信号与线性系统 潘双来版 第一章
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2
－1 0
1
例：画出下列信号的波形 解：
d (1) f1 ( t ) [ (sint )] dt
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(2) f 2 (t ) (sint )
2
f (t ) (t 1) 的波形。
2
1 t 1 或 t 1 ( t 1) 0 1 t 1 1 ( t 1) ( t 1)
2 (t 1) (t 1) (t 1)
1 ( t 1) [ ( t 1) ( t 1)] 2t f( t) 1 1 (1/2) (1/2) ( t 1) ( t 1) 2 2
f4(t)
1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
t
(5) f5 (t ) sin t[ (t ) (t 1)]
-4 -3 -2
f5(t)
1 -1 -1 1 2 3 4
t
四、单位门信号 门宽为、门高为1的单位门信号常用G(t)表示
1, G ( t ) 0, t 2 2 t , t 2 2
四、考核方法与听课要求 • 考核方法：平时作业、课堂练习：20% 实验：10% 期末考试：70% • 听课要求：适当预习，尽量做笔记（特别是 书上没有的例题），跟随老师课堂练习，及 时复习；作业认真、独立、按时完成；准确、 灵活掌握规律、技巧。通过习题巩固知识、 发现问题有问题及时记下来，以便通过相互 讨论或答疑来解决。
信号与线性系统
刘文波
wenboliu@nuaa.edu.cn
课程意义
― 信号与线性系统” 这门课程也已发展成 为工科类专业的一门共同的技术基础课程。在 已学习电工技术基本知识的基础上加深、拓宽 信号分析、系统分析方面的基本理论和方法， 从而掌握 21 世纪信息时代有关信息获取、信息 传输、信息处理和信息重现所涉及的基本概念、 基本理论和相关技术的必备知识，更有信心地 迎接未来新技术的挑战。
5t 0即t 0 ( t ) 5t 0即t 0 3t 3 0即t 1 ( t 1) 3t 3 0即t 1
1 f 2 ( t ) (3t 3) 0
例：画出下列函数的波形
1
f1(t)
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
2
求：f′(t)
f(t)
t
－2
0 (2)
2 f '(t) 2 －2 0
t
f ( t ) 2 ( t 2 4) 2G4 ( t ) 2 ( t 2) 2 ( t 2)
f (t ) 2 (t 2) 2 (t 2)
t (2)
实际中有时会遇到形Hale Waihona Puke Baiduδ [f(t)]的冲激函数， 其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相 等的实根 ti(i=1，2，…，n)
2 f (t ) Ω f (t ) 0
三、单位阶跃信号
( t )
1 0 t
0, (t ) 1 ,
t0 t 0
在 (t)=0 时从 (0-)=0 跃变到 (0+)=1 ，跃变了一 个单位。信号(t - t0)发生阶跃的时刻为t =t0 利用阶跃信号可以将分段定义的信号表示为定 义在(-, )上的闭形表达式。 无时限信号f(t)乘以(t)得到因果信号f(t) (t) 0 , t0 f (t ) (t ) f ( t ), t 0
t
d (t ) (t ) dt
推广:
d (t t0 ) (t t0 ) ( t0 ) d (t t0 ) dt
t
[f(t)] 求导则先通过定义化为一般式，利用性
质求。
例 已知信号 解：
-2 4 0 2
t2 4
f (t ) 2 (t 2 4)
二、信号的分类 1．按信号的确定性可分类为： 确定信号—能够表示为确定的时间函数的信号。 随机信号—给定t的某一个值时，信号值并不确 定，而只知道此信号取某一数值的概率。 2．按信号是否连续可分类为： 连续信号 —信号在某一时间段内的所有时间点上 (除了有限个断点之外)都有定义。 离散信号 —信号仅在离散时刻上有定义。间隔相 等的离散信号也称为 序列。 利用二进制或十六 进制数码加以量化的离散信号称为数字信号。
1 d [ f ( t )] { [ f ( t )]} f '( t ) d t
一般地，
d d f (t ) { [ f ( t )]} [ f ( t )] dt dt
[ f ( t )]
i 1
n
1 (t ti ) f '( t i )
例：画出信号
解：
3．(t)为偶函数 即有 (-t)=(t) 4．尺度变换。 设实常数a 0，则
(at ) 1 ( t )
a
1 (t ) 注意：当实常数a 0时 (at ) |a|
t 1 0 推广 a 0时： (at t 0 ) t a a
第一章 信号与系统的基本概念
§1–1 信号的概念 一、信号的定义与描述 信息（或消息）—含有一定内容或意义的语言、 文字、图画、编码、数据等等。 信号—带有信息的随时间和空间变化的物理量或 物理现象，信号是信息的载体与表现形式，如声 信号、光信号、电信号等。 各种信号中电信号是最便于传输、控制与处理 的信号，实际中许多非电信号也可以通过适当的 传感器变换成电信号，本课程主要以电压与电流 或电荷与磁链等应用广泛的电信号来介绍信号与 系统的基本概念和理论的。
(t)
(1) 0
t 0; 且 t 0;
1／
( t )d t 1
A(t－t0)
冲激 强度
冲激强度
G(t)
(A)
t
t
0 － 2
2
t 0 t0
信号 A(t-t0) 发生冲激的时刻为 t=t0 ，有效积 分的上、下限为t0-和t0+ ，其冲激强度为A。
性质： 1． f(t)(t)=f(0)(t) ; f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0) 2．(t)的抽样性(筛分性)
按信号的特点，还可以被分类为正弦信号与非正 弦信号；一维信号与二维或多维信号等等。 本课程介绍的是确定的一维连续和离散的 因果信号。
§ 1 –2
基本的连续信号及其时域特性
一、直流信号
f (t ) A ( t ) A为实常数
f( t)
A
0
t
当A为1时称之为单位直流信号。直流信号 是无时限信号。
二、主要内容(共４８学时,3学分) 理论教学（4２学时） 1．信号与系统的基本概念(４) 2．连续系统的时域分析(６) 3．连续系统的频域分析(8) 4．连续系统复频域分析(10) 5．离散系统时域分析 (６) 6．离散系统的z域分析(6) • 总复习(2) 实验(６学时)
三、主要参考书目
1. 郑君里 应启衍 杨为理 信号与系统 北 京：高等教育出版社， 2. 管致中 夏恭恪 信号与线性系统 北京： 高等教育出版社， 3. 陈生潭 郭宝龙 李学武 冯宗哲 信号与 系统(第二版). 西安：西安电子科技大学出版 社 4 段哲民 范世贵 信号与系统. 西安：西北工 业大学出版社 参见教材最后一页。
实 常 数 t t1 有始信号： f ( t ) t t1 0 实 常 数 t t 2 有终信号： f ( t ) 0 t t2
7．因果信号与反因果信号
因果信号: f ( t ) ( t )
实常数 t 0 f (t ) t0 0 反因果信号: f ( t ) ( t ) 实常数 t 0 f (t ) t0 0
(t)是个奇异函数，在t =0时发生跃变，
左极限不等于右极限，从严格的数学意义上 讲 不 可 微 分 求 导 。 其 定 义 式 只 有 ( t) 和 ( t ±t0) 两种。若有 [f(t)] 形式则要通过定义 化为这两种形式。 例：
1 f1 ( t ) (5t ) 0
(1) f1 (t ) sin t
(2) f 2 (t ) (sin t )
-4
t
f2(t)
1 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
t
t
(3) f 3 (t ) sint (t )
(4) f 4 (t ) sin t (t 1)
f3(t)
1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
f (t ) (t )d t f (0)
抽样值
f ( t ) ( t t0 )d t f ( t0 )
例 试简化下列各信号的表达式 (1) f1(t)=(1-e-t )(t) (2) f2(t)=(1-e-t )(t-1) 解: (1) f1(t)=(1-e-t )(t)=(1-e0 )(t)= 0 (2) f2(t)=(1-e-t )(t-1)=(1-e1 )(t-1)
1 9 1 1 1 (2)原式 (t 1) (t ) d t 1 2 2 22 8
2
2
5．(t)与(t)的关系是互为微分与积分的关系
0 ( )d = 1
t
t 0 = ( t ) t0
(t ) ( )d
二、正弦信号
f (t ) A cos(t ) ( t )
A A 2
0
t
正弦信号表示式中式中A，，分别称为正弦 信号的振幅、角频率和初相角，三者均为实常 数。本书中正弦信号仍用cosine的形式表示。
正弦信号有如下性质：
1．是T=2/ 的无时限周期信号，当T→∞时就 变为非周期的直流信号。 2．其导函数仍然是同频率的正弦信号，振幅 变为A，相位增加了/2 。 3．满足如下形式的二阶微分方程：
(t+/ )
1 2 1
G(t)
- 0 2
2
t
单位门信号可用两个阶跃信号之差表示
1 - 0
2
(t - /)
t
0
2
t
G ( t ) t t 2 2
五、单位冲激信号(t)
0 , ( t ) ,
f (k N ) f (k )
( N为大于零的整数 )
最小的正整数称为周期
4．按信号的能量特性可以分类为： 连续信号f(t)的能量定义为：
E lim
| f (t ) | d t
T 2 T 2
2
连续信号f(t)的平均功率定义为：
P lim 1 T T
| f (t ) | d t
2
能量信号：信号的总能量为有限值。 功率信号：信号的总能量为无穷大但平均功 率为有限值。
5．按信号定义的时间区间可以分类:
实 常 数 t1 t t 2 有时限信号： f ( t ) 0 t t1或t t1
无时限信号： f (t ) 实常数 t 6．有始信号与有终信号
3．按信号值随时间变化的规律可以分为：周期 性信号与非周期信号
连续时间周期性信号满足：
f (t nT ) f (t )
n 0, 1, 2 ,
两个周期分别为T1和T2的周期信号之和仍为周 期信号的条件是T1 / T2的值为不可约的整数比, 此时周期为T1和T2的最小公倍数。 离散时间周期性信号满足：
f ( t ) (at t 0 )d t 1 a
t0 f a
例
计算下列积分
2
(1) (t 1) (2t ) d t
(2) (t 1) (1 2t ) dt
2
解： (1)原式 (0 1)2 1 (t )d t 1 2 2
－1 0
1
例：画出下列信号的波形 解：
d (1) f1 ( t ) [ (sint )] dt
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(2) f 2 (t ) (sint )
2
f (t ) (t 1) 的波形。
2
1 t 1 或 t 1 ( t 1) 0 1 t 1 1 ( t 1) ( t 1)
2 (t 1) (t 1) (t 1)
1 ( t 1) [ ( t 1) ( t 1)] 2t f( t) 1 1 (1/2) (1/2) ( t 1) ( t 1) 2 2
f4(t)
1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
t
(5) f5 (t ) sin t[ (t ) (t 1)]
-4 -3 -2
f5(t)
1 -1 -1 1 2 3 4
t
四、单位门信号 门宽为、门高为1的单位门信号常用G(t)表示
1, G ( t ) 0, t 2 2 t , t 2 2
四、考核方法与听课要求 • 考核方法：平时作业、课堂练习：20% 实验：10% 期末考试：70% • 听课要求：适当预习，尽量做笔记（特别是 书上没有的例题），跟随老师课堂练习，及 时复习；作业认真、独立、按时完成；准确、 灵活掌握规律、技巧。通过习题巩固知识、 发现问题有问题及时记下来，以便通过相互 讨论或答疑来解决。
信号与线性系统
刘文波
wenboliu@nuaa.edu.cn
课程意义
― 信号与线性系统” 这门课程也已发展成 为工科类专业的一门共同的技术基础课程。在 已学习电工技术基本知识的基础上加深、拓宽 信号分析、系统分析方面的基本理论和方法， 从而掌握 21 世纪信息时代有关信息获取、信息 传输、信息处理和信息重现所涉及的基本概念、 基本理论和相关技术的必备知识，更有信心地 迎接未来新技术的挑战。
5t 0即t 0 ( t ) 5t 0即t 0 3t 3 0即t 1 ( t 1) 3t 3 0即t 1
1 f 2 ( t ) (3t 3) 0
例：画出下列函数的波形
1
f1(t)
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
2
求：f′(t)
f(t)
t
－2
0 (2)
2 f '(t) 2 －2 0
t
f ( t ) 2 ( t 2 4) 2G4 ( t ) 2 ( t 2) 2 ( t 2)
f (t ) 2 (t 2) 2 (t 2)
t (2)
实际中有时会遇到形Hale Waihona Puke Baiduδ [f(t)]的冲激函数， 其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相 等的实根 ti(i=1，2，…，n)
2 f (t ) Ω f (t ) 0
三、单位阶跃信号
( t )
1 0 t
0, (t ) 1 ,
t0 t 0
在 (t)=0 时从 (0-)=0 跃变到 (0+)=1 ，跃变了一 个单位。信号(t - t0)发生阶跃的时刻为t =t0 利用阶跃信号可以将分段定义的信号表示为定 义在(-, )上的闭形表达式。 无时限信号f(t)乘以(t)得到因果信号f(t) (t) 0 , t0 f (t ) (t ) f ( t ), t 0
t
d (t ) (t ) dt
推广:
d (t t0 ) (t t0 ) ( t0 ) d (t t0 ) dt
t
[f(t)] 求导则先通过定义化为一般式，利用性
质求。
例 已知信号 解：
-2 4 0 2
t2 4
f (t ) 2 (t 2 4)
二、信号的分类 1．按信号的确定性可分类为： 确定信号—能够表示为确定的时间函数的信号。 随机信号—给定t的某一个值时，信号值并不确 定，而只知道此信号取某一数值的概率。 2．按信号是否连续可分类为： 连续信号 —信号在某一时间段内的所有时间点上 (除了有限个断点之外)都有定义。 离散信号 —信号仅在离散时刻上有定义。间隔相 等的离散信号也称为 序列。 利用二进制或十六 进制数码加以量化的离散信号称为数字信号。
1 d [ f ( t )] { [ f ( t )]} f '( t ) d t
一般地，
d d f (t ) { [ f ( t )]} [ f ( t )] dt dt
[ f ( t )]
i 1
n
1 (t ti ) f '( t i )
例：画出信号
解：
3．(t)为偶函数 即有 (-t)=(t) 4．尺度变换。 设实常数a 0，则
(at ) 1 ( t )
a
1 (t ) 注意：当实常数a 0时 (at ) |a|
t 1 0 推广 a 0时： (at t 0 ) t a a
第一章 信号与系统的基本概念
§1–1 信号的概念 一、信号的定义与描述 信息（或消息）—含有一定内容或意义的语言、 文字、图画、编码、数据等等。 信号—带有信息的随时间和空间变化的物理量或 物理现象，信号是信息的载体与表现形式，如声 信号、光信号、电信号等。 各种信号中电信号是最便于传输、控制与处理 的信号，实际中许多非电信号也可以通过适当的 传感器变换成电信号，本课程主要以电压与电流 或电荷与磁链等应用广泛的电信号来介绍信号与 系统的基本概念和理论的。
(t)
(1) 0
t 0; 且 t 0;
1／
( t )d t 1
A(t－t0)
冲激 强度
冲激强度
G(t)
(A)
t
t
0 － 2
2
t 0 t0
信号 A(t-t0) 发生冲激的时刻为 t=t0 ，有效积 分的上、下限为t0-和t0+ ，其冲激强度为A。
性质： 1． f(t)(t)=f(0)(t) ; f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0) 2．(t)的抽样性(筛分性)
按信号的特点，还可以被分类为正弦信号与非正 弦信号；一维信号与二维或多维信号等等。 本课程介绍的是确定的一维连续和离散的 因果信号。
§ 1 –2
基本的连续信号及其时域特性
一、直流信号
f (t ) A ( t ) A为实常数
f( t)
A
0
t
当A为1时称之为单位直流信号。直流信号 是无时限信号。
二、主要内容(共４８学时,3学分) 理论教学（4２学时） 1．信号与系统的基本概念(４) 2．连续系统的时域分析(６) 3．连续系统的频域分析(8) 4．连续系统复频域分析(10) 5．离散系统时域分析 (６) 6．离散系统的z域分析(6) • 总复习(2) 实验(６学时)
三、主要参考书目
1. 郑君里 应启衍 杨为理 信号与系统 北 京：高等教育出版社， 2. 管致中 夏恭恪 信号与线性系统 北京： 高等教育出版社， 3. 陈生潭 郭宝龙 李学武 冯宗哲 信号与 系统(第二版). 西安：西安电子科技大学出版 社 4 段哲民 范世贵 信号与系统. 西安：西北工 业大学出版社 参见教材最后一页。
实 常 数 t t1 有始信号： f ( t ) t t1 0 实 常 数 t t 2 有终信号： f ( t ) 0 t t2
7．因果信号与反因果信号
因果信号: f ( t ) ( t )
实常数 t 0 f (t ) t0 0 反因果信号: f ( t ) ( t ) 实常数 t 0 f (t ) t0 0
(t)是个奇异函数，在t =0时发生跃变，
左极限不等于右极限，从严格的数学意义上 讲 不 可 微 分 求 导 。 其 定 义 式 只 有 ( t) 和 ( t ±t0) 两种。若有 [f(t)] 形式则要通过定义 化为这两种形式。 例：
1 f1 ( t ) (5t ) 0
(1) f1 (t ) sin t
(2) f 2 (t ) (sin t )
-4
t
f2(t)
1 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
t
t
(3) f 3 (t ) sint (t )
(4) f 4 (t ) sin t (t 1)
f3(t)
1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4
f (t ) (t )d t f (0)
抽样值
f ( t ) ( t t0 )d t f ( t0 )
例 试简化下列各信号的表达式 (1) f1(t)=(1-e-t )(t) (2) f2(t)=(1-e-t )(t-1) 解: (1) f1(t)=(1-e-t )(t)=(1-e0 )(t)= 0 (2) f2(t)=(1-e-t )(t-1)=(1-e1 )(t-1)
1 9 1 1 1 (2)原式 (t 1) (t ) d t 1 2 2 22 8
2
2
5．(t)与(t)的关系是互为微分与积分的关系
0 ( )d = 1
t
t 0 = ( t ) t0
(t ) ( )d
二、正弦信号
f (t ) A cos(t ) ( t )
A A 2
0
t
正弦信号表示式中式中A，，分别称为正弦 信号的振幅、角频率和初相角，三者均为实常 数。本书中正弦信号仍用cosine的形式表示。
正弦信号有如下性质：
1．是T=2/ 的无时限周期信号，当T→∞时就 变为非周期的直流信号。 2．其导函数仍然是同频率的正弦信号，振幅 变为A，相位增加了/2 。 3．满足如下形式的二阶微分方程：
(t+/ )
1 2 1
G(t)
- 0 2
2
t
单位门信号可用两个阶跃信号之差表示
1 - 0
2
(t - /)
t
0
2
t
G ( t ) t t 2 2
五、单位冲激信号(t)
0 , ( t ) ,
f (k N ) f (k )
( N为大于零的整数 )
最小的正整数称为周期
4．按信号的能量特性可以分类为： 连续信号f(t)的能量定义为：
E lim
| f (t ) | d t
T 2 T 2
2
连续信号f(t)的平均功率定义为：
P lim 1 T T
| f (t ) | d t
2
能量信号：信号的总能量为有限值。 功率信号：信号的总能量为无穷大但平均功 率为有限值。
5．按信号定义的时间区间可以分类:
实 常 数 t1 t t 2 有时限信号： f ( t ) 0 t t1或t t1
无时限信号： f (t ) 实常数 t 6．有始信号与有终信号
3．按信号值随时间变化的规律可以分为：周期 性信号与非周期信号
连续时间周期性信号满足：
f (t nT ) f (t )
n 0, 1, 2 ,
两个周期分别为T1和T2的周期信号之和仍为周 期信号的条件是T1 / T2的值为不可约的整数比, 此时周期为T1和T2的最小公倍数。 离散时间周期性信号满足：
f ( t ) (at t 0 )d t 1 a
t0 f a
例
计算下列积分
2
(1) (t 1) (2t ) d t
(2) (t 1) (1 2t ) dt
2
解： (1)原式 (0 1)2 1 (t )d t 1 2 2