑∑v v

式中利用了[]0k n k n k k n

f I E ηη-=+=∑，v 。

注：j k jk j k kj j k ,)(δδδδδ==-==-都是Kroenecker 冲激或离散冲激的不同写法。 因此我们有：

***

,00[]k j k l n m n m l j lj m m l j lj n

m

m

E f f N f f N δδδ--+-+-=+=+∑∑∑v v

*

00

L

n n l j

lj n f f

N δ+-==+∑0 0,

l j lj x N l j L

else δ-⎧+-≤⎪=⎨⎪⎩ (A)

注：()()(1/)X z F z F z **=，()1F z **-代表了()F z 序列的共轭颠倒序列。或者说

()1F z **-代表了()F z 的MF(零时延)。

()()(1/)X z F z F z **=

()101L L f f z f z --=++

+1

1110()L L L L L z f f z f z f z **-*-+*--⎡⎤++++⎣

⎦

000

L

L

L

L

L i

j

L

i j i

L j

i

L j i j i j z

f

z

f

z

z

f

f z -*

-*----======∑∑∑∑

00

L

L

L

i j i

L j i j z

f

f z *---===∑∑