大一上学期(第一学期)高数期末考试题汇总

大一上学期高数期末考试

」、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1.

设 f ( x) = cos x( x + |sin x ),则在x = 0处有(

)

(A ) f (°)=2 (B ) f (0)" (C ) f (°)=0 ( D ) f (x)不可导.

设a (x) = 1 x , p (x)=3 —3*x ，则当 X T 1 时(

2.

1 x

(A )〉(x)与-(x

)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；

:

(X)与"X)是等价无穷小；

(C )'(X)是比-(x)

高阶的无穷小； 高阶的无穷小.

x

F (

x )二0 (

2t_x ) f

(t )dt ，其中

f(x)

在区间上(―“)二阶可导且

(B)

(D )

-

(x)

是比〉(X)

3.若

f (x)

，则( ).

(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值； (C) 函数F (x)在x 二0

处没有极值，但点(0,

F (0))

为曲线八F

(x)的

拐点；

(D )函数F

(x)在x=0处没有极值，点©

F(0))

也不是曲线y = F(

x) 的

拐点。

1

4

设 f (x)是连续函数，且

f (x) = x + 2 J 0 f (t)dt ,贝y f (x)=(

(A ) 2

( B )

二、填空题(本大题有 2

lim (1 3 x)sin x = x -0 2

—2

2

( C ) x-1 ( D )x 2.

4小题，每小题4分，共16分)

5. 已知

cosx

是f(x)的一个原函数， x 则 fg ^dx 二

x

lim — (cos2— cos2 - cos2匸丄)二n n n n n

1

2 2

x arcsin x 1 i d x = _ 1 J1 - x 2

8.

2

四、解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线 厂y(x) (x - °)，过点(°：)，且曲线上任 一点

M(x °,y °)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线

x=

x

°

所围

成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线目二ln x

的切线，该切线与曲线目二

ln x

及x

轴围成平面图形D.

(1)求D 的面积A ; (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转 体的

体积V .

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

16. 设函数

f(x)

在上连续且单调递减，证明对任意的

q ，

[0

，1

]

,

q

1

f (x ) d x - q f (x ) dx

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 确

定，求y(x)以及

9. 10. 11. 12.

13.

设函数厂y(x)由方程e x y

sinXy 扌

y (0)

1 - x 7

求 厂dx.

x(1 + x ) 一 〔xe 」, x 兰 0

x - x 2, 0 x _ 1

1

g(x) = j f (xt)dt 设函数

f(x)

连续，

，且

数.求g(x

)并讨论g(x

)在x=o 处的连续性.

1

y(1)： 求微分

方程xy 2y= xlnx 满足9的解.

设 f (x

)「2

1

3 f(x)dx .

呵号

3 A

, A 为常

J f(x)d x = 0 17.设函数f(x)在1上连续，且0

JI

f ( x) cosx dx = 0

0 .证明：在

0-内至少存在两个不同的点

x

F (x) = f f (x)dx

泊2，使f(J)=f(J)=0・(提示：设()0 ())

解答

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1、D

2、A

3、C

4、C

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

6 丄(叱)2七巴 1

5. e.

6. 2 x .

7. 2.

8. 3

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

9.解：方程两边求导

e x y(1 y ) cos(xy)(xy y) = 0 y e x y ycosQcy)

e x y xcos(xy)

x = 0, y = 0 y (0) = -1

10.解：u = x77x6dx=du

原式J SduJ (丄-丄)du

7 u(1 + u) 7 u u +1

=1

〒(ln |u| -2ln |u 1|) c

=1 2

ln | x71 In |1 x71 C 7 7

11.解：

f (x)dx xe^dx 2x - x2dx

-3 3 0

二；xd(-e「0 1 -(x-1)2dx

- _0 0 c

--xe - e ；亠1 cos2rdr(令x-1 二sin"

_2

兀3

2e -1

12.

解：

由f(0) =0，知g(0)=0。