4升5-8第八讲：容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题

一、导入

文氏图

文氏图，也叫“维恩图”,是由英国著名数学家 Venｎ发明的.

维恩(公元 1834 年8 月 4 日─公元 19２3 年４月４日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他 188３年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会

员．

维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线(圆或更复杂的图形),将平面分为许多间隔.利用这种图表,维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见,他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨(Lｅibｎｉz）已系统地运用过这类逻辑图,但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外,维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献,他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》,在 1９世纪末２0 世纪初曾享有很高的声誉.

除了数学以外,维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在１909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.

什么是容斥原理?

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题,这样的问题在生活中就有不少，

比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子,指的是带壳的瓜子,并非真的吃到肚子里一斤,因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳,用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁,另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.

比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种,已知有７个人爱喝茶,10 个人爱喝咖啡,那能不能就说办公室里有 1７个人呢?显然不能,因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次,计算人数的时候要把这一部分减去才行．

比如,如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 −３ = 1４人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题,即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图,这样的示意图又叫做文氏图,下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．

两个量之间的重叠

例1、某班有３4名同学参加了学校的运动会,其中有17名参加了跳绳,有2０名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人?

如右图所示，如果要计算三个部分的总数,直接计算 A+B

就会算多了,而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了.

上述分析总结成公式就是：

这个公式就是两个对象的容斥原理．

１7＋2０-３4

=37－３４

＝3（人）

答:即参加跳绳又参加拔河的同学有３人。

练一练

1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀,其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人.语文、数学都优秀的有多少人？

2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有3３人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又１5 人，问全班又多少人?

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会的有８人,这个文艺组一共有多少人?

挑战思维

1、为了参加一次竞赛，某班46人中,每人至少参加一项。其中有２0人参加语文兴趣小组,，参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有１0 人,那么参加数学兴趣小组的有多少人?

三个量之间的重叠

1、某单位元旦期间组织旅游,每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有4２人,想去桂林的有４4人,想去港澳的有36人,既想去海南又想去桂林的有1２人,

既想去桂林又想去港

澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人,三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人?

(4２=44+3６)-１2-8-10+4

=１2２-(12＋８＋１０）+4

＝12２－30＋4

=96（人）

答：这个单位一共有9６人。

方法总结:

练一练

1、学校对15０名大学生做关于《业余生活》的调查，统计到喜欢看电影的有63人，喜欢玩球的有66人，喜欢读书的有54人，既喜欢看电影又喜欢玩球的有18人，既喜欢玩球又

喜欢读书的有12人，既喜欢看电影又喜欢读书的有15人.问：三种都喜欢的有多少人？

2、在校园艺术活动中，五(2）班的同学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人,参加声乐比赛的有2０人,两项都参加的有12人，两项都没有参加的有１０人。五（2）班一共有多少人？

挑战竞赛

3、学校举行运动会。四年级共有6０名同学，其中参加百米赛跑的有21人,参加投掷的有26人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人,即参加百米有参加投掷的有1４人，三项都参加的有５人，三项都没有参加的有１２人，问参加跳远的有多少人？

重叠问题中的极值问题

1、40人参加某次晚会,其中２8 人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？

最多：２5人

最少:（2８＋25)－40＝13人

答：最多２5 人最少1３ 人。

方法总结:

练一练

1、某校100名学生中，爱好音乐的有56人,爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美术的最多有多少人?最少有多少人?

2、某班3０ 名同学。在一项测试中，答对一题的有1９ 人,答对2题的14 人,那么两题都答对的最多有多少人?最少有多少人?