中考数学系列专题39尺规作图

1 专题39 尺规作图 聚焦考点☆温习理解 1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图 (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 6．作图的一般步骤 尺规作图的基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化； (3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有 2

解； (6)结论：对所作图形下结论． 名师点睛☆典例分类 考点典例一、画三角形 【例1】(鞍山)如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)

【答案】作图见解析

考点：作图—复杂作图． 【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形； (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形． 【举一反三】 已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）． 3

【答案】作图见解析. 考点：作图—基本作图． 考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图 【例2】(2014·怀化)两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．

【答案】作图见解析. 【解析】 4

考点：作图—应用与设计作图． 【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用． 【举一反三】 （2016河北第10题）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（ ）

第10题图 A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD 【答案】A. 【解析】 试题分析：由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故答案选A. 5

考点：线段垂直平分线的性质. 考点典例三、通过画图确定圆心 【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)

【答案】

考点：作图—复杂作图． 【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆． 【举一反三】 (2016湖北襄阳第7题)如图，在□ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于21EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 6

【答案】D. 【解析】 试题分析：由角平分线的作法，依题意可知AG平分∠DAB，A正确；∠DAH＝∠BAH，又AB∥DC，所以∠BAH＝∠ADH，所以，∠DAH＝∠ADH，所以，AD＝DH，又AD＝BC，所以，DH＝BC，B、C正确，故答案选D. 考点：平行四边形的性质；平行线的性质. 课时作业☆能力提升 1. （2016浙江台州第7题）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）

A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 【答案】B． 7

考点：勾股定理；实数与数轴． 2.（2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）

A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB 【答案】D．

考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 3.（2016黑龙江绥化第5题）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ ）

A． B． C． D． 【答案】C． 8

考点：剪纸问题；操作型． 4.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B. 【解析】 试题分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 试题解析：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 作图完毕． 在△OCD与△O′C′D′， 9

OCOCODODCDCD





∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 故选：B． 答案：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质． 5（2016湖北宜昌第12题）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）

A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形 C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形 【答案】B．

考点：线段垂直平分线的性质． 6．如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是 ． 10

【答案】90°． 考点：作图-旋转变换． 7.如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为

【答案】105°． 【解析】 试题分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可． 试题解析：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD=BD， ∵∠B=25°， ∴∠DCB=∠B=25°， ∴∠ADC=50°， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50°， ∴∠ACD=80°， 11

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105° 考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则： （1）∠ADE= ； （2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”） （3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=

【答案】（1）90°；（2）=；（3）7.

考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用． 9.（2016四川达州第20题）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB． 12

（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.

∵AF=AB， ∴四边形ABEF是菱形．