同济大学数电第6讲 第三章(2)
高数同济大学第三版 第一章第六节 双曲函数
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x . 反双曲函数还有如下的表达式： 反双曲函数还有如下的表达式：
y = arsh x = ln( x + x + 1)，
2
y = arch x = ln( x + x − 1)，
2
1 1+ x y = arth x = ln ， 2 1− x 1 x +1 y = arcoth x = ln . 2 x −1
第一章 函数 极限 连续
第六节
双曲正弦函数
双曲函数
y
e −e sh x = 2
x
−x
, x ∈ ( −∞ ,+∞ ).
y = ch x
1
双曲余弦函数
y = sh x O x
e x + e− x ch x = , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). 2
双曲正切函数
e x − e − x sh x th x = x 即 , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). −x e + e ch x
y
1
y = th x O x
-1
双曲余切函数
e x + e− x coth x = x e − e− x ch x 即 sh x , x ∈ ( −∞ ,0) U (0,+∞ ).
y
1
y = coth x
O
-1
x
这些函数之间存在着下述关系： 这些函数之间存在着下述关系： sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y . ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x − sh2 x = 1 .
线性代数(同济六版)ch3
x1 x2 2 x3 3x1 x2 8 x3
0 0
x1 3 x2 9 x3 0
是否有非零解？
解由
1 1 5
A
1 3 1
1 1 3
2
8 9
1 1 5
r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1
～
0
0 0
2 2 4
7
7 14
1 1 5
r3 - r2 r4 - 2r2
其中
Ax = b
x1
x
xxn2 ,
b1
b
bbm2 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条 件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵.
证明 必要性 设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) . 用反证法, 假设R(A) < R(B) ，则 B可化成 行阶梯形矩阵
～
0
0 0
2 0 0
7
0 0
可知R(A)=2. 因为R(A)=2＜3
所以此齐次线性方程组有非
零解.
例2. 当 取何值时，齐次线性方程组
3
3x1 x1 2
x2 x2
x3 0 3x3 0
x2 x3 0
有非零解.
解 用初等行变换化系数矩阵
3 A3
1 2
1 3
r2～ r1
3 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2 3,
2 0
0 0
3 1 0
1 0 1
1 1, 3
0
0
0 0
2 0 0 0
同济大学第五版高数第3章4节
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
31
小结
1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
32
2、极值是函数的局部性概念: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
33
3、注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
16
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
11
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
同济第六版高数第3章课件1
•证 ：
•例1 证明方程
•一个小于1 的正实根 •证
•有且仅有
•即为方程的小于1的正实 根.
•矛 盾,
•注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, •其结论可能不成立。
•y=f(x)
•y=f(x )
•y=f(x )
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
•拉格朗日定理 •若函数 f (x) 满足
•Rolle •定理
•Lagrange •中值定理
•Cauchy •中值定理
•A •B
•几何解释： 一条连续曲 线AB ，若除端点外，处处 有不垂直于x 轴切线，则该 曲线上至少有一点的切线 平行于端点连线AB。
•证
•精品课件
！
•精品课件
！
•(几何解释)
•拉格朗日中值公式
•推论 •若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续,• 在(a,b)内
•恒有
ห้องสมุดไป่ตู้
•则函数 f(x) 在[a,b]上是一个常数.
•∵ f(x) 在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导，
•故 f(x) 是一个常数
•例2 •证
•例3 •证: •∵ f(t) 在[0,x]连续，在(0,x)可导，
•由上式得
三、柯西(Cauchy)中值定理
•柯西定理 •如果函数 f (x)、F(x)满足
•（1）在闭区间[a, b]上连续, •（2）在开区间(a, b)内可导,
•且在(a, b)内每一点处 •均不为零，
•则在(a, b)内至少有一点 ,
•使等式
成立
•分析:
•证 设
•注：
•四：小结
•罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
f (k) (0) = α (α −1)L(α − k +1) (k = 1, 2,L)
∴
(1 +
x)α
=1
+α
x+
α (α −1)
2!
x2
+L
+ α (α −1)L(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1)L(α
(n +1) !
−
n) (1+θ
x)α −n−1 xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′′(0) x2 2!
+L+
f (n) (0) xn n!
+ f (n+1) (θx) xn+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
f (x) =
f (0) +
注意到
f
θ( x) = e (n+1)
θx
代入公式,得
ex
=
1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
eθ x
x n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为
同济高数第3章课件第5节
2 3 f ( ) 2 sin 3 sin 3 2 3 3 3
0
f ( ) 3 为极大值 3
二、 最 大 值 、最 小 值
若 f (x)在[a, b]上连续，
则 f (x)在[a, b]上的最大值与最小值存在。
最值点
y
极值 区间端点
y
驻点、不可导点 区间端点
所以，函数 f (x)在 x0处取得极大值 同理可证(2).
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解
f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
x2 2.
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4,
sin 1 sin 2 d2 2 2 a sec 1 b sec 2 0 v1 v2 d1 d2 2 2 0 a sec 1 b sec 2 d1
d2 a sec 1 b sec 2 d1
2 2
sin 1 sin 2 v1 v2
定理2(第一充分条件) (1) 若x ( x0 , x0 )时, f ( x ) 0; x ( x0 , x0 )时 f ( x ) 0 则f(x)在x 0处取得极大值. ( 2) 若x ( x0 , x0 )时, f ( x ) 0; x ( x0 , x0 )时
3 2
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
x1 2, x2 1.
f ( 2) 34;
y 2 x 3 3 x 2 12 x 14
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(线性空间与线性变换)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第6章线性空间与线性变换1．验证：（1）2阶矩阵的全体S1；（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；（3）2阶对称矩阵的全体S3，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解：（1）①根据题意，S1对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，根据定义，S1对于矩阵的加法和数乘构成线性空间．在S1中取向量组则向量组π1线性无关．如果有②对于任意，即A可由π1线性表示．综合①②，向量组π1是S1的一个基，从而S1的维数为4．（2）根据题意，S2中矩阵的加法和数乘满足线性运算的八条规律．又①因为，所以S2对加法封闭；②因为，所以S2对数乘封闭；由上可知S2对上述线性运算构成线性空间．取向量组与（1）同理，可证向量组π2线性无关，且，A可由π2线性表示为于是向量组π2是S2的一个基，因而其维数为3．（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S3对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S3对于上述线性运算构成线性空间．取向量组则①向量组π3线性无关，如果有②，则A可由π3线性表示为，故向量组π3是S3的一个基，从而它的维数为3．2．验证：与向量（0，0，1）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间．证：都是R3中与向量不平行的向量，但是其和平行于（0，0，1）T，即该集合对于向量的加法不封闭，所以不构成向量空间．3．在线性空间中，下列向量组是否为一个基？解：（1）设得因1，x，x2，x3线性无关，故上式中它们的系数均为0，即有关于未知数k1，k2，k3，k4的齐次方程，其系数矩阵知其秩为3，故齐次方程有非零解，从而向量组Ⅰ线性相关，不是基；（2）设因1，x，x2，x3线性无关可得齐次线性方程它的系数矩阵秩为4，所以只有零解，从而向量组Ⅱ线性无关，且含4个向量，所以向量组Ⅱ是的一个基．4．在R3中求向量在基中的坐标．解：根据定义，向量α在基α1，α2，α3中的坐标就是a由向量组α1，α2，α3线性表示式中的系数，也就是方程的解．由于于是，α在所给基中的坐标为5．在R3中取两个基试求坐标变换公式．解：记于是有，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为．因此由定理2得坐标变换公式为即从基α用矩阵的初等行变换求于是所求坐标变换公式为6．在R4中取两个基（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量（x1，x2，x3，x4）T在后一个基中的坐标；（3）求在两个基中有相同坐标的向量．解：（1）根据题意，有所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基{αi}下的坐标为，则由坐标变换公式，有（3）设向量y在两个基下有相同的坐标，由坐标变换公式，并仍记坐标向量为y，则，即．易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩，从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系．故所求向量为，k为任意常数．7．设线性空间S1（习题六第1题（1））中向量（1）问b1能否由a1，a2线性表示？b2能否由a1，a2线性表示？（2）求由向量组a1，a2，b1，b2所生成的向量空间L的维数和一个基．解：可先写出a1，a2，b1，b2在基中的坐标所构成的矩阵由此可见：。
线性代数(同济六版)知识点总结
0 a11a22...ann
副三角跟副对角相识
an1 an2 ... ann
对角行列式：
副对角行列式：
λ1 λ2
λ 1λ 2...λn
λn
6. 行列式的性质：
λ2
λ1
n ( n1 )
(1) 2 λ 1λ 2 λ n
λn
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
②互换行列式的两行（列），行列式变号。
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做 aij 的余子式，记为 Mij
代数余子式：记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理
a11 a12 (b1 j c1 j ) a1n
a21 a22 (b2 j c2 j ) a2n
an1 an2 (bnj cnj ) ann
a11 a12 b1 j a1n a11 a12 c1 j a1n
a21
a22
b2 j
a2n
a21
a22
c2 j
a2n
(3) ( A)T AT ; (4) ( AB)T BT AT .
设 A 为 n 阶方阵，如果满足
，即
，则 A 为对称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
同济六版高数上册第三章典型例题.ppt
单减去间 最大值 最小值
(2, ),(0,1)
4 3
无
极大值
4
3
极小值
1
渐近线
y=0
拐点
无
x5
lim x5 0,
x0 3(1 cos x) x0 3 1 x2
2
原式 e0 1.
三、设f 0 g0, f 0 g0,当x 0时，f x gx, 证明：当x 0时，f x gx.
设F(x) f x gx, 则F(x) f x gx,
则F( x) f x gx 0 ( x 0),
（2） 求 f x ；
（3） 讨论 f x 在x 0 处的连续性.
(1) x 0时, f x gx cos x 连续,
x x 0时,
lim f x lim gx cos x lim gx sin x g0 f (0) a,
x0
x0
x
x0
1
a g0时, f ( x)为连续函数.
(2)
lim cos 2x lim
x0
x0
2 x2
1 2
在利用罗必达法则 求极限时，应定要 注意：
1、先提出确定ห้องสมุดไป่ตู้ 极限。
2、和等价无穷小 结合使用。
2. lim n2arctan a arctan a
n
n
n1
对f
(
x)
arctan
x在
n
a
1
,
a n
上应用拉格朗日中值定理, 有
arctan
a n
又f (2e) 2e(ln 2e 1) 0,
及 lim f ( x) lim2e ln x x , 或f 1 2e 1 0,