第28章《锐角三角函数》好题集(03)：28.1+锐角三角函数
28.1锐角三角函数(1)
• 5、(2013年广东省) 在Rt△ABC中
∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=__4_/_5_.
6、(2011 浙江湖州)如图，已知在Rt△ABC中， ∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为
_____. 1/2
• 7、（2011四川乐山）如图，在4×4的正方
形网格中，tanα= ___2__.
• 8、 （2011江苏苏州）如图，在四边形 ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若
EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于__4_/3__
是（ C ）
A、 3/4 B4/3 C3/5 D4/5
• 2、（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中， DE⊥AB于点E，cosA=3/5，BE=4，则
tan∠DBE的值是 2．
• 3、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°， AB=8，cosA=3/4，则BC的长 ．
• 4、（2013•湖州）如图，已知在Rt△ACB 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB
AC1
A
C
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形ABC有什么关系?
B
A
C
BC
(2) AB和
B1C1
AB1,
AC AB
和
AC1 AB1
,
BC AC
和B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
5
cos A sin B
cosA 4 5
tan A • tan B 1
28.1锐角三角函数(1)精选
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边
b
C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
当∠A＝定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
∠A＝∠A‘＝ ，那么
B
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
C.不变
B 3.如图 A 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300 7
练习 如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB， 图中sinB可由哪两条线段比求得。
B B 3 5 A
试着完成图（2）
13
C
4 C A
(1)
(2)
解：如图（），在RtABC中， 1 AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， B sin . AB 5 AB 5
练一练
1.判断对错:
BC √ 1) 如图 (1) sinA= （ ） AB
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的锐角三角函数值
∴ 2 sin2α + cos2α － 3tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ 3tan60°
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3.
2
课堂测试
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－3 )2 ＝
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
第3课时
特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
复习引入
sin A =
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
AC . AB
∠B A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三
角函数值吗？
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45° 60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
例1 求下列各式的值：
28.1 锐角三角函数(3) 特殊角的三角函数--
直角三角形的边角关系（1）（2）（3）小节回顾集安市第二中学于秀峰♦在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.锐角三角函数定义♦直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.回顾与思考1bABCa┌csinA 和cosB,tanA 和cotB 有什么关系?sinA=cosB,tanA=cotB.,sin c aA =,cos c b A =,tan b a A =.cot abA =,sin cbB =,cos c a B =,tan a b B =.cot baB =本领大不大悟心来当家♦如图,观察一副三角板:♦它们其中有几个锐角?分别是多少度?想一想P 102♦(1)sin 300等于多少?┌┌300600450450♦(2)cos 300等于多少?♦(3)tan 300等于多少?♦(4)cot 300等于多少?♦请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?知识在于积累♦(5)sin 450,sin 600等于多少? 做一做P 103♦(6)cos 450,cos 600等于多少?♦(7)tan 450,tan 600等于多少?┌┌300600450450♦(8)cot 450,cot 600等于多少?♦根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>♦老师期望:♦你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价.洞察力与内秀特殊角的三角函数值表做一做P 114♦要能记住有多好三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα余切cotα30045060021233332222112321333♦这张表还可以看出许多知识之间的内在联系?知识的运用♦(1)sin 600-cos 450;(2)cos 600+tan 600;随堂练习P 126怎样做？♦计算:().45cos 260sin 45sin 223000-+♦老师期望:只要勇敢地走向黑板来展示自己,就是英雄!().45cos 260cos 30sin 224020202-+♦老师期望:♦sin 2A +cos 2A =1它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发.八仙过海,尽显才能随堂练习P 128♦3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,♦∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.♦求证:sin 2A +cos 2A =1bABCa ┌c回味无穷⏹直角三角形中的边角关系小结拓展♦看图说话:♦直角三角形三边的关系.♦直角三角形两锐角的关系.♦直角三角形边与角之间的关系.♦特殊角300,450,600角的三角函数值.♦互余两角之间的三角函数关系.♦同角之间的三角函数关系bABCa┌c┌┌300600450450P 13 习题1.3 1,2题独立作业♦1.计算;(1)tan450-sin300;♦(2)cos 600+sin450-tan300;驶向胜利的彼岸().45cos 260sin 330tan630002--♦2.如图,河岸AD,BC 互相平行,桥AB 垂直于两岸.桥长12m,在C 处看桥两端A,B,夹角BCA=600.♦求B,C 间的距离(结果精确到1m).BCA┐知识的升华根据试验，梯子AB 按照如图的方式放置才比较安全，根据下列数据解答问题：（1）经测量知墙高AC=2m ，梯子与地面的夹角为60°，求梯子AB 的长度及梯子底端B 到到墙角C 的距离。
秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学
第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。
九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数(第3课时 特殊角的三角函数值)同步练
word 1 / 2 第3课时 特殊角的三角函数 1. 3tan30°的值等于()
A.3 B．33 C.33 D.32 2. 计算6tan45°－2cos60°的结果是() A．43 B．4 C．53 D．5 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为()
A.12 B.22 C.32 D．1
第3题图 第5题图 4．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝22，则下列最确切的结论是( ) A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 5．如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m，则该树高为( ) A．83 m B．123 m C．122 m D. 12 m 6．(1)3cos30°的值是____． (2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝____(结果保留根号)． (3)cos245°＋tan30°·sin60°＝____． 7．根据下列条件，求出锐角A的度数．
(1)sinA＝32，则∠A＝____；(2)cosA＝12，则∠A＝____；
(3)cosA＝22，则∠A＝____；(4)cosA＝32，则∠A＝____． 8．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB，CD＝3 m，∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长．
9.计算： word
2 / 2 (1)cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30°＋tan45°； (2)sin45°＋cos30°3－2cos60°－sin60°(1－sin30°).
10.已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋
1
3
－1的值．
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选择题 1、Rt△ABC中，a=4，b=3，c=5，则tanA的值是（ ）
A、 B、 C、0.6 D、 2、如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、 3、（2003•山西）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（ ） A、3 B、 C、或 D、3或
4、如图，已知∠а的终边OP⊥AB，直线AB的方程为，则cosа=（ ）
A、 B、 C、 D、 5、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A、3 B、2 C、 D、 6、（2001•河南）如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是（ ） A、 B、 C、 D、 7、如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（ ）
A、 B、 C、 D、 8、正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A、 B、 C、 D、 9、已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，则△ABC是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形或钝角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 10、（2004•武汉）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设
⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（ ）
A、 B、 C、2 D、3 11、在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（ ） A、都扩大2倍 B、都缩小2倍 C、都不变 D、正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍
12、如果∠A为锐角，sinA=，那么（ ） A、0°＜∠A＜30° B、30°＜∠A＜45° C、45°＜∠A＜60° D、60°＜∠A＜90° 13、（2002•湘西州）在Rt△ABC中，∠C是直角，各边的长度都分别扩大2倍，那么∠A的三角函数值（ ） A、没有变化 B、分别扩大2倍 C、分别扩大倍 D、不能确定 14、若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（ ） A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、不能确定
15、若α为锐角，且tanα=，则有（ ） A、0°＜α＜30° B、30°＜α＜45° C、45°＜α＜60° D、60°＜α＜90° 16、α为锐角，若sinα+cosα=，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A、 B、± C、 D、0 17、下列等式中正确的是（ ） A、sina20°+sin40°=sin60° B、cos20°+cos40°=cos60° C、sin（90°﹣40°）=cos40° D、cos（90°﹣30°）=sin60°
18、（2006•永州）在﹣，0.168，π，，sin60°中，无理数的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 19、（2005•武汉）如图，一电线杆AB高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为
（ ）（取1.732，结果保留3个有效数字）
A、5.00米 B、8.66米 C、17.3米 D、5.77米 20、（2005•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB的值是（ ）
A、 B、 C、 D、 21、已知锐角α满足sin（α+20°）=1，则锐角α的度数为（ ） A、10° B、25° C、40° D、45° 22、（2003•泰州）下列实数：，﹣3.14，，sin45°，，无理数的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 23、（2004•沈阳）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ） A、1 B、 C、 D、 24、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，cosA=，sinB=，则△ABC的形状是（ ） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等边三角形 D、直角三角形 25、（2001•泰州）下列实数，sin30°，0.1414，中，无理数的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 26、（2001•金华）tan45°的值是（ ）
A、1 B、 C、 D、 27、（2002•海淀区）在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则cotB等于（ ） A、 B、 C、 D、
28、cotβ=，则锐角β等于（ ） A、0° B、30° C、45° D、60° 29、（2000•台州）cos30°的值是（ ）
A、 B、 C、 D、 30、如果∠A是正三角形的一个内角，那么sinA的值等于（ ） A、 B、 C、 D、1 答案与评分标准 选择题 1、Rt△ABC中，a=4，b=3，c=5，则tanA的值是（ ）
A、 B、
C、0.6 D、 考点：锐角三角函数的定义。 分析：根据锐角三角函数的定义就可以解决．
解答：解：tanA==．故选B． 点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 2、如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义。 专题：网格型。 分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，最后根据锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值．
解答：解：∵AB=，BC=，AC=， ∴AB2=BC2+AC2， ∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC=． 故选B． 点评：本题主要考查了勾股定理和它的逆定理以及锐角三角函数的定义． 在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边． 3、（2003•山西）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（ ）
A、3 B、 C、或 D、3或 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；垂径定理。 分析：点P是直线AB上的一点，则P可能在线段BE上，或BE的延长线上，因分两种情况进行讨论． 过O作AB的垂线，根据三角函数的定义就可以求解． 解答：
解：作OE⊥AB，则EB=8×=4． ∵PB=3，∴EP=4﹣3=1． 又⊙O的半径为5，∴OE==3．
当P在线段BE上时：tan∠OPA==3； 当P在线段EB的延长线上时：设P是P1，则tan∠OP1A=3÷（1+3+3）=． 故选D．
点评：根据勾股定理和垂径定理求出直角三角形各边长，再根据三角函数的定义解答． 4、如图，已知∠а的终边OP⊥AB，直线AB的方程为，则cosа=（ ）
A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征。 分析：根据一次函数的性质，求出A、B的坐标，得到OA、OB的长度，根据三角函数的定义即可求出cosа的值．
解答：解：根据题意：直线AB的方程为y=﹣x+， 则A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，）， 故AO=1，BO=；AB=，cos∠ABO=， 由于同角的余角相等即∠α=∠AOB， 所以cosа=cos∠ABO=． 故选A． 点评：本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 5、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A、3 B、2 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义。 分析：过B做DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE． 根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
解答：解：过B做DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE． 则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB， ∴BE=BN．∴∠NBE=90°． ∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠ABN， ∴△NAB≌△EAB． 设EC=MN=x，AD=a，则AM=a，DE=2a﹣x，AE=AN=a+x， ∵AD2+DE2=AE2， ∴a2+（2a﹣x）2=（a+x）2，
∴x=a．
∴tan∠AEB=tan∠BNM==3． 故选A． 点评：本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答． 6、（2001•河南）如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是（ ） A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 分析：要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过△ADE∽△ACB三来求解，这样就不难求得其余弦值了． 解答：解：连接CD． ∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ACB． ∵S△ADE：S四边形BCED=1：2， ∴S△ADE：S△ACB=1：3，
∴AD：AC=：3，
∴cos∠BAC=：3． 故选D．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键．
7、如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（ ）
A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质。