Simulation of ergodic multivariate stochastic process
广义平稳随机过程英语
广义平稳随机过程英语Generalized stationary stochastic processesA stochastic process is said to be stationary when the statistical properties of the process do not change over time. In other words, the mean, variance, and correlation structure of the process remain constant over time.However, in many real-world situations, the assumption of strict stationarity is not appropriate. For example, the dynamics of a financial market may change over time due to changes in regulations, technological advancements, or global economic conditions.Generalized stationary stochastic processes offer a more flexible framework that relaxes the assumption of strict stationarity. Instead, these processes assume that the statistical properties of the process may change over time, but they change slowly enough that they can be considered approximately stationary over a short period of time.One example of a generalized stationary stochastic process is the autoregressive integrated moving average (ARIMA) process. In an ARIMA process, the statistical properties of the process may change over time, but the changes are modeled as a function of past values of the process.Another example of a generalized stationary stochastic process is the autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) process. In an ARCH process, the variance of the process may change over time, but the changes are modeled as a function of past squared residuals of the process.Overall, generalized stationary stochastic processes provide a more realistic framework for modeling real-world time series data that exhibit non-stationary behavior.。
随机波动性和其他仿射跳跃扩散过程的精确模拟(李洪)
0 t0 t1 .... tM T 是一个时间长度为T，时间间隔相等的M段分区，
也 就 是 ti iT / M 对 于 每 个 i过 程 是
Sti Sti1 rSti1 t Vti1 Sti1 Wti(1) 1 2 Wti(2) , (3)
调节分布的方差过程中产生的价值准确的样本。 在t时刻的股票价格，给出的价值Su和Vu 对于u < t 可以写成：
t t 1 t St Su exp r (t u ) Vs ds Vs dWs(1) 1 2 Vs dWs(2) , (6) u u 2 u
正态分布均值为 0 和标准差 t 。特别的是，我们可以模拟这些增量首先通过随机生成一 个统一的变量U，然后用 t F (U ) 替换 Wti ，其中F（x）是一个标准正态分布的随机变
j
1
量的累积分布函数。 这里有一个有效的算法准确逼近的正态分布函数的逆函数。 我们使用由
Moro算法（1995 年） 。对于每一个增量，我们使用一个独立的均匀随机变量，因此我们需 要一个统一的随机变量 2M来模拟股票价格和方差进程。当使用带有大量的模拟试验和大量 的 时 间 步 长， 所 需 要 的可 能 是 巨 大的 均 匀 随 机分 布 随 机 数欧 拉 离 散 化。 我 们 使 用由 Matsumoto和Nishimura（1998 年） ，其中有一个很长的时间随机数发生器。为了避免方差 和股票价格的负面价值，如果我们在模拟过程中遇到负值我们就设其为 0。重复此过程，许 多路径可以生成。 因为没有套利衍生的定价都是他们的预期收益折现下的风险中性测度， 衍 生 工 具 的 价 格 写 作
表示每个样本模拟值St使用M步长的时间。 利用Monte Carlo方法随着M、 中使用的路径，S T
几种随机微分方程数值方法与数值模拟(李炜)
分类号 UDC
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研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： _______摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
现代数值模拟方法及其应用
现代数值模拟方法及其应用这是一门什么样的课？研究生的全校公选课。
（怎么讲，有待实践和探讨） 假设应当具有的基本知识高等数学 如微积分、级数展开、微分方程 线形代数、概率统计问题：关于级数展开及其应用21()(0)'(0)''(0)...2!f x f f x f x =+++ 答： * 当x 较小时，可取前面几项作为函数的近似* 当函数形式未知时，可用级数逐项逼近计算机编程 包括 Linux 系统、画图和数据分析软件， 例如 xmgrace ，mitlab问题：A=0.0D+00DO 10 I=1,10A=A+1.0D+00*I10 CONTINUE代表什么含义物理学 （50％内容或多或少与物理学有关） 最理想是学习过普通物理学或者中学的物理学，能理解基本的物理问题 比如，物理是研究物质的结构和运动的学科 物质有各种形态，如气态、液态和固态等物质的运动遵从一定的运动规律 如运动方程，分布函数等问题：力学、统计物理和量子力学的基本知识化学、生物学和经济学简单的基本知识基本的英文阅读和书写能力不打算非常系统地讲授种种数值模拟方法因为时间有限、精力有限重点讲两种方法Monte Carlo 模拟 和 分子动力学简单介绍一些重要的基本方法一定程度上给出数值模拟方法的概况目的是学习应用计算机模拟方法研究科学问题至少了解如何用计算机模拟方法研究科学问题包括 方法本身科学问题的表述，模型化Ising 模型的种种应用{}111i ji j i H k T i S i H K S S h S kT Z S e--=+==±∑∑∑●磁性系统S代表磁子，可研究磁性材料特性、相变i●粒子系统S代表粒子和空穴，可研究输运过程i●二元合金S代表两种不同成分，可研究合金特性、i动力学行为●金融市场S代表买卖，可研究市场的统计性质i动力学特征●社会S代表男人女人i方法的适用性、有效性，和方法的发展数值模拟，如测试数据分析问题：如何开始研究结果评估计算量估计撰写论文换句话说，想告诉大家一些数值模拟研究的思路、方法和体会。
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
不连续斜积流的唯一遍历定理 和线性薛定谔方程的旋转数
II
Abstract
a crucial breakthrough to establish rotation numbers. Meanwhile, we partially discuss the dependence of rotation numbers on the intensive parameter of quantum effects. In our opinion, the present work has laid an important foundation for further study of these systems with quantum effects. Key words: skew-product quasi-flow; invariant measure; ergodic theorem; almost periodicity; rotation number
不连续斜积流的唯一遍历定理 和线性薛定谔方程的旋转数
（申 请 清 华 大 学 理 学 博 士 学 位 论 文）
培 养 单 位 ：数 学 科 学 系 学 研 究 科 ：数 学 生 ：周 喆
指 导 教 师 ：章 梅 荣 教 授
二○一○年六月
Unique ergodic theorem on discontinuous skew-product flows and rotation numbers ¨ of linear Schrodinger equations
Dissertation Submitted to Tsinghua University in partial fulfillment of the requirement for the degree of
DoZhe Zhou ( Mathematics )
2018年中科院数学SCI期刊分区
SIAM JOURNAL ON CONTROL AND OPTIMIZATION SIAM JOURNAL ON CONTROL AND OPTIMIZATION JOURNAL OF DIFFERENTIAL GEOMETRY Scandinavian Actuarial Journal Scandinavian Actuarial Journal Annals of Applied Statistics APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS-ENGLISH EDITION APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS-ENGLISH EDITION NUMERICAL ALGORITHMS SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS INTERNATIONAL JOURNAL OF BIFURCATION AND CHAOS INTERNATIONAL JOURNAL OF BIFURCATION AND CHAOS TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY MATHEMATICS AND COMPUTERS IN SIMULATION MATHEMATICS AND COMPUTERS IN SIMULATION MATHEMATICS AND COMPUTERS IN SIMULATION Communications in Mathematical Sciences ADVANCES IN COMPUTATIONAL MATHEMATICS BIT NUMERICAL MATHEMATICS BIT NUMERICAL MATHEMATICS COMPUTATIONAL OPTIMIZATION AND APPLICATIONS COMPUTATIONAL OPTIMIZATION AND APPLICATIONS JOURNAL OF GLOBAL OPTIMIZATION JOURNAL OF GLOBAL OPTIMIZATION COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ADVANCES IN MATHEMATICS Extremes Extremes JOURNAL OF ALGEBRAIC GEOMETRY BERNOULLI Bulletin of Mathematical Sciences JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS Selecta Mathematica-New Series Selecta Mathematica-New Series ZAMM-Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik ZAMM-Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS INSURANCE MATHEMATICS & ECONOMICS INSURANCE MATHEMATICS & ECONOMICS APPLIED NUMERICAL MATHEMATICS JOURNAL OF OPTIMIZATION THEORY AND APPLICATIONS JOURNAL OF OPTIMIZATION THEORY AND APPLICATIONS MATHEMATISCHE ANNALEN ESAIM-CONTROL OPTIMISATION AND CALCULUS OF VARIATIONS ESAIM-CONTROL OPTIMISATION AND CALCULUS OF VARIATIONS Kinetic and Related Models Kinetic and Related Models JOURNAL OF CLASSIFICATION COMPUTATIONAL STATISTICS & DATA ANALYSIS COMPUTATIONAL STATISTICS & DATA ANALYSIS APPLIED MATHEMATICS AND OPTIMIZATION Journal of Dynamics and Differential En Applied Mathematics and Computational Science Communications in Applied Mathematics and Computational Science ANNALS OF PROBABILITY JOURNAL OF BUSINESS & ECONOMIC STATISTICS JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCE JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCE JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCE PSYCHOMETRIKA INTERNATIONAL STATISTICAL REVIEW SIAM JOURNAL ON NUMERICAL ANALYSIS SIAM JOURNAL ON SCIENTIFIC COMPUTING NONLINEAR ANALYSIS-REAL WORLD APPLICATIONS PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY INVERSE PROBLEMS INVERSE PROBLEMS NONLINEARITY NONLINEARITY STATISTICS AND COMPUTING STATISTICS AND COMPUTING ESAIM-MATHEMATICAL MODELLING AND NUMERICAL ANALYSIS-MODELISATION MATHEMATIQUE ET ANALYSE NUMERIQUE JOURNAL DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES JOURNAL DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES ANNALES SCIENTIFIQUES DE L ECOLE NORMALE SUPERIEURE IMA JOURNAL OF NUMERICAL ANALYSIS STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS JOURNAL OF SCIENTIFIC COMPUTING GEOMETRIC AND FUNCTIONAL ANALYSIS JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND GRAPHICAL STATISTICS Analysis and Applications Analysis and Applications ANNALS OF APPLIED PROBABILITY JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS MATHEMATICS OF COMPUTATION JOURNAL OF THE ROYAL STATISTICAL SOCIETY SERIES C-APPLIED STATISTICS Analysis & PDE Analysis & PDE CALCULUS OF VARIATIONS AND PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS CALCULUS OF VARIATIONS AND PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND PHYSIK SIAM JOURNAL ON APPLIED MATHEMATICS JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK SIAM JOURNAL ON MATRIX ANALYSIS AND APPLICATIONS Advances in Calculus of Variations Advances in Calculus of Variations BIOMETRIKA BIOMETRIKA BIOMETRIKA Advances in Data Analysis and Classification JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu CALCOLO CALCOLO
几种随机微分方程数值算法和数值模拟
武汉理工大学硕士学位论文
摘要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里，由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。
First, the background of SDE and the importance of its theoretical solution are introduced. Two of the very important forms of SDE, Ito SDE and Stratonovich SDE, are deduced by stochastic integrals and several lemmas about the moments of stochastic integrals are also given in the paper. In addition, I mention the theorem giving necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to SDE and I give representation formulae of solutions of linear SDEs. And the stochastic Taylor series of solution are deduced.
levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题
倒向随机微分方程是随机微分方程理论中的一个重要分支，它在金融工程、生物医学、信号处理等众多领域都有着广泛的应用。
而对于一些过程驱动的倒向随机微分方程相关问题，研究者们一直在不断地进行探索和研究。
本文将从levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题展开讨论。
一、levy 过程介绍levy 过程是随机过程理论中的一种重要类型，它具有独立增量和稳定性等特点。
在金融数学中，levy 过程被广泛应用于模拟股票价格和衍生品的定价等领域。
而在倒向随机微分方程的研究中，levy 过程也扮演着重要的角色。
二、倒向随机微分方程的基本概念倒向随机微分方程是倒向随机过程的一个重要表达形式，它在金融数学、信号处理、生物医学等领域都有广泛的应用。
倒向随机微分方程的基本概念包括随机微分方程、倒向随机过程、条件期望等。
三、levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立在实际应用中，我们需要具体的数学模型来描述levy 过程驱动的倒向随机微分方程。
在这一部分，我们将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立方法，包括数学原理和实际应用案例。
四、levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解对于levy 过程驱动的倒向随机微分方程，其数值求解是一个重要的研究方向。
本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解方法，包括传统的数值方法和近年来的一些新的数值算法。
五、levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的应用金融工程是levy 过程驱动的倒向随机微分方程的一个重要应用领域。
本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的具体应用案例，包括股票价格模拟、期权定价等方面。
总结：本文从levy 过程驱动的倒向随机微分方程的基本概念出发，介绍了其在数学模型建立、数值求解和金融工程中的应用。
通过对相关问题的探讨和研究，有望为该领域的进一步发展提供有益的参考和借鉴。
希望本文对相关领域的研究者和从业人员有所帮助。
gmm
1.2 Single Equation Linear GMM
Consider the linear regression model yt = z0 t δ 0 + εt , t = 1, . . . , n (1.1)
where zt is an L × 1 vector of explanatory variables, δ 0 is a vector of unknown coefficients and εt is a random error term. The model (1.1) allows for the possibility that some or all of the elements of zt may be correlated with the error term εt , i.e., E [ztk εt ] 6= 0 for some k. If E [ztk εi ] 6= 0 then ztk is called an endogenous variable . It is well known that if zt contains endogenous variables then the least squares estimator of δ 0 in (1.1) is biased and inconsistent. Associated with the model (1.1), it is assumed that there exists a K × 1 vector of instrumental variables xt which may contain some or all of the elements of zt . Let wt represent the vector of unique and non-constant elements of {yt , zt , xt }. It is assumed that {wt } is a stationary and ergodic stochastic process. The instrumental variables xt satisfy the set of K orthogonality conditions E [gt (wt , δ 0 )] = E [xt εt ] = E [xt (yt − z0 (1.2) t δ 0 )] = 0 where gt (wt , δ 0 ) = xt εt = xt (yt − z0 t δ 0 ). Expanding (1.2), gives the relation Σxy = Σxz δ 0 where Σxy = E [xt yt ] and Σxz = E [xt z0 t ]. For identification of δ 0 , it is required that the K × L matrix E [xt z0 t ] = Σxz be of full rank L. This rank condition ensures that δ 0 is the unique solution to (1.2). Note, if K = L, then Σxz is invertible and δ 0 may be determined using