2022年全国各省中考数学真题分类解析分式方程
分式与分式方程(34题)(解析版)—2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)
分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（ ）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（ ）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+¹．则a aba b +=+（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是 ．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为 ．解得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，∴原方程的解为：3x =，故答案为：3x =．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)(2p --+＝ ．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+= ．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】4x ¹【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：Q 分式有意义的条件是分母不能等于0，\40x -¹\4x ¹．故答案为：4x ¹．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】3x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为 ．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为 ．î13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x æö--¸-=ç÷èø．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是 ．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1. 故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++ ．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为 ．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a aa a++æö+¸ç÷+，其中4a=．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x xx x x+-æö-¸ç÷+，其中3x=．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -æö+¸ç÷--+，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -æö-¸ç÷--+èø，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x æöæö-¸-ç÷ç÷èøèø，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +æö-¸ç÷．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-æö-+-´-ç÷èø；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+æö-¸ç÷-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ´，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224x x x x x x x +æö-¸ç÷-+-èø，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -æö+¸ç÷+èø．【答案】(1)222x y +；34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xxx x-æö+-¸+ç÷+-，其中72x=-．。
2022广东深圳中考数学试卷分类解析汇编专项3-方程(组)和不等式
2022广东深圳中考数学试卷分类解析汇编专项3-方程（组）和不等式专题3：方程（组）和不等式（组）一、选择题1. （深圳2003年5分）下列命题正确的是【 】A 、3x －7>0的解集为x>73B 、关于x 的方程ax=b 的解是x=ab C 、9的平方根是3 D 、(12+)与(12-)互为倒数【答案】D 。
【考点】命题与定理，解一元一次不等式，一元一次方程的定义，平方根的定义，倒数的概念。
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案：A 、3x －7＞0的解集为x ＞73，错误； B 、关于x 的方程ax=b 的解是x=a b 需加条件a≠0，错误； C 、9的平方根是±3，错误；D 、∵(12+)12-)=2－1=1，∴依照倒数的概念，(12+)与(12-)互为倒数，正确。
故选D 。
2.（深圳2004年3分）不等式组⎩⎨⎧≤-≥+12x 01x 的解集在数轴上的表示正确的是【 】A BC D【答案】D 。
-1-1-1-1【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
由第一个不等式得x≥－1，由第二个不等式得x≤3，∴不等式组的解集为-1≤x≤3。
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，假如数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段确实是不等式组的解集．有几个就要几个。
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
故选D 。
3.（深圳2005年3分）方程x 2 = 2x 的解是【 】A 、x=2B 、x 1=2-，x 2= 0C 、x 1=2，x 2=0D 、x = 0【答案】C 。
2022年江西省中考数学试卷和答案解析
2022年江西省中考数学试卷参考答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列各数中，负数是（）A．﹣1B．0C．2D．2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b 3．（3分）下列计算正确的是（）A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+nC．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n24．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．125．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20gD．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝．8．（3分）正五边形的外角和为度．9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B 在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为．三、参考答案题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式组：．14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×解：①＝[﹣]×②＝×③…（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的参考答案过程．15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．四、参考答案题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．（1）点B的坐标为，点D的坐标为，点C的坐标为（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直线AC的表达式．19．（8分）课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C 的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）五、参考答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）报班数人数类别01234及以上合计“双10248755124m减”前2551524n0m“双减”后（1）根据表1，m的值为，的值为；分析处理（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为，“双减”后学生报班个数的众数为；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm （h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．六、参考答案题（本大题共12分）23．（12分）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为；当OF与BC 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP 分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）参考答案与解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．【参考答案】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，故选：A．【解析】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．2．【参考答案】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；故选：C．【解析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．3．【参考答案】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；故选：B．【解析】本题考查了整式的混合运算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．4．【参考答案】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．【解析】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．5．【参考答案】解：如图，它的俯视图为：故选：A．【解析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．6．【参考答案】解：由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，故选：D．【解析】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【参考答案】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．故答案为：a（a﹣3）．【解析】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．8．【参考答案】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．【解析】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．9．【参考答案】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【解析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．10．【参考答案】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：＝．故答案为：＝．【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11．【参考答案】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．【解析】本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．12．【参考答案】解：当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；综上所述，AB的长为5或2或．故答案为：5或2或．【解析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．三、参考答案题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．【参考答案】解：（1）原式＝2+2﹣1，＝3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜3．【解析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是参考答案此题的关键．14．【参考答案】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案为：．【解析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．15．【参考答案】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：C；（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，则P（A）＝＝，【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．【参考答案】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．【解析】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【解析】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．四、参考答案题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．【参考答案】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，∵点A（m，4），∴C（m+1，2），故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4m＝2（m+1），∴m＝1，∴A（1，4），C（2，2），∴k＝1×4＝4，设直线AC的表达式为：y＝nx+b，，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．【解析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．19．【参考答案】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OA＝2，∴OP＝2OA＝4，∴PA＝＝2．【解析】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．20．【参考答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．五、参考答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．【参考答案】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝0.02，故答案为：300；0.02；（2）汇总表1和图1可得：01234及以上总数172821188246500“双减”前4232440121500“双减”后×100%＝2.4%，答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，∴“双减”后学生报班个数的众数为0，故答案为：1；0；②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．【解析】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．22．【参考答案】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【解析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．六、参考答案题（本大题共12分）23．【参考答案】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD 的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O 作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．【解析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析反比例函数
（2022•怀化中考）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】选D ．设点B 的坐标为（a ，a−1a），∵S △BCD ＝5，且a ＞1，∴12×a ×a−1a =5，解得：a ＝11， 经检验，a ＝11是原分式方程的解.（2022•扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁（2022•德阳中考）一次函数y＝ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】选B．分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．1501（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B．√2 C．2√2 D．4【解析】选C．∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a ），∴OA=√a2+4a2，∵(a−2a )2≥0，即：a2+4a2−4≥0，∴a2+4a2≥4，∴当a2=4a2时，OA有最小值，解得a1=√2，a2=−√2（舍去），∴A点坐标为（√2，√2），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB=√2OA＝2√2．（2022•十堰中考）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）和y =k2x（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【解析】选B ．连接AC 交BD 于E ，延长BD 交x 轴于F ，连接OD 、OB ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝BE ＝CE ＝DE ， 设AE ＝BE ＝CE ＝DE ＝m ，D （3，a ），∵BD ∥y 轴，∴B （3，a +2m ），A （3+m ，a +m ）， ∵A ，B 都在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，∴k 1＝3（a +2m ）＝（3+m ）（a +m ）， ∵m ≠0，∴m ＝3﹣a ，∴B （3，6﹣a ）， ∵B （3，6﹣a ）在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，D （3，a ）在y =k 2x（k 2＞0）的图象上，∴k 1＝3（6﹣a ）＝18﹣3a ，k 2＝3a ， ∴k 1+k 2＝18﹣3a +3a ＝18.（2022•娄底中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有（ ）①点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上； ②△AOB 为等腰直角三角形； ③0°＜∠POQ ＜90°；④∠POQ 的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【解析】选D ．∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），则m •1＝1•m ＝m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =m x 的图象上，故①正确；设直线PQ 为y ＝kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y ＝﹣x +m +1，当y ＝0时，x ＝m +1；当x ＝0时，y ＝m +1，∴A （m +1，0），B （0，m +1），∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确；∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），∴P 、Q 都在第一象限，∴0°＜∠POQ ＜90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y ＝mx ，∴当0＜m ＜1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m ＞1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大，故④错误.（2022•邵阳中考）如图是反比例函数y =1x的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【解析】选B ．∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（）A．B．C．D．【解析】选A．根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．所以﹣k＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =3x的图象上，顶点A 在反比例函数y =k x的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【解析】选D ．设B （a ，3a ），∵四边形OBAD 是平行四边形，∴AB ∥DO ，∴A （ak3，3a），∴AB ＝a −ak3，∵平行四边形OBAD 的面积是5，∴3a（a −ak3）＝5，解得k ＝﹣2.（2022•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x和y =k x的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【解析】选D ．设点P （a ，b ），Q （a ，ka ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ =−ka ，∴PQ ＝PM +MQ ＝b −ka．（2022•桂林中考）如图，点A 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ⊥y 轴于点B ，若△AOB 的面积是3，则k 的值是 ﹣6 ．【解析】设点A 的坐标为（a ，ka），∵△AOB 的面积是3，∴−a⋅ka2=3，解得k ＝﹣6，答案：﹣6．（2022•玉林中考）如图，点A 在双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ）；②当b ＝2时，k ＝4√3 ；③m =√33；④S 四边形AOCB ＝2b 2； 则所有正确结论的序号是 ①②③ ．【解析】如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD=√(2b)2−b2=√3b，∴A（√3b，b）；故①正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2√3，2），∴k＝2√3×2＝4√3，故②正确；③∵A（√3b，b），A与B关于x轴对称，∴B（√3b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴√3bm﹣2b＝﹣b，∴m=√33，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•√3b＝2√3b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：①②③.答案：①②③．（2022·安徽中考）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y=1x 的图象经过点C，y=kx（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．【解析】由题知，反比例函数y=1x的图象经过点C，设C点坐标为（a，1a），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，1a），∵y=kx（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•1a=3，答案：3．（2022•江西中考）已知点A在反比例函数y=12（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三x角形，且腰长为5，则AB的长为5或2√5或√10．【解析】当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，12）（a＞0），B（5，0），a∵OA＝5，)2=5，∴√a2+(12a解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=√(3−5)2+42=2√5或AB=√(4−5)2+32=√10；综上所述，AB的长为5或2√5或√10．答案：5或2√5或√10．（2022•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=k（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．x【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG =12DQ ＝2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2（a +32）， ∴k ＝4a ＝2（a +32），解得：a =32，∴k ＝6． 答案：6．（2022•舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点B 的坐标为（4，3），AB 与y 轴平行，若AB ＝BC ，则k ＝ 32 ．【解析】∵点B 的坐标为（4，3），C （0，0），∴BC =√42+32=5，∴AB ＝BC ＝5， ∵AB 与y 轴平行，∴A （4，8），把A （4，8）代入y =kx 得：8=k4，解得k ＝32. 答案：32．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数y =kx的图象经过点C ，则k 的值为 3 ．【解析】设BC 交x 轴于E ，如图：∵x 轴为矩形ABCD 的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， ∴四边形DOEC 是矩形，且矩形DOEC 面积是3， 设C （m ，n ），则OE ＝m ，CE ＝n ， ∵矩形DOEC 面积是3， ∴mn ＝3，∵C 在反比例函数y =kx的图象上，∴n =km，即k ＝mn ，（2022•凉山州中考）如图，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB 的面积为3，则k＝6．【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，∴12OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，答案：6（2022•湖州中考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO=AOOB=3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，（2022•宁波中考）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D都在函数y =6√2x（x ＞0）的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为9√2时，EFOE的值为12，点F 的坐标为 （3√32，0） ．【解析】如图，作DG ⊥x 轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ， 设点B （b ，6√2b ），D （a ，6√2a），【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，设OC＝b，则BC=√3b，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，√3b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣2b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN=12AN=b﹣5，AD=√32AN=√3b﹣5√3，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，∴A（15﹣b，√3b﹣5√3），∵A、B两点都在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣b）（√3b﹣5√3）＝b•√3b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•√3b＝9√3.答案：9√3．（2022•广元中考）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4 ．【解析】过B作BD⊥OA于D，∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上，∴设B （﹣m ，n ），点B 在第二象限内，∵△OAB 的面积为6，∴OA =12n，∴A （−12n，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （−mn+122n，n2），∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上，∴−mn+122n•n 2=−mn ，∴﹣mn ＝﹣4，∴k ＝﹣4.答案：﹣4．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 400 Pa ．【解析】设p =kS ，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k ＝100，∴p =100S，当S ＝0.25m 2时，物体所受的压强p =1000.25=400（Pa ）. 答案：400（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx 的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为 2 ．【解析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（2022•乐山中考）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．【解析】设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE=3 2，∴k＝3，答案：3．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数y =kx （x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是 4 ．【解析】设C （m ，km ），∵四边形ABCD 是正方形，∴点E 为AC 的中点，∴E （m+32，k 2m），∵点E 在反比例函数y =kx上，∴m+32×k 2m=k ，∴m ＝1，作CH ⊥y 轴于H ，∴CH ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OBA ＝∠HCB ， ∵∠AOB ＝∠BHC ，∴△AOB ≌△BHC （AAS ）， ∴BH ＝OA ＝3，OB ＝CH ＝1，∴C （1，4），∴k ＝4，（2022•黔东南州中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2√2，则k＝−32．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE=12BC=√2，∴A（0，√2），C（−√2，2√2），∵D是AC的中点，∴D（−√22，3√22），∴k=−√22×3√22=−32．答案：−3 2．（2022•齐齐哈尔中考）如图，点A是反比例函数y=kx（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【解析】连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，（2022•鄂州中考）如图，已知直线y＝2x与双曲线y=kx（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=√5，则k的值为2．【解析】设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA=√5，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y=kx（x＞0）上，∴2＝k，答案：2．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为24．【解析】作CE⊥OB于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OBA+∠CBE＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠CEB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE，OB＝CE，∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．∴OA＝2，OB＝4，∴BE＝2，CE＝4，∴C（4，6），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，∴k＝4×6＝24，答案：24．（2022•梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y2=mx的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．答案：﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，{m+n=63m+n=2，解得：{m=−2n=8，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB=√(1−3)2+(6−2)2=2√5，BC=√(3−4)2+(2−0)2=√5，AD•BC＝AB•DO，∴AD•√5=2√5•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．答案：4．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是23＜m＜2．【解析】过点P作P A∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P （2，3），反比例函数y =2x ， ∴A （23，3），B （2，1）．∵一次函数y 的值随x 值的增大而增大， ∴点Q （m ，n ）在A ，B 之间， ∴23＜m ＜2．答案：23＜m ＜2．（2022•武威中考）如图，B ，C 是反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA ＝AD ，CD ＝3．（1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE 的面积．【解析】（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，∴x ＝1， 即直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0）， ∴OA ＝1＝AD ，又∵CD ＝3，∴点C 的坐标为（2，3）， 而点C （2，3）在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数的图象为y =6x ； （2）方程组{y =x −1y =6x的正数解为{x =3y =2，∴点B 的坐标为（3，2）， 当x ＝2时，y ＝2﹣1＝1，∴点E 的坐标为（2，1），即DE ＝1， ∴EC ＝3﹣1＝2，∴S △BCE =12×2×（3﹣2）＝1.（2022•连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于P 、Q 两点．点P （﹣4，3），点Q 的纵坐标为﹣2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△POQ 的面积．【解析】（1）将点P （﹣4，3）代入反比例函数y =kx 中，解得：k ＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为：y =−12x ；当y ＝﹣2时，﹣2=−12x ，∴x ＝6，∴Q （6，﹣2），将点P （﹣4，3）和Q （6，﹣2）代入y ＝ax +b 中得：{−4a +b =36a +b =−2，解得：{a =−12b =1，∴一次函数的表达式为：y =−12x +1；（2）如图，y =−12x +1，当x ＝0时，y ＝1，∴OM ＝1，∴S △POQ ＝S △POM +S △OMQ =12×1×4+12×1×6＝2+3＝5．（2022•江西中考 ）如图，点A （m ，4）在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1． （1）点B 的坐标为 （0，2） ，点D 的坐标为 （1，0） ，点C 的坐标为 （m +1，6） （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．【解析】（1）由题意得：B （0，2），D （1，0），由平移可知：线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，（2022•遂宁中考）已知一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；（2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围； （3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．【解析】（1）∵B 点的横坐标为﹣2且在反比例函数y 2=6x 的图象上，∴y 2=6−2=−3， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B （﹣2，﹣3）在一次函数y 1＝ax ﹣1的图象上， ∴﹣3＝a ×（﹣2）﹣1，解得a ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，∵y ＝x ﹣1，∴x ＝0时，y ＝﹣1；x ＝1时，y ＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示；（2）{y =x −1y =6x，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，∵一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）∵点B （﹣2，﹣3）与点D 关于原点成中心对称，∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x ＝2代入y ＝x ﹣1，得y ＝1， ∴S △ACD ＝S △ADE +S △DEC =(3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2=2，即△ACD 的面积是2．（2022•自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =nx 的图象相交于A （﹣1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B 作直线l ∥y 轴，过点A 作AD ⊥l 于点D ，点C 是直线l 上一动点，若DC ＝2DA ，求点C 的坐标．【解析】（1）∵A （﹣1，2）在反比例函数y =nx 的图象上，∴n ＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y =−2x ；∵B （m ，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m ＝﹣2，∴m ＝2，∴B （2，﹣1）．∵A （﹣1，2），B （2，﹣1）两点在一次函数y ＝kx +b 的图象上， ∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +1； （2）∵直线l ∥y 轴，AD ⊥l ， ∴AD ＝3，D （2，2）， ∵DC ＝2DA ，∴DC ＝6，∵点C 是直线l 上一动点，∴C （2，8）或（2，﹣4）.【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=kx （k≠0，x＞0）的图象上，∴2=k2，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y=4x （k≠0，x＞0）的图象上，∴1=4x，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．（2022•温州中考）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y=kx （k≠0），得﹣2=k3，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=−6x，补充其函数图像如下：（2）当y＝5时，−6x =5，解得：x=−65，∴当y≤5，且y≠0时，x≤−65或x＞0.（2）根据函数图象，直接写出不等式kx +b ＞4x 的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．【解析】（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2），∴4m =1，n =4−2， 解得m ＝4，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2）， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x 的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4，∴S △ABC =12×4×6=12．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ＜4x 的解集；（3）一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△OAC 的面积． 【解析】（1）∵（m ，4），（﹣2，n ）在反比例函数y =4x 的图象上， ∴4m ＝﹣2n ＝4，解得m ＝1，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y ＝kx +b 中得{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2，∴一次函数解析式为y ＝2x +2．画出函数y ＝2x +2图象如图；（2）由图象可得当0＜x ＜1或x ＜﹣2时，直线y ＝﹣2x +6在反比例函数y =4x 图象下方， ∴kx +b ＜4x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．（3）把y ＝0代入y ＝2x +2得0＝2x +2，解得x ＝﹣1，∴点C 坐标为（﹣1，0），∴S △AOC =12×1×4=2．（2022•株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=2x（x ＜0）、y 2=kx （x ＞0，k＞0）的图象上，点C 在第二象限内，AC ⊥x 轴于点P ，BC ⊥y 轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为﹣2．（1）求点A 的横坐标；（2）记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．【解析】（1）∵点A 在函数y 1=2x（x ＜0）的图象上，点A 的纵坐标为﹣2，（2022•泰安中考）如图，点A 在第一象限，AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA ＝2√5，tan A =12，反比例函数y =kx 的图象经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ． （1）求k 值；（2）求△OBD 的面积．【解析】（1）∵∠ACO ＝90°，tan A =12， ∴AC ＝2OC ， ∵OA ＝2√5，由勾股定理得：（2√5）2＝OC 2+（2OC ）2， ∴OC ＝2，AC ＝4，∴A （2，4）， ∵B 是OA 的中点，∴B （1，2）， ∴k ＝1×2＝2； （2）当x ＝2时，y ＝1， ∴D （2，1），∴AD ＝4﹣1＝3， ∵S △OBD ＝S △OAD ﹣S △ABD =12×3×2−12×3×1＝1.5象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】（1）∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象过点A ， ∴4＝﹣2a +6， ∴a ＝1， ∴点A （1，4），∵反比例函数y =kx的图象过点A （1，4）， ∴k ＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y =4x， 联立方程组可得：{y =4x y =−2x +6，解得：{x 1=1y 1=4，{x2=2y 2=2， ∴点B （2，2）；（2）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，∴AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ， ∴AE CF =AH CH =EH FH，当AH CH=12时，则CF ＝2AE ＝2，∴点C （﹣2，﹣2）， ∴BC =√(2+2)2+(2+2)2=4√2，当AH CH=2时，则CF =12AE =12，∴点C （−12，﹣8），∴BC =√(2+12)2+(2+8)2=5√172， 综上所述：BC 的长为4√2或5√172；（3）如图，当∠AQP ＝∠ABP ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于F ，设BP 与y 轴的交点为N ，连接BQ ，AP 交于点H ，∵直线y ＝﹣2x +6与y 轴交于点E ，∴点E （0，6）， ∵点B （2，2），∴BF ＝OF ＝2，∴EF ＝4， ∵∠ABP ＝90°，∴∠ABF +∠FBN ＝90°＝∠ABF +∠BEF ， ∴∠BEF ＝∠FBN ， 又∵∠EFB ＝∠ABN ＝90°， ∴△EBF ∽△BNF ， ∴BF EF=FN BF，∴FN =2×24=1，∴点N （0，1）， ∴直线BN 的解析式为：y =12x +1，联立方程组得：{y =4x y =12x +1，解得：{x 1=−4y 1=−1，{x2=2y2=2， ∴点P （﹣4，﹣1），∴直线AP 的解析式为：y ＝x +3， ∵AP 垂直平分BQ ，∴设BQ 的解析式为y ＝﹣x +4，∴x +3＝﹣x +4，∴x =12，∴点H （12，72），∵点H 是BQ 的中点，点B （2，2）， ∴点Q （﹣1，5）．的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数y ＝x +1经过点A （m ，2）， ∴m +1＝2，∴m ＝1，∴A （1，2），∵反比例函数y =k x经过点（1，2），∴k ＝2， ∴反比例函数的解析式为y =2x；（2）由题意，得{y =x +1y =2x，解得{x =−2y =−1或{x =1y =2， ∴B （﹣2，﹣1），∵C （0，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．（2022•德阳中考）如图，一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B 的坐标是（﹣3，0），若点P 在y 轴上，且△AOP 的面积与△AOB 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】解（1）∵一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，点A 的横坐标为﹣2，当x ＝﹣2时，y =−32×（﹣2）+1＝4，∴A （﹣2，4），∴4=k−2，∴k ＝﹣8，（2022•泸州中考）如图，直线y =−32x +b 与反比例函数y =12x的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．（1）求b 的值；（2）若点C 是x 轴上一点，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．【解析】（1）∵点A 在反比例函数y =12x上，且A 的纵坐标为6， ∴点A （2，6），∵直线y =−32x +b 经过点A ，∴6=−32×2+b ，∴b ＝9；（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，设点C （a ，0），∵直线AB 与x 轴的交点为D ， ∴点D （6，0），由题意可得：{y =−32x +9y =12x ， ∴{x 1=2y1=6，{x2=4y 2=3， ∴点B （4，3），∵S △ACB ＝S △ACD ﹣S △BCD ，2022•南充中考）如图，直线AB 与双曲线交于A （1，6），B （m ，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．（1）求直线AB 与双曲线的解析式． （2）求△ABC 的面积．【解析】（1）设双曲线的解析式为y =k x，∵点A （1，6）在该双曲线上，∴6=k 1，解得k ＝6， ∴y =6x，∵B （m ，﹣2）在双曲线y =6x上， ∴﹣2=6m，解得m ＝﹣3， 设直线AB 的函数解析式为y ＝ax +b ，{a +b =6−3a +b =−2，解得{a =2b =4，即直线AB 的解析式为y ＝2x +4；（2）作BG ∥x 轴，FG ∥y 轴，FG 和BG 交于点G ，作BE ∥y 轴，F A ∥x 轴，BE 和F A 交于点E ，如右图所示， 直线BO 的解析式为y ＝ax ，∵点B （﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a =23， ∴直线BO 的解析式为y =23x ， {y =23xy =6x，解得{x =3y =2或{x =−3y =−2， ∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2）， ∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC ＝8×6−4×82−6×42−4×22＝48﹣16﹣12﹣4＝16．（2022•杭州中考）设函数y 1=k 1x，函数y 2＝k 2x +b （k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0）． （1）若函数y 1和函数y 2的图象交于点A （1，m ），点B （3，1）， ①求函数y 1，y 2的表达式；②当2＜x ＜3时，比较y 1与y 2的大小（直接写出结果）．（2）若点C （2，n ）在函数y 1的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数y 1的图象上，求n 的值． 【解析】（1）把点B （3，1）代入y 1=k 1x ，3=k11，解得：k 1＝3， ∴函数y 1的表达式为y 1=3x，把点A （1，m ）代入y 1=3x ，解得m ＝3，把点A （1，3），点B （3，1）代入y 2＝k 2x +b ，{3=k 2+b 1=3k 2+b ，解得{k 2=−1b =4，∴函数y 2的表达式为y 2＝﹣x +4； （2）如图，当2＜x ＜3时，y 1＜y 2；（3）由平移，可得点D 坐标为（﹣2，n ﹣2）， ∴﹣2（n ﹣2）＝2n ，解得：n ＝1， ∴n 的值为1【解析】（1）把A （a ，2）的坐标代入y =23x ，即2=−23a ，解得a ＝﹣3，∴A （﹣3，2），又∵点A （﹣3，2）是反比例函数y =kx的图象上，∴k ＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y =−6x；（2）∵点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3， ∴﹣3＜m ＜0或0＜m ＜3， 当m ＝﹣3时，n =−6−3=2，当m ＝3时，n =−63=2， 由图象可知，若点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3，n 的取值范围为n ＞2或n ＜﹣2（2022•黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 的图象与函数y 2=mx（x ＞0）的图象交于A （6，−12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ．将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 2 ．【解析】（1）将点A （6，−12）代入y 2=mx 中，∴m ＝﹣3，∴y 2=−3x，∵B （12，n ）在y 2=−3x中，可得n ＝﹣6，∴B （12，﹣6）， 将点A 、B 代入y 1＝kx +b ，∴{12k +b =−66k +b =−12，解得{k =1b =−132，∴y 1＝x −132； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A （6，−12），B （12，﹣6），∴12＜x ＜6时，y 1＜y 2；（3）在y 1＝x −132中，令x ＝0，则y =−132，∴C （0，−132），∵直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度，∴直线DE 的解析式为y ＝x −132+t ，∴F 点坐标为（0，−132+t ），过点F 作GF ⊥AB 交于点G ，连接AF ，直线AB 与x 轴交点为（132，0），与y 轴交点C （0，−132），∴∠OCA ＝45°，∴FG ＝CG ，∵FC ＝t ，∴FG =√22t ， ∵A （6，−12），C （0，−132），∴AC ＝6√2， ∵AB ∥DF ，∴S △ACD ＝S △ACF ，∴12×6√2×√22t ＝6，∴t ＝2. 答案：2．（2022•宜宾中考）如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点C 、D ．若tan ∠BAO ＝2，BC ＝3AC ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD 的面积．【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OBOA =2， ∵A （4，0），∴OA ＝4，OB ＝8，∴B （0，8），∵A ，B 两点在直线y ＝ax +b 上，∴{b =84a +b =0，∴{a =−2b =8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8， 过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵BC ＝3AC ，∴AB ＝4AC ，∴CE ∥OB ，∴CEOB =ACAB =14，∴CE ＝2，∴C （3，2），∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x；（2）由{y =−2x +8y =6x，解得{x =1y =6或{x =2y =3，∴D （1，6），过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∴S △OCD ＝S △AOB ﹣S △BOD ﹣S △COA =12•OA •OB −12•OB •DF −12•OA •CE =12×4×8−12×8×1−12×4×2＝8（2022•广元中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图象与函数y =kx （x ＞0）的图象相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3．（1）求k 和b 的值；（2）若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数y =kx （x ＞0）的图象上，并说明理由．【解析】（1）∵函数y ＝x +b 的图像与函数y =kx （x ＞0）的图像相交于点B （1，6），∴6＝1+b ，6=k1，∴b ＝5，k ＝6；（2）点A ′不在函数y =kx（x ＞0）的图像上，理由如下：过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，过A ′作A ′G ⊥x 轴于G ， ∵点B （1，6），∴ON ＝1，BN ＝6， ∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3， ∴S △OACS△OAB=12OA⋅CM 12OA⋅BN =23，∴CM BN =23，∴CM =23BN ＝4，即点C 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝x +5得：x ＝﹣1，∴C （﹣1，4）， ∴OC ′＝OC =√OM 2+CM 2=√12+42=√17， ∵y ＝x +5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴OA ＝5， 由旋转的性质得：△OAC ≌△OA ′C ′，∴12OA •CM =12OC •A ′G ，∴A ′G =OA⋅CM OC=5×4√17=20√1717在Rt △A ′OG 中，OG =√OA 2−A ′G 2=√52−(20√1717)2=5√1717， ∴点A ′的坐标为（5√1717，20√1717）， ∵5√1717×20√1717≠6，∴点A ′不在函数y =k x（x ＞0）的图像上．（2022•岳阳中考）如图，反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式k x ＜mx 的解集．【解析】（1）把点A （﹣1，2）代入y =kx（k ≠0）得：2=k −1，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x；（2）∵反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，∴B （1，﹣2），∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴C （1，2），∴CD ＝2，∴S △ABC =12×2×(2+2)=4；（3）根据图象得：不等式kx＜mx 的解集为x ＜﹣1或0＜x ＜1.【解析】（1）设反比例函数y 2=k x ，把A （2，2）代入，得：2=k 2， 解得：k ＝4， ∴y 2=4x，由{y =xy =4x ，解得：{x 1=2y 1=2，{x 2=−2y 2=−2，∴B （﹣2，﹣2），由图象可知：当y 1＜y 2时，x ＜﹣2或0＜x ＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标． （2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ， ∵A （2，2）， ∴AE ＝OE ＝2，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴∠AOE ＝45°，OA =√2AE ＝2√2， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ，OC ＝OD ，∴∠DOF ＝90°﹣∠AOE ＝45°， ∵∠DFO ＝90°，∴△DOF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝OF ，∵菱形ACBD 的周长为4√10， ∴AD =√10，在Rt △AOD 中，OD =√AD 2−OA 2=√(√10)2−(2√2)2=√2， ∴DF ＝OF ＝1， ∴D （1，﹣1），由菱形的对称性可得：C （﹣1，1）， 设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ， 则{m +n =−12m +n =2，解得：{m =3n =−4， ∴AD 所在直线的解析式为y ＝3x ﹣4；同理可得BC 所在直线的解析式为y ＝3x +4，AC 所在直线的解析式为y =13x +43，BD 所在直线的解析式为y =13x −43．（2022•苏州中考）如图，一次函数y ＝kx +2（k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（m ≠0，x ＞0）的图象交于点A （2，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C （﹣4，0）．（1）求k 与m 的值；（2）P （a ，0）为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【解析】（1）把C （﹣4，0）代入y ＝kx +2，得k =12，∴y =12x +2，把A （2，n ）代入y =12x +2，得n ＝3，∴A （2，3），把A （2，3）代入y =m x ，得m ＝6，∴k =12，m ＝6；（2）当x ＝0时，y ＝2，∴B （0，2），∵P （a ，0）为x 轴上的动点，∴PC ＝|a +4|，∴S △CBP =12•PC •OB =12×|a +4×2＝|a +4|，S △CAP =12PC •y A =12×|a +4|×3，∵S △CAP ＝S △ABP +S △CBP ，∴32|a +4|=72+|a +4|，（2022•乐山中考）如图，已知直线l ：y ＝x +4与反比例函数y =k x（x ＜0）的图象交于点A （﹣1，n ），直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【解析】∵点A （﹣1，n ）在直线l ：y ＝x +4上，∴n ＝﹣1+4＝3，∴A （﹣1，3），∵点A 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y =3x ；（2）易知直线l ：y ＝x +4与x 、y 轴的交点分别为B （﹣4，0），C （0，4），∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称，∴直线l ′与x 轴的交点为E （2，0），设l ′：y ＝kx +b ，则{3=−k +b 0=2k +b， 解得：{k =−1b =2， ∴l ′：y ＝﹣x +2，∴l ′与y 轴的交点为D （0，2），∴S 阴影部分＝S △BOC ﹣S △ACD =12×4×4−12×2×1＝7．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【解析】（1）把A （3，1）代入y =m x 得：1=m3，∴m ＝3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B （﹣1，n ）代入y =3x 得： n =3−1=−3，∴B （﹣1，﹣3），将A （3，1），B （﹣1，﹣3）代入y ＝kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；（2）在y ＝x ﹣2中，令x ＝0得y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），设M （m ，3m ），N （n ，n ﹣2），而O （0，0）， ①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2， 解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m =n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：（2022•眉山中考）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【解析】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），∴a＝2，∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（1，m）在y=4x的图象上，∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）【解析】：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（n，﹣1）在y=4x的图象上，（2022•台州中考）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y ＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）由题意设：y=k x，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12 x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）如图，直线m即为所求．（3）∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．【解析】（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；答案：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②假设x 1=−12，则y 1＝1，∵x 1+x 2＝0，∴x 2=12，∴y 2＝﹣8，∴y 1+y 2＝0不一定成立，答案：不一定；（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−k +b =44k +b =−1，解得{k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3， 当n ＝3时，直线l 的解析式为y ＝﹣x +3﹣3＝﹣x ，设直线AB 与y 轴交于C ，则S △P AB ＝S △AOB ，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×OC ×1+12×OC ×4=12×3×5=152，∴△P AB 的面积为152； ②设直线l 与y 轴交于D ，∵l ∥AB ，∴S △P AB ＝S △ABD ，由题意知，CD ＝n ，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD .=12CD ×5 =52n ．∴△P AB 的面积为5n 2．（1）求m 的值和点D 的坐标；（2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．【解析】（1）过A 点作AH ⊥BO 于H ，∵△ABO 是等腰直角三角形，A （m ，2），∴OH ＝AH ＝2，∴m ＝2，由平移可得D 点纵坐标和A 点纵坐标相同，设D （n ，2），∵D 在y =8x图像上，∴n ＝4，∴D （4，2）．（2）过D 作DM ⊥EF 于M ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DFM ＝45°，∴DM ＝MF ＝2，由D （4，2）得F （6，0），设直线DF 的表达式为：y ＝kx +b ，将F （6，0）和D （4，2）代入得：{2=4k +b 0=6k +b ，解得：{k =−1b =6，∴直线DF 的表达式为y ＝﹣x +6． （3）延长FD 交y =8x 图像于点G ，{y =−x +6y =8x ，解得：{x 1=4y 1=2，{x 2=2y 2=4，∴G （2，4）， 由（1）得EF ＝BO ＝2HO ＝4，∴S △EFG =12EF •G y =12×4×4＝8．。
2022年全国各地中考数学真题分类解析汇编05二元一次方程
2022年全国各地中考数学真题分类解析汇编05二元一次方程二元一次方程(组)及其应用一、选择题1．（2022新疆，第8题5分）“六一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装某套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（）A．C．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组分析：设购买A型童装某套，B型童装y套，根据超市用3360元购进A，B两种童装共120套，列方程组求解．解答：解：设购买A型童装某套，B型童装y套，由题意得，故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．2．（2022温州，第9题4分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有某人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（）A．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设男生有某人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．解答：解：设男生有某人，女生有y人，根据题意得，．B．C．D．．B．D．故选：D．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．3.（2022毕节地区，第13题3分）若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（）A．2考点：分析：合并同类项根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．解答：解：若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，，解得，0B．C．﹣11D．mn=20=1，故选：D．点评：本题考查了合并同类项，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键．4.（2022襄阳，第8题3分）若方程m某+ny=6的两个解是为（）4，2A．考点：二元一次方程的解．专题：计算题．分析：将某与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．解答：解：将，分别代入m某+ny=6中，得：，B．2，4C．﹣4，﹣2D．﹣2，﹣4，，则m，n的值①+②得：3m=12，即m=4，将m=4代入①得：n=2，故选A点评：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5.（2022襄阳，第9题3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为某cm，则可列方程为（）某（20+某）=64A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：本题可根据长方形的周长可以用某表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．解答：解：设长为某cm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为=（20﹣某）（cm），得某（20﹣某）=64．故选B．点评：本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．6.（2022孝感，第5题3分）已知值是（）1A．考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：将某与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值．解答：解：将某=﹣1，y=2代入方程组得：，B．23C．4D．是二元一次方程组的解，则m﹣n的B．某（20﹣某）=64C．某（40+某）=64D．某（40﹣某）=64解得：m=1，n=﹣3，则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．故选D点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5某－y＝5，7．（2022·台湾，第6题3分）若二元一次联立方程式1的解为某＝a，y＝b，则y＝某5a＋b之值为何？()5A．475B．1331C．2529D．25分析：首先解方程组求得某、y的值，即可得到a、b的值，进而求得a＋b的值．某＝24，5某－y＝5，解：解方程组1得：5y＝某，5y＝．24255则a＝，b＝，2424305则a＋b＝＝．244故选A．点评：此题主要考查了二元一次方程组解法，解方程组的基本思想是消元，正确解方程组是关键．8.（2022滨州，第12题3分）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳同学花了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于0.8元）（）A．6考点：分析：二元一次方程的应用设购买某只中性笔，y只笔记本，根据题意得出：9.2＜0.8某+1.2y≤10，进而求出即可．解答：257B．8C．9D．解；设购买某只中性笔，y只笔记本，根据题意得出：9.2＜0.8某+1.2y≤10，当某=2时，y=7，当某=3时，y=6，当某=5时，y=5，当某=6时，y=4，当某=8时，y=3，当某=9时，y=2，当某=11时，y=1，故一共有7种方案．故选：B．点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，得出不等关系是解题关键．9．（2022年山东泰安，第7题3分）方程5某+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是（）A．某+2y=1B．3某+2y=﹣8C．5某+4y=﹣3D．3某﹣4y=﹣8分析：将某与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5某+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3某﹣4y=﹣8．故选D点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．二.填空题1.（2022福建泉州，第11题4分）方程组考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程组利用加减消元法求出解即可．的解是．。
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类④
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A （m，1），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y 轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．五．全等三角形的判定与性质（共1小题）5．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED ＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．六．菱形的性质（共1小题）6．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．七．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．八．圆的综合题（共1小题）8．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC 的外接圆交于点D．（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求证：AB：AC＝BF：CF；（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）九．作图—复杂作图（共1小题）9．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B 的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x ＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 组和第 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 人；（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 名，“D烹饪与营养”的男生有 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④参考答案与试题解析一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据题意，得：，解得：≤m≤．∵m为整数，∴m＝14，15，16．∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．∵A型机床的单价低于B型机床的单价，∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．【答案】（1）反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），一次函数为y＝﹣x+3；（2）n＝﹣．【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1），∴m＝﹣4，a＝4，∴反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），把A、B的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+3；（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，∴四边形APQB是平行四边形，∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），∵点Q在y＝﹣上，∴5+n＝，解得n＝﹣．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A （m，1），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象见解答；（2）x＜﹣2或0＜x＜4；（3）点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，∴1＝，n＝＝﹣2，解得：m＝4，∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象如图所示：（2）由图可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，在y＝x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，∴D（0，﹣1），当y＝0时，得x﹣1＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∵P（0，a），A（4，1），∴PD＝|a+1|，∵S△APC＝，∴|a+1|•（4﹣2）＝，解得：a＝或﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y 轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）当m为时，四边形CDNP是平行四边形；（3）存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为或．【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，4），设抛物线的解析式为，把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝＝﹣x2+3x+4；（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），∴PN＝﹣m2+3m+4，当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，∴D（0，m2﹣3m）N（m，0），设直线MN的解析式为，把N（m，0）代入可得，解得：k1＝3﹣m，∴直线MN的解析式为y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为，∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，解得m1＝（不合题意，舍去），m2＝；∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形；（3）存在，理由如下：∵对称轴为x＝，设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），∴M点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），①如图1，∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，∴E（，），又点E在直线BC：y＝﹣x+4，代入得：＝﹣+4，解得：m＝或（舍去），故此时m的值为．②如图2，设E点坐标为（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∵MN＝2ME，∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，联立①②并解得：m＝（舍去）或，综上所述，m的值为或．五．全等三角形的判定与性质（共1小题）5．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED ＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA；（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，∴EF＝ED＝2，∴AF＝，∴S△AED＝ED•AF＝．六．菱形的性质（共1小题）6．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．【答案】（1）S＝（0≤x≤4），（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2．【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，∵顶点A的坐标为（2，2），∴OA＝，OG＝2，AG＝2，∴cos∠AOG＝＝，∴∠AOG＝60°，∵四边形OABC是菱形，∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OD＝x，∵DF∥OB，∴△CDF∽△COB，∴，∵A（2，2），AO＝4，则B（6，2），∴OB＝，∴＝，∴DF＝（4﹣x），∴S＝＝，∴S＝（0≤x≤4），（2）∵S＝＝（0≤x≤4），∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．七．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）15﹣3．【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥AB，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC＝，∴BF＝＝16，∴BD＝＝20，∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，∴＝12，∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴，∴，解得EO＝15﹣3，∴⊙O的半径为15﹣3．八．圆的综合题（共1小题）8．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC 的外接圆交于点D．（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求证：AB：AC＝BF：CF；（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）【答案】见解答．【解答】（1）解：过点F作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线，∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH，∵S△ABF，S△ACF，∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，∵S△ABF＝，S△ACF＝，∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．∴AB：AC＝BF：FC，（3）证明：连接DB、DC，如图，∵，，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴BF•CF＝AF•DF，∵，∴∠FBA＝∠ADC，又∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC，∴，∴AB•AC＝AD•AF，∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF2+AF•DF，∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．（4）连接BE，如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠FBE，∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，∴△ABD∽△BFD，∴，∴DB2＝DA•DF，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝+，∴∠BED＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DE2＝DA•DF，九．作图—复杂作图（共1小题）9．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，求证：CE＝AB，证明：延长CE到D，使得DE＝CE，∵CD是AB边上的中线，∴BE＝AE，∴四边形ACBD是平行四边形，∵∠BCA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB．一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B 的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，则四边形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，设PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD＝≈m，∴BE＝AD＝m，∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，在Rt△PCE中，tan C＝tan56.31°＝，解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x ＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 ③ 组和第 ③ 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 28% ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 560 人；（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．【答案】（1）③，③，28%，560；（2）估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；（3）①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．【解答】解：（1）∵第③组的人数最多，∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%；2000×28%＝560（人），即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；故答案为：③，③，28%，560；（2）由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时，∴＝3.4（小时），答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；（3）一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生的人数的百分比为28%，∵28%＜40%，∴此次开展活动不成功；建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．一十二．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 20 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 2 名，“D烹饪与营养”的男生有 1 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20；2；1；（2）见解答；（3）．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），所以本次调查中，一共调查了20名学生，“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20﹣3＝2（名），“D烹饪与营养”的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）；故答案为：20；2；1；（2）选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为：×100%＝10%，补全上面的条形统计图和扇形统计图为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．。
2022年吉林省中考数学试题及答案解析
2022年吉林省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1.吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为( )A.B.C.D.2.要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为( )A. +B. −C. ×D. ÷3.y与2的差不大于0，用不等式表示为( )A. y−2>0B. y−2<0C. y−2≥0D. y−2≤04.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为( )A. a>bB. a<bC. a=bD. 无法确定5.如图，如果∠1=∠2，那么AB//CD，其依据可以简单说成( )A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 同位角相等，两直线平行6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.−√2的相反数是______．8.计算：a⋅a2=______．9.篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要______元．(用含m的代数式表示)10.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音ℎú，是古代一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为______．11.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为______度．(写出一个即可)12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______．13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC，连接EF.边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14若AC=10，则EF=______．14.如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE=65°，∠COD=70°，则BC⏜与DE⏜的长度之和为______(结果保留π)．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD．16.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m(A)−6(m+1)．解：m(A)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=______ ．17.长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．19.刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式．(2)当V=10m3时，求该气体的密度ρ．21.动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)22.为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：(以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》)×100%.例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万注：城镇化率=城镇常住人口总人口人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：(1)2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是______%.(2)2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为______万人．(只填算式，不计算结果)(3)下列推断较为合理的是______(填序号)．①2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．23.李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：(1)加热前水温是______℃.(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．(3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是______℃.24.下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线AC−CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为______cm.(用含x的代数式表示)(2)当点M落在边BC上时，求x的值．(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)经过点A(1,0)，点B(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2−m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点答案解析1.【答案】C【解析】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2.【答案】A【解析】解：当填入加号时：−1+3=2；当填入减号时−1−3=−4；当填入乘号时：−1×3=−3；，当填入除号时−1÷3=−13>−3>−4，∵2>−13∴这个运算符号是加号．故选：A．分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据题意得：y−2≤0．故选：D．不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4.【答案】B【解析】解：∵b>0，a<0，故选：B．由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5.【答案】D【解析】解：∵∠1=∠2，∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)，故选：D．由平行的判定求解．本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性质．6.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=4，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3<r<5，故选：C．由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．7.【答案】√2【解析】解：−√2的相反数是√2．故答案为：√2．根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变−√2前面的符号，即可得−√2的相反数，再与每个选项比较得出答案．本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8.【答案】a3【解析】解：a⋅a2=a1+2=a3．故答案为：a3．根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m⋅a n=a m+n计本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9.【答案】10m【解析】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要10m 元， 故答案为：10m ．根据题意直接列出代数式即可．本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10.【答案】{5x +y =3x +5y =2【解析】解：设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y 斛， 由题意得：{5x +y =3x +5y =2，故答案为：{5x +y =3x +5y =2．根据题意列出二元一次方程组即可．本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11.【答案】72(答案不唯一)．【解析】解：360°÷5=72°，则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合， 故答案为：72(答案不唯一)．先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的关键．12.【答案】(2,0)【解析】解：由图象可得OB 与直径重合， ∵BO ⊥AC ， ∴OA =OC ， ∵A(−2,0)， ∴C(2,0)， 故答案为：(2,0)．由图象可得OB 与圆的直径重合，由BO ⊥AC 及垂径定理求解．本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13.【答案】52【解析】解：在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，AC=BD=10，∵AF=14AC，∴AF=12AO，∴点F为AO中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF=12OD=14BD=52．故答案为：52．由AF=14AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14.【答案】13π【解析】解：∵∠BAE=65°，∴∠BOE=130°，∴∠BOC+∠DOE=∠BOE−∠COD=60°，∴BC⏜+DE⏜的长度=60360×2π×1=13π，故答案为：13π.由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．15.【答案】证明：在△ABD与△ACD中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD．【解析】由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD= CD．本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16.【答案】m2−6【解析】解：由题知，m(A)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=m2−6，∵m2+6m=m(m+6)，∴A为：m+6，故答案为：m2−6．根据题意合并同类项即可．本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17.【答案】解：由题意作树状图如下：．由图知，两人都决定去长白山的概率为19【解析】根据题意作图得出概率即可．本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18.【答案】解：(1)作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD//BC且AD= BC，∴四边形ABCD为矩形，符合题意．【解析】(1)作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边形．本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．19.【答案】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得135x+20=120x，即135x=120(x+20)，解得x=160，经检验x=160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【解析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20.【答案】解：(1)设ρ=kV，将(4,2.5)代入ρ=kV 得2.5=k4，解得k=10，∴ρ=10V．(2)将V=10代入ρ=10V得ρ=1．∴该气体的密度为1kg/m3．【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)将V=10代入函数解析式求解．本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21.【答案】解：∵AB =34cm ，BC =70cm ，∴AC =AB +BC =104cm ， 在Rt △ACE 中，sin∠BCD =AEAC ，∴AE =AC ⋅sin∠BCD =104×0.85≈88cm ． 答：点A 到CD 的距离AE 的长度约88cm ．【解析】由AB ，BC 的长度求出AC 长度，然后根据sin∠BCD =AEAC 求解． 本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22.【答案】62.71 141260×64.72% ①【解析】解：(1)∵2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%， ∴中为数是62.71%， 故答案为：62.71．(2)∵2021年年末城镇化率为64.72%， ∴常住人口为141260×64.72%(万人)， 故答案为：141260×64.72%．(3)∵2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升， ∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%． 故答案为：①．(1)将2017−2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数． (2)根据城镇化率=城镇常住人口总人口×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%(万人).‘(3)由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．23.【答案】20 65【解析】解：(1)由图象得x =0时y =20， ∴加热前水温是20℃， 故答案为：20．(2)设乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y =kx +b ， 将(0,20)，(160,80)代入y =kx +b 得{20=b80=160k +b，解得{k=38b=20，∴y=38x+20．(3)甲水壶的加热速度为(60−20)÷80=12℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为(80−20)÷12=120s，将x=120代入y=38x+20得y=65，故答案为：65．(1)由图象x=0时y=20求解．(2)通过待定系数法求解．(3)由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入(2)中解析式求解．本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24.【答案】12BC⋅ℎDF△DFM AEDF73【解析】(1)证明：∵S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ′，∴S△ABCS△DBC =ℎℎ′．(2)证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM= 90°．∵AE//DF，∴△AEM∽△DFM，∴AEDF =AMDM，由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC =AEDF，∴S△ABCS△DBC =AMDM．故答案为：DF，△DFM，AEDF．(3)作DK//AC交l2于点K，∵DK//AC ， ∴△ACE∽△DKE ，∵DE =1.5，AE =5−1.5=3.5， ∴AE DE =3.51.5=73， 由【探究】(2)可得S △ABCS △DBC=AE DE =73．故答案为：73．(1)由S △ABC =12BC ⋅ℎ，S △DBC =12BC ⋅ℎ′即可证明．(2)由AE//DF 可得△AEM∽△DFM ，再由相似三角形的性质可得AE DF =AMDM ，然后结合【探究】(1)结论可得S △ABCS△DBC=AE DF．(3)作DK//AC 交l 2于点K ，由【探究】(1)(2)可得S △ABCS △DBC=AEDE ，进而求解．本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．25.【答案】2√3x【解析】解：(1)作PE ⊥AC 于点E ，在Rt △APE 中，cos30°=AEAP ， ∴AE =AP ⋅cos30°=√3x ， ∵∠APQ =120°，∴∠AQP=180°−120°−30°=30°，∴AP=PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ=2√3x(cm)，故答案为：2√3x.(2)如图，∵∠APQ=120°，∴∠MNB=∠PQB=60°，∵∠B=60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP=PQ=PN=MN=NB，即AP+PN+NB=3AP=AB，∴3×2x=6，解得x=1．(3)当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A=30°，AQ=2√3x，AQ=√3x，∴QF=12∵PN=PQ=AP=2x，∴y=PN⋅QF=2x⋅√3x=2√3x2．当1<t≤3时，QM，NM交BC于点H，K，2∵AB =6cm ，∠A =30°， ∴AC =√32AB =3√3cm ，∴CQ =AC −AQ =3√3−2√3x ， ∴QH =2√3CQ =2√3(3√3−2√3x)=6−4x ，∴HM =QM −QH =2x −(6−4x)=6x −6， ∵△HKM 为等边三角形， ∴S △HKM =√34HM 2=9√3x 2−18√3x +9√3，∴y =2√3x 2−(9√3x 2−18√3x +9√3)=−7√3x 2+18√3x −9√3． 当32<x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ =PB =AB −AP =6−2x ， ∴y =√34PB 2=√34(6−2x)2=√3x 2−6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1<x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32<x ≤3)．(1)作PE ⊥AC 于点E ，由含30°角的直角三角形可得AE 的长度，再由等腰三角形的性质可得AQ 的长度．(2)作出点M 落在边BC 上的图象，由AP +PN +NB =AB 求解． (3)分类讨论0≤x ≤1，1<t ≤32，32<x ≤3并作出图象求解．本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26.【答案】解：(1)将(1,0)，(0,3)代入y =x 2+bx +c 得{0=1+b +c 3=c，解得{b =−4c =3，∴y =x 2−4x +3． (2)令x 2−4x +3=0， 解得x 1=1，x 2=3，∴抛物线与x 轴交点坐标为(1,0)，(3,0)， ∵抛物线开口向上，∴m <1或m >3时，点P 在x 轴上方． (3)①∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1， ∴抛物线顶点坐标为(2,−1)，对称轴为直线x =2， 当m >2时，抛物线顶点为最低点， ∴−1=2−m ， 解得m =3，当m ≤2时，点P 为最低点，将x =m 代入y =x 2−4x +3得y =m 2−4m +3， ∴m 2−4m +3=2−m ， 解得m 1=3+√52(舍)，m 2=3−√52．∴m =3或m =3−√52．②当m =3时，点P 在x 轴上，AP =2， ∵抛物线顶点坐标为(2,−1)， ∴点Q 坐标为(2,−1)或(2,1)符合题意．21 当m =3−√52时，如图，∠QPA =90°过点P 作y 轴平行线，交x 轴于点F ，作QE ⊥PF 于点E ，∵∠QPE +∠APF =∠APF +∠PAF =90°，∴∠QPE =∠PAF ，又∵∠QEP =∠PFA =90°，QP =PA ， ∴△QEP≌△PFA(AAS)，∴QE =PA ，即2−m =m 2−4m +3，解得m 1=3+√52(舍)，m 2=3−√52．∴PF =2−3−√52，AF =PE =1−3−√52， ∴EF =PF +PE =2−3−√52+1−3−√52=√5， ∴点Q 坐标为(2,√5). 综上所述，点Q 坐标为(2,−1)或(2,1)或(2,√5).【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)令y =0，求出抛物线与x 轴交点坐标，结合图象求解．(3)①分类讨论点P 在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P 为最低点时m 的值．②根据m 的值，作出等腰直角三角形求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)分式与分式方程(62题)(解析版)
分式与分式方程一、单选题【答案】A【分析】方程两边都乘以()21x x −，从而可得答案．【详解】解：∵3121x x =−，去分母得：()312x x−=，整理得：332x x −=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．【分析】设原计划平均速度为x km/h ，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．【详解】解：设原计划平均速度为x km/h ，由题意，得：()2402401150%x x−=+，即：24024011.5x x −=；故选：B.【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程：11111 424x⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输()5x−吨，则75505x x=−．故选：B.【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．【答案】D【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：8004004 1.2x x−=故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【答案】A【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根． 【详解】去分母得()21x x+=，解方程得2x =−，检验:2x =−是原方程的解， 故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111xx x x x x x+−=−−−−+−+()()1211xx x+−=−+()()111xx x−=−+11x=+；故选：C．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修()1x+千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修()1x+千米，依题意得912112x x−=+，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．【答案】D【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，由题意得264026402602x x=−⨯，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【答案】A【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为()+20x元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为()+20x元，由题意可得：1500800520x x−= +，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列方程为：505011.26x x=+，故答案为：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．13．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均【答案】A【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为()140%x+千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为()140%x+千米/小时，∴()10710140%60x x−=+，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【答案】C【详解】解：原式5a=；故选：C．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．【答案】B【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．【详解】解：13311xx x+=−−，两边同乘()1x−去分母，得()1313x x+−=−，【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．【答案】C【分析】设6210元购买椽的数量为x 株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为6210x ，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为6210x ，由题意得：()621031x x −=，故选：C ．【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．【答案】C【分析】解分式方程求出22mx −=，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：2m x x +−=−，解得：22mx −=，∵分式方程122m xx x +=−−的解是非负数， ∴202m−≥，且222m x −=≠，∴2m ≤且2m ≠−，【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键．【答案】B【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a −−++===，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案. 【详解】解：422x x +−+()()4222x x x ++−=+22x x =+. 故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案． 【详解】解：2221121−⎛⎫−÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤−+−÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +−⋅+−=21x x +， ∵210x x −−=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．【答案】A【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m 的范围． 【详解】解：方程两边都乘以()1x −，得：1x x m +−=−，解得：12mx −=，∵10x −≠，即：112m−≠， ∴1m ≠−，又∵分式方程的解为非负数， ∴102m−≥，∴1m £，∴m 的取值范围是1m £且1m ≠−， 故选：A ．二、填空题22．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人． 【答案】3【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．【详解】设第一组有x 人，则第二组有(6)x +人，根据题意，得：12366x x =+ 去分母，得12(6)36x x +=，解得，3x = 经检验，3x =是原方程的根． 故答案为：3.【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．【答案】3x =【分析】先去分母，左右两边同时乘以()1x +，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．【详解】解：去分母，得：39x =， 化系数为1，得：3x =． 检验：当3x =时，10x +≠， ∴3x =是原分式方程的解． 故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．【答案】2【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：2211xx x −−−2221x x −==−；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】3【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +−−+−+()()31244xx x −=−+34x =+5x =333145493∴===++x故答案为：3.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．【答案】3−【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x+=，解得：3x =−，经检验，3x =−是原方程的解， 故答案为：3−．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【答案】4x =【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x 的分式方程1144mx x −=−−（m 为常数）有增根，∴40x −=，解得4x =， 故答案为：4x =．【答案】2x −【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：2222142442x x x x x x x x x +−−⎛⎫−÷ ⎪−−+−⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +−−−−=⨯−−()()2222442x x x x x x x x −−−+=⨯−−12x =−；故答案为：2x −．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】4x =【分析】根据解分式方程的步骤计算即可． 【详解】去分母得：()220x x −−=，解得：4x =，经检验4x =是方程的解， 故答案为：4x =．【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．【答案】4x =【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x 的值． 【详解】解：216124x x x ++=+−，方程两边同时乘以()()22x x +−得，()()2622x x x x −++=+−，2244x x ∴+=−，2280x x ∴−−=，()()420x x ∴−+=，4x ∴=或2x =−．经检验2x =−时，240x −=，故舍去．∴原方程的解为：4x =． 故答案为：4x =．【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．三、解答题【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简． 【详解】解：21211x x x x +−−−2211x x x −+=−()211x x −=−1x =− 【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则．【答案】3a −【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解：21123926a a a a −⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()()()()()312333323a a a a a a a ⎡⎤−−=+÷⎢⎥+−+−+⎢⎥⎣⎦()()()223323a a a a a −−=÷+−+()()()232332a a a a a +−=⋅+−−23a =−【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．【答案】1x +，4【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()()21111x x x x x +−=÷−−111x x x x −=⨯−+1x x =+ ∵3x = ∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．【分析】方程两边同时乘以x ﹣2，再解整式方程得x ＝4，经检验x ＝4是原方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以x ﹣2得，25333(2)x x x −=−−−， 解得：4x =检验：当4x =时，20x −≠， ∴4x =是原方程的解， ∴原方程的解为x ＝4．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．【答案】2x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x −⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭()()2211111x x x x x x +−−⎛⎫−÷ ⎪−−−⎝⎭=()()()12122x x x x x =−−⋅−+−12x =+，∵1x ≠，2±， ∴把=1x −代入得：原式1112==−+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)一；(2)见解析【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：22a b ab b a a a ⎛⎫−−÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a a ⎛⎫−−=÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a ⎛⎫−−+=÷ ⎪⎝⎭故第一步错误． 故答案为：一．（2）解：22a b ab b a a a ⎛⎫−−÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a a ⎛⎫−−=÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a −−+=÷()2a b a b a a −−=÷ ()2a b a a a b −=⨯−1a b =−．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．【答案】12a −，当1a =−时，原式为3−；当0a =时，原式为12−．【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：234111a a a −⎛⎫+÷⎪−−⎝⎭()()2213111a a a a a a +−−⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭ ()()21122a a a a a +−=⋅−+− 12a =−，当a 取2−，1，2时分式没有意义， 所以1a =−或0， 当1a =−时，原式11123==−−−；当0a =时，原式11022==−−．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．【答案】a b +【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．【详解】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +−−=−⋅+−+−22a b a b a ba b +−=−++4b a b =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】3a +；2−【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a −+⎛⎫÷++ ⎪−−⎝⎭ ()()()23225222a a a a a a −+−⎡⎤=÷+⎢⎥−−−⎣⎦()2234522a a a a −−+=÷−−()()()232233a aa a a −−=⋅−+−33a a −=+，解不等式112a −≤得：3a ≤，∵a 为正整数， ∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a −≠， ∴2a ≠， ∵当3a =时，552320223a a ++=++=−−，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132−==−+． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】1a −；1−【详解】解： 221422211a a a a a a −−⋅−−−+−()()()22212211a a a a a a +−−=⋅−−−−2211a a a +=−−−1aa =−；当12a =时，原式12112=−1=−． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】1;3x +【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】211121x x x x ⎛⎫−÷ ⎪+++⎝⎭()211x x x x +=⨯+1x =+； 当2x =时， 原式213=+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．【答案】2x +，23．【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：24242x x ÷−−()()42222x x x −=⋅+−22x =+， 当1x =时，原式22123==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【答案】2x −，1【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()1111122x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪+++−⎝⎭()()21122x x x x x ++=⋅++−12x =−， 当3x =时，原式1132==−．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【答案】2x =【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为()131121x x +=−−．方程两边同乘()21x −，得()2213x +−=．解得32x =． 检验：当32x =时，()210x −≠．∴原方程的解是32x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】3a +【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把3=a 代入化简结果进行计算即可．【详解】解：222442342a a a a a a −+−÷+−+2(2)(2)3(2)(2)2a a a a a a −+=⨯++−−3a =+当3=a 时，原式33=+【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】11x −，【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x 的值代入，根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：22311213x x x x x x x +−⋅+−++()()211331x x x x x x −=−+⋅++()111x x x =+−()111x x x +−=−11x =−，当1x ===．【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．【答案】=1x −【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：211x x =−去分母得，21x x =− 移项，合并得，=1x − 检验：当=1x −时，()120x x −=≠，所以原分式方程的解为=1x −．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【答案】2xy；【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：222222322x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪−−−⎝⎭()22322xy x y x y x x y −+−=⨯−()()()2xyx y x y x y x y −+=⨯+−=2xy ， 当1x =+，y =原式)12==．【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】42x y +，6【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将230x y +−=变形整体代入计算即可求解．【详解】解：原式()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+−−+=+⨯⎢⎥−+−+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x −+++−=⨯−+()()()()242x y x y x xyx y x y x −++=⨯−+42x y =+；由230x y +−=，得到23x y +=， 则原式()226x y =+=．【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解． 50．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min ，求乙同学骑自行车的速度． 0.2千米/分钟．【分析】设乙同学骑自行车的速度为x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟， 根据题意得：1212101.2x x −=，解得：0.2x =．经检验，0.2x =是原方程的解，且符合题意， 答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．【答案】1x +，2【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．【详解】解：原式22(1)(1)3(1)114x x x x x x −++⎡⎤=−⋅⎢⎥++−⎣⎦2224(1)14x x x x −+=⋅+−1x =+， ∵1,2x x ≠−≠， 当1x =时 原式112=+=．【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．【答案】1x x −，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x −+⎛⎫⋅+ ⎪−⎝⎭()()()21111x x x x x −+=⋅+−1x x −=， 当1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式2122−==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．解：原式x x =+ (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③； （2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x ⎡⎤−+−=+⋅⎢⎥+−+−⎣⎦ ()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++−−−+()()()()211112x x x x x x =⋅+−+−2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x −−=⋅+⋅+− ()()()()111111x x x x x x x x x x =⋅+⋅+−+−−+11x x =−++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】2x −，3【分析】先计算括号内的减法运算，再计算除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：原式()()3241222x x x x x x ++−−=÷+−+()()32223x x x x x ++=⨯+−+12x =−，当5x =时，原式11523==−.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则和混合运算顺序是解题的关键．【答案】21a a a −−，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=−÷ ⎪−⎝⎭−−−()2222111a a aa a a =⋅−−−−21a a a =−−；∵220,10a a≠−≠， ∴0,1a a ≠≠±， 23==，∴1a −<<0,1,2， ∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221−−==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．【答案】244a a −+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a −+=的值，最后将2430a a −+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a −+−⎛⎫÷− ⎪−−+⎝⎭ ()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+−−−=÷−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +−−−−=÷−()222244a a a a a a a −−=⨯−−+ ()22a =−244a a =−+；∵1216cos6004a a −⎛⎫−⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a −+=，∴原式2=431011a a −++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．【答案】3x −；2【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．【详解】解：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+−⎝⎭2212119x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++−⎝⎭()()()33131x x x x x x ++=++−⋅3x x =−， 当6x =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．【答案】22a −【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可． 【详解】222224422a a a a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪−+−−⎝⎭()()()222222a a a a a a a ⎛⎫−+=−⨯ ⎪ ⎪−−⎝⎭ ()()()()22222222a aa a aa a a a −−+=⨯−⨯−−()2222222a a a a +=−=−−；当2a =时， 22a ==−．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键．【答案】−xx y ，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x yx y x y x y ⎛⎫−−+−−÷ ⎪+−+⎝⎭ ()()()22x y x y x y x y x y x y x y ⎡⎤−−+=−⋅⎢⎥++−−⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y ⎛⎫−−+=−⋅⎪++−⎝⎭x x y x y x y +=⋅+−x x y =−1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =−=∴原式2221x x y ===−−．故答案为：−xx y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．【答案】11x −+，【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将1x 代入计算即可解答．【详解】解：22111x x x x x +−⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭ 22111x x x x x +−⎛⎫=−⋅ ⎪−⎝⎭()()()()1111x x x x xx x −+−=⋅+−11xx x ⎛⎫=−⋅⎪+⎝⎭ 11x =−+．当1x 时，原式==． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．【答案】1m m +，原式=【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出1m ，最后代值计算即可．【详解】解：2222111m m m m m −+⎛⎫−÷ ⎪+−⎝⎭()()211121m m m m m −+−=÷−+()()21111m m m m m −=+−−⋅1m m =+，∵tan6011m =︒−=，∴原式==． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．【答案】(1)A 型充电桩的单价为0.9万元，B 型充电桩的单价为1.2万元(2)共有三种方案：方案一：购买14个，购买B 型充电桩11个；方案二：购买A 型充电桩15个，购买B 型充电桩10个；方案三：购买A 型充电桩16个，购买B 型充电桩9个；方案三总费用最少． 【分析】（1）根据“用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解【详解】（1）解：设B 型充电桩的单价为x 万元，则A 型充电桩的单价为()0.3x −万元，由题意可得：15200.3x x =−,解得 1.2x =，经检验： 1.2x =是原分式方程的解，0.30.9x −=，答：A 型充电桩的单价为0.9万元，B 型充电桩的单价为1.2万元；（2）解：设购买A 型充电桩a 个，则购买B 型充电桩()25a −个，由题意可得：()0.9 1.225261252a a a a ⎧+−≤⎪⎨−≥⎪⎩，解得405033a ≤≤， ∵a 须为非负整数， ∴a 可取14，15，16， ∴共有三种方案：方案一：购买A 型充电桩14个，购买B 型充电桩11个，购买费用为0.914 1.21125.8⨯+⨯=（万元）； 方案二：购买A 型充电桩15个，购买B 型充电桩10个，购买费用为0.915 1.21025.5⨯+⨯=（万元）； 方案三：购买A 型充电桩16个，购买B 型充电桩9个，购买费用为0.916 1.2925.2⨯+⨯=（万元）， ∵25.225.525.8<< ∴方案三总费用最少．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．。
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（2022•北部湾中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）
（2022•山西中考）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【解析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得200
x =200
x+0.6
×4，解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元.。