华师大版—初二数学因式分解知识点与经典例题详解

初二数学——分解因式

一、 考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±

（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++

（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+

（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）

①二次三项式：

把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、

为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.

在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；

如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是

关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

②十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．

注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么运用

c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=

它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x

（6）分组分解法：

在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．

如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)

这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．

（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;

(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;

(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的

多项式因式仍然用这一步骤反复进行．

口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要

合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

二、典型例题

分解因式：

1．m²(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc；

3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a²＋b²＋c²)－a3bc＋2ab²c²；

5．(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1；

6．(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²； 7．x²－4ax＋8ab－4b²；

8．(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)；

9．(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b²－1)²；

10．(x＋1)²－9(x－1)²；

11．x 3n ＋y 3n ；

12．(x ＋y)3＋125；

13．8(x ＋y)3＋1；

（1）1522--x x （2）2

265y xy x +-

（3）3522--x x （4）3832

-+x x

四、课后练习

一、选择题

1.下列分解因式正确的是（ ）

A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）

B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）

C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2

D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）2

2.若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=﹣10，则ab 的值是（ ）

A ． ﹣2

B ． 2

C ． ﹣50

D ． 50

3.把x 3﹣2x 2y+xy 2分解因式，结果正确的是（ ）

A ． x （x+y ）（x ﹣y ）

B ． x （x 2﹣2xy+y 2）

C ． x （x+y ）2

D ． x （x ﹣y ）2

4．把a2﹣2a﹣1分解因式，正确的是（）

A．a（a﹣2）﹣1 B．（a﹣1）2

C．D．

5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）

A．3B．5C．7D．9

6．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式，则m的值为（）

A．4B．1C．﹣1 D．0

7．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述正确的是（）

A．a=1 B．b=468 C．c=﹣3 D．a+b+c=39

8．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）

A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6

9．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（）

A．0B．﹣3 C．3D．

二．填空题

10．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= _________ ．

11．分解因式：2x2+2x+= _________ ．

12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ．

13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= _________ ．

14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得_________ ．

三．解答题

15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．

16．计算：

（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；