二次函数的最值问题(完整资料).doc

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典型中考题（有关二次函数的最值）

屠园实验 周前猛

一、选择题

1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )

A. a

B.a=b C a>b D 不能确定

答案：C

2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74

B 、3或-3

C 、 2或-3

D 2或-3或-

74

答案：C

∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 7

4

，

2

765

y x 416⎛⎫=-++

⎪⎝

⎭此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是

65

16

，与

题意不符.

当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2

+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.

当x= m 时，由 4=-（x-m ）2

+m 2+1解得 m=3当m=3时y=-（x+3）2+4 .它在－2≤x≤l 4，与题意相符；当m=3 ，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l 在x=1处取得，最综上所述，实数m 的值为2或-3 .

故选C ．

3．已知0≤x≤1

2

，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）

A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6

答案：C

解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，

且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤1

2，∴当x= 1

2

时，

y取最大值，y

最大=-2（1

2

-2）2+2=-2.5．故选：C．

4、已知关于x的函数.

下列结论：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）

A,1个B、2个 C 3个D、4个

答案：B

分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k

≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可

作出判断.

解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，

解得：k=0．运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，b5

-=

2a4

，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y

最=22

4ac-b24k+1

=-

4a8k

，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

二、填空题：

1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

答案：12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是

答案：4、4，8

解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0

配方得 S=- (x2-8x)

=- (x-4)2+8

∴当x=4时，S最大=8.

及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.

3、函数2

-≤≤的最大值与最小值分别是y=24x-x（0x4）

答案：2,0

解：2

4x-x最大，即x=2 4x-x最小值为0，当4x-x2取最大值时2

时，2

4x-x最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为0

4、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a 的值为

答案：0

解：二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0≤x≤1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.

5、如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC 上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度．

三、解答题：

1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x

⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本； ⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值

⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）

解：（1）()x -150 ⑵

()5.9501502

-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x

而()()2

150160x x y ---=

＝

1040502

++-x x ＝

()184.0502

+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，

而2.00≤x ，

∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）

说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：

若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点

D(0，397)，且顶点

C 的横坐

标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式；