锐角三角函数练习题 经典题型
中考数学考点专题训练之锐角三角函数
中考数学考点专题训练之锐角三角函数一．选择题（共5小题）1．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向的夹角为α（0°＜α＜90°），地下停车场层高CD＝3米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（）A．3B．3cosαC．3sinαD．3cos a2．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B3．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC ＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5B．2√6C．3D．√264．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（）A．20tan37°B．20tan37°C．20sin37°D．20sin37°5．在△ABC中，若|sin A−12|+（√22−cos B）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°二．填空题（共11小题）6．如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为m．（计算结果保留整数，参考数据：√3≈1.7）7．如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图，D、E为连接杆AB上两个定点，通过按压点B，连接杆AB绕点E旋转，从而带动连接杆DF上升，带动连接杆FH与FG绕点G旋转，致使牙签托盘HI向外推出，在取牙签过程中固定杆EG位置不变且DF与EG始终平行，牙签托盘HI始终保持水平，现测得FG＝FH＝1cm，EB=8113cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°与∠B＝90°，杆长与杆长之间角度大小不变，已知，牙签盒在初始状态，D、H、F三点共线，在刚好取到牙签时，E、H、G三点共线，且点C落在线段HI上，（参考数据：tan23°=5 12）（1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘HI在水平方向被向外推出cm；（2）鸟嘴BC的长为cm．8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝3√5米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10米，则旗杆BC的高度为．9．已知△ABC中，∠C＝90°，cos A=35，AC＝6，那么AB的长是．10．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF ＝32°，则立柱AB的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.62511．如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E 看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37°≈34，tan47.4°≈109）12．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为．13．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接BD和DC，BD=AB，∠BDC+ 1∠BAC=180°，DC=1，tan∠ABC=2√33，则线段BC的长为．215．如图，学校操场上有一棵与地面垂直的树，数学小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成30°，第二次是阳光与地面成60°，两次测量的影长相差6米，则树高为米．16．如图，已知∠ABC＝90°，∠C＝30°，∠EAB＝150°，DC＝AE．若AB＝1，DB＝3，则DE的长为．三．解答题（共9小题）17．在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，√2≈1.41）．18．无人机爱好者小新尝试利用无人机测量他家所住的楼房AB的高度．小新站在距离楼房60米的O处，他操作的无人机在离地面高度30√3米的P处，无人机测得此时小新所处位置O的俯角为60°，楼顶A处的俯角为30°．（O，P，A，B在同一平面内）（1）求楼房AB的高度；（2）在（1）的条件下，若无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于OB的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？19．莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）20．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，√3≈1.73）21．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°．另一边开挖点E在直线AC上，求BE的长（结果保留整数）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）22．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD=3 5．（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值．23．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB=2 3；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．24．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．（1）∠ACG＝度，∠ADG＝度．（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）（3）学生DF身高1.5米，为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：√3≈1.73）25．根据以下材料，完成项目任务．项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测角仪、皮尺等测量工具测角仪高度AB＝CD＝1.5m，在B、D处分别测得古塔顶端的仰角为32°、45°，BD＝9m，测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG＝12.9m．点B、D、G、Q在同一条直线上.sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625参考数据项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．。
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。
锐角三角函数练习题(含答案)
锐角三角函数练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D）A.30米B.10米C. 米D. 米2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C）Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3（第2题）（第3题）（第4题）5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A）A. B. C. D.7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B）A．150 B．C．9 D．78．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A）A．B．3 C．D．9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ）A. (m2)B. (m2)C.1600sinα(m2)D.1600cosα(m2)10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C）A.1B.C.D.（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。
12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。
锐角三角函数的经典测试题含答案
CE平行于AB，BC的坡度为i 1: 0.75，坡长0.64，cos40BC 140米，则AB的长为( )(精确0.77，tan40 0.84 )A．78.6米【答案】CB．78.7 米C．78.8 米D．78.9 米锐角三角函数的经典测试题含答案一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高解析】【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atan α，BD＝atan β，得出CD＝BC+BD＝atan α +atan即β可．【详解】∴BC＝atan α，BD＝atan β，∴CD＝BC+BD＝atan α+atan β，故选C．点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD 是解题的关键．2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40 ，若DE 55米，DE CE，CE 36米，acos α +acos βC．atan α +atan βaD．tanatan在Rt△ABD 和Rt△ABC中，AB＝ a ，BC BDtan α＝，tan β＝AB ABB．答案】CA．533B．C．222D．【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG 求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF 为0.75xm ∵BC=140m∴在Rt△BCF中，x20.75x 21402，解得：x=112 ∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ ADG 是直角三角形∵ DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m 设AB=ym ∵∠ DAB=40°DG 167 ∴tan40 °= 0.84AG y 120 解得：y=78.8 故选： C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值3．如图，在等腰直角△ABC中，∠ C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠ BED的值是（）35解析】分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ，设CD 1，CF x，则CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△ DEF是△AEF翻折而成，∴△ DEF≌△ AEF，∠ A＝∠ EDF，∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ EDF＝45°，由三角形外角性质得∠ CDF+45°＝∠ BED+45°，∴∠ BED＝∠ CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，3解得：x 3，4CFsin BED sin CDFDF故选：B．点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（）71 C．D．7 3 24 3 【答案】 C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，25 25 7解得x= 25，故CE=8-25 = ，4 4 4CE 7∴tan ∠CBE= .CB 24故选 C. 考点：锐角三角函数.5．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P的仰角是45 ，向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30°，则该电线杆PQ 的高度（）A．24B．7A．6 2 3 B．6 3 C．10 3 D．8 3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x 表示出AE和BE，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．【详解】解：延长PQ 交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，∠ A=45°，AE=PE=x；∵∠ PBE=60°∴∠ BPE=30°在直角△BPE中，BE= 3 PE= 3 x，33∵AB=AE-BE=6米，则x- x=6，3解得：x=9+3 3．则BE=3 3 +3 ．在直角△BEQ中，QE= 3 BE= 3（3 3 +3）=3+ 3．33∴PQ=PE-QE=9+3 3-（3+ 3 ）=6+2 3．答：电线杆PQ的高度是（6+2 3 ）米．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题6．如图，在x轴的上方，直角∠ BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠ BOA的两边分别与12函数y 、y 的图象交于B、A 两点，则∠ OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D 【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE ；1设 B 为（a，）， A 为OF AF a2 1 2（b，），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到a2b22 ，此为解决问题的关 b a b2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠ OAB= 2为定值，即可解决问题．2【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△ OFA，∴BE OE∴OF AF ，12设点 B 为（a，），A 为（b，2），a b12则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= 2，a b2可代入比例式求得 a 2b 2 2 ，即 a 2 2 ， b 2该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问 题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答．7．如图，要测量小河两岸相对的两点 P ，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一解析】 分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 【详解】∵PA ⊥ PB ，PC=100米，∠ PCA=35°，根据勾股定理可得： OB= OE 2EB 2a 212，OA= OF 2 AF 2∴tan ∠OAB=OBOA1 b 22 2 (b 2 b 2) = 2 b b2 b 42 = 22∴∠ OAB 大小是一个定值，因此∠ 故选 DOAB 的大小保持不变 .D ． 100tan55 米°a 2a 122 b2b b 42 b 2 b 42点睛】PA 等于（ ）C ． 100tan35米°∴小河宽PA=PCtan∠ PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．② 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠ D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1 米，参考数据：tan36 °≈0，.7c3os36 °≈0，.8s1in36 °≈）0.59A．5.6 B． 6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE 的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB 交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt △BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12 ）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m ，DE ＝DC+CE ＝8+24＝32m ， 由 tan36 °≈ 0.，73得＝0.73，解得 AB ＝0.73 ×3＝2 23.36m ． 由线段的和差，得AB ＝AE ﹣BE ＝23.36﹣12＝ 11.36 ≈ 11m.4， 故选： C ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 切函数，线段的和差．9．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ E BA ′=60 °，进而可得∠ ABM=30°，在Rt △ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .【详解】 ∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °，CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正A ． 8 33【答案】 A 【解析】 【分析】B ． 4 33C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得解得： BM= 8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .故选 B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质， 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图 1，在△ABC 中，∠ B ＝90°，∠ C ＝ 30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA 、AC 向点 C 以 恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时到达点 C ，设△BPQ 的面积为 y （cm 2）．运动时间为 x （ s ）， y 与 x 之间关系如图 2所示，当点 P 恰好为 AC 的中点时， PQ 的长为（ ）10． 如图，菱形 ABCD 中， AC 交 BD 于点 O ，DE ⊥BC 于点 E ，连接 OE ，∠ DOE ＝120°，DE A ． 33【答案】 B 【解析】 【分析】证明 △OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OD=OB ，CD=BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠ DEB=90°，∴OE=OD=OB ． ∵∠ DOE=120°，∴∠ BOE=60°，∴△ OBE是等边三角形，∴∠ ∵∠ DEB=90°，∴ BD= DE 2 3 ．sin60 3B ．23 3D ． 3 3DBC=60°直角三角形斜边的中3，解：设 AB ＝a ，∠ C ＝ 30°，则 AC ＝2a ，BC ＝ 3 a ， 设 P 、 Q 同时到达的时间为 T ，则点 P 的速度为 3a ，点 Q 的速度为 3a ，故点 P 、 Q 的速度比为 3： 3， TT 故设点 P 、 Q 的速度分别为： 3v 、 3 v ，由图 2 知，当 x ＝2 时，y ＝6 3，此时点 P 到达点 A 的位置，即 AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝ 2×3 v ＝ 2 3 v ，11y ＝AB ×BQ ＝6v ×2 3 v ＝ 6 3 ，解得： v ＝1，22故点 P 、Q 的速度分别为： 3， 3，AB ＝6v ＝6＝a ， 则 AC ＝12，BC ＝6 3 ，如图当点 P 在 AC 的中点时， PC ＝6，此时点 P 运动的距离为 AB+AP ＝12，需要的时间为 12÷3＝4， 则 BQ ＝3 x ＝4 3 ， CQ ＝ BC﹣ BQ ＝6 3 ﹣4 3 ＝2 3 ， 过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，PC ＝ 6，则 PH ＝ PCsinC ＝ 6×1 ＝3，同理 CH ＝3 3 ，则 HQ ＝ CH ﹣ CQ ＝ 3 3 ﹣2 3 ＝2PQ ＝ PH 2 HQ 2 ＝ 3 9 ＝2 3，D ． 4 3【答案】【解析】【分析】 点 P 、 Q 的速度比为【详解】3： 3 ，根据 x ＝2，y ＝6 3 ，确定 P 、Q 运动的速度，即可求解．C故选： C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关 系，进而求解．12．一艘轮船从港口 O 出发，以 15海里 /时的速度沿北偏东 60°的方向航行 4小时后到达 A 处，此时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛 B ．若以港口 O 为坐标原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向， 1 海里为 1 个单位长度建立平面直角坐标系（如解析】分析】 【详解】解： OA=15×4=60海里，∵∠ AOC=60°，∴∠ CAO=30°，∵sin30°= OCAO 2∴CO=30 海里， ∴AC=30 3 海里， ∴BC=（30 3 －50）海里， ∴B （ 30 3 －50， 30） 故选 A点睛】 本题考查掌握锐角三角函数的应用．13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测 角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD .如图，嘉淇与假山的水平距离 BD 为 6m ，他的D ．（30，30 3 ）C ．（30 3 ，30）眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE经过量角器的60 刻度线，则假山的高度CD 为（）A．2 3 1.6 m B．2 2 1.6 m C．4 3 1.6 m D．2 3m【答案】A【解析】【分析】CK CK根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30 °= ，进而得出CD 的长．AK 6【详解】解：如图，过点 A 作AK CD 于点K∵BD=6 米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠ AOE=6°0 ，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠ CAK=30°，CK CK∴tan30 °= ，AK 6解得：CK=2 3即CD=CK+DK=2 3 +1.6=（ 2 3 +1.6）m ．故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.14．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosA （）答案】 B 【解析】【分析】构造全等三角形，证明 △ABD 是等腰直角三角形，进行作答【详解】过 A 作 AE ⊥ BE ，连接 BD ，过 D 作 DF ⊥BF 于 F. ∵AE=BF ，∠ AEB=∠ DFB ，BE=DF ，∴△ AEB ≌△ BFD ，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ ABD 是等腰直角三角形，∴cos ∠ DAB= 22 答案选 B.【点睛】 本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题 解题关键 .15． 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，AB ：BC ＝2：1，且 BE ∥ AC ， CE ∥答案】 B解析】分析】DC 交线段 DC 延长线于点 F ，连接 OE 交BC 于点 G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形 OBEC 是菱形，则 OE 与 BC 垂直平分，易得 EF=1 x ， 2 1 A ． 2B ． 2 2C ． 3 2D ． 55C ． 62 3D ． 10过点 E 作 EF ⊥直线 B ． A ．4CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点 E 作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝1 AD＝1 x，OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，1∴CF＝OE＝x．2本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．16．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m 千米∴tan ∠EDC＝EFDF2x xA．m cotcot千米B．cot cot千米C．tan tan千米D．tan tan故选：B．点睛】m m m【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotBO=PO cot m，又AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot = . 所以答案选 A. cot cot【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键17．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠ DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是解析】分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ ADC=12°0 ，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ ADC=18°0 -60°=120 °，∵DF是菱形的高，∴DF⊥ AB，∴DF=AD?sin60 °=834 3，2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积- 扇形DEFG的面积=8 4 3120 (4 3)32 3 16．360故选： C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．DF 为半径C．32 3 16 D．18 3 答案】C18．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 nmile 的小岛 A 出发， 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔小岛 A 的距离是 ( AB 的长．【详解】 CDcos ∠ ACD= ，AC∴CD=AC?cos ∠ACD=6×0 3 30 3 ．2在 Rt △DCB 中，∵∠ BCD=∠ B=45°，∴CD=BD=30 3 ，∴AB=AD+BD=30+30 3 ．答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是( 30+30 3 )nmile ．故选 D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用 -方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与A ． 30 3 n mile 【答案】 D【解析】【分析】过点 C 作 CD ⊥AB ， B ． 60 n mile C ．120 nmile D ． (30 30 3) n mile则在 Rt △ACD 中易得A D 的长，再在直角 △BCD 中求出 BD ，相加可得 在 Rt △ACD中， AC=60．为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长 为 10 2 km ，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处 位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 【答案】 A【解析】【分析】【详解】解：∵∠ MAB=4°5 ， BM=10 2 ，∴AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km ， 过点 B 作 BD ⊥AC ，交 AC 的延长线于 D ， 在 Rt △ADB 中，∠ BAD=∠MAC ﹣∠ MAB=7°5 ﹣45°=30°， BDtan ∠ BAD=AD∴AD= 3 BD ， BD 2 +AD 2 =AB 2，即BD 2+( 3 BD )2=202，∴ BD=10，∴ AD=10 3 ，在 Rt △BCD 中， BD 2+CD 2=BC 2， BC=4 3 ，∴ CD=2 3 ， ∴AC=AD ﹣ CD=10 3 ﹣ 2 3 =8 3 km ，答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为 8 3 km ． 故选 A ．【考点】解直角三角形的应用 -方向角问题．AC 的长为（ ）B ． 9 3C ． 6 3D ． 7 320．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮 船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船 所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为 （ ）【答案】 D【解析】 【分析】 根据题意得出：∠ B=30°，AP=30 海里，∠ 案．【详解】 解：由题意可得：∠ B=30°， AP=30海里，∠ APB=90°， 故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为： BP= AB 2 AP 2 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． B ． 45 海里 C ．20 3 海里 D ．30 3 海里APB=90°，再利用勾股定理得出 BP 的长，求出答 30 3 （海里）。
锐角三角函数的经典测试题及答案
锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。
如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。
C地在A地北偏东75°方向。
且BD=BC=30m。
从A地到D地的距离是（）A。
303mB。
205mC。
302mD。
156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。
详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。
因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。
因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。
所以，从A地到D地的距离是156m。
故选D。
点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。
2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。
1/5B。
5/5C。
35/5D。
9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。
详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。
点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。
九年级数学锐角三角函数考试题及答案解析
达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值 答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1-14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ， 由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示，则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23 r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D14.(浙江模拟) 在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B16.(浙江舟山模拟) 课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1-18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知：如图28.1-19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。
锐角三角函数综合题型
锐角三角函数综合题型一、单选题（共8题；共16分）1.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.2.（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A. x﹣y2=3B. 2x﹣y2=9C. 3x﹣y2=15D. 4x﹣y2=213.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为（）A. B. 2 C. 3 D. 44.（2017•广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④5.（2017•佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．A. 2B. 3C. 4D. 56.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE 分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（）A. B. C. D.7.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6 ；③sin∠AOB= ；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ①②③④C. ②③④D. ①③④8.如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH=( )A. B. C. D.二、填空题（共3题；共3分）9.（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．10.（2017•绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM= AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是________．11.（2017•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．三、综合题（共9题；共107分）12.（2017•温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．13.（2017•包头）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．（1）求证：AE•EB=CE•ED；（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，= ，求tan∠OBC的值及DP的长．14.（2017•绥化）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．15.如图，AB是的直径，点D在上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作的切线DE交BC于点E。