计算机控制系统讲解

④串联特性，变换前后，稳定性不变, 稳态增益不变。 ⑤变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相 同的阶次，自动补上(z+1)p的零点。 并有：
D(e jT )
s
2
D(s)
s 0
D( z)
z 1
0
作用：将全频带特性压缩到0 s/2范 围内，增加截止频率，消除混叠
(3) 应用
② 一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）
由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用的较少。
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2. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
实质：将连续域中的微分 用一阶向后差分替换
dc(t ) / dt
t kT
[c(k ) c(k 1)]/ T
1 z 或： 1 sT
s与z之间的变换关系： （直接代入）
当前面积＝步长＊第k－1步的输入值
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3.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关 系 映射一一对应，无混 叠 ②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定：z域单位 圆对应s域一个圆，不 是全部 稳态增益不变
D(s)
s 0
z 1 Ts
平移放大关系
j
Im [Z]
[S]
o
s

z 1 T
-1/T
o o
1 Re
D( z)
z 1
图5-8 一阶向前差分法的映射关系
(3) 应用
由于这种变换不能保证D(z)一定稳定，所以应用较少。
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4.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）
(1)离散化公式 D ( z ) D ( s )
用梯形面积代替 矩形面积
进行z变换，得 s与z之间的变换关系
(2) 带保持器的z变换 ①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
1 e sT D( z ) Z D( s ) s
这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这 种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同（其他响应不保 证），但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应 用亦较少。
第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。
8
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标：
– – – – – – 零极点个数； 系统的频带； 稳定性与稳态增益； 相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。
D(s)
等效离散
D(z)
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
z 1 T
z 1 Ts
以积分环节为例：
D( s ) C ( s ) / U ( s) 1/ s, c(t ) u (t )dt
C( z) T Tz 1 D( z ) U ( z) z 1 1 z 1
c(k ) c(k 1) Tu(k 1)
• 使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应 用较为普遍，选好离散化的采样周期。 • 主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
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5. 预修正双线性变换
解决“Tustin变换产生频率轴非线性畸变 ”问题。 预修正：要求在关键频率1上， D( j1 ) D(e j T ) 其他频率上不保证，仍有畸变 应用：结构陷波器 A
DT 2 A tan T 2
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4.双线性变换法
③频率畸变：双线性变换的一对一映射， 保证了离散频率特性不产生频率混 叠现象，但产生了频率畸变。

(s域)
A
T 2 tan D T 2
DT
足够小
当采样频率
A
T 2 tan D T 2
s / 2 (z域)
2 DT D T 2
2
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
3
连续域-离散化设计思想
• 在连续域内已设计好控制律D(s) • 将D(s)离散化,便于计算机编程实现 • 优点: 1)充分利用对连续系统的分析和设计经验 2)离散化方法简单,结论明确 • 工程应用广泛 飞控系统数字化,多变量复杂控制律实现 • 方法: 利用各种变换,D(s)D(z)
若使： uD ( j) uA ( j) D( j) E( j)
必有： D *( j) e jT / 2 D( j)
数字控制器
补偿器 模拟控制器
补偿器：补偿ZOH带来的相位延迟－T/2 当T较小时可以忽略其影响，可以不补偿
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连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率 第2步：考虑ZOH的相位滞后，设计数字控制算法等效传递 函数De(s)
De(s) r(t) e(t) e*(t) D*(s) u*(t) ZOH uD(t) 执行机构 被控对象 C(t)
-
测量装置
连续：
uA ( j) D( j) E( j)
*
1 离散： E ( j ) E ( j jns ) T n
u * ( j) E * ( j) D * ( j)
c(k ) c(k 1) Tu(k )
总面积＝前k-1步面积和＋当前面积 当前面积＝步长＊第k步的输入值
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2. 一阶向后差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s左半平面（0）映射到z平面为 圆心（1／2，0），半径1／2的 小圆内部。映射一一对应，频率无 混叠
4
5.1.1 设计原理和步骤
D(s) 执行机构 被控对象 测量装置
• 连续控制律D(s),离散等效控制律De(s) • 将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输 出都是模拟量，因而可等效为连续传递函数 De(s)。
5
•若De(s)=D(s),或De(j)=D(j), 则uD(t)=uA(t)
ZOH传递函数：
uD ( j ) e
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假设：
sin(T / 2) 1, T 较小, 在低频段 T / 2
• 一般动态系统有惯性，阻尼，低通特性，高频段幅值衰减大 • 信号经ZOH，保留基本频谱，高频部分衰减大 在上述假设下：
uD ( j) e
jT / 2
D *( j)E( j)
De ( j) D( j)e jT , 或De (s) (1 sT / 2)D(s)
第3步：选择合适的离散化方法，将De(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。 第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。
改进设计的途径有： – ①选择更合适的离散化方法 – ②提高采样频率 – ③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等
A
400
A
T 2 A tan D T 2
2 T
O
0.35 / T s / 4
s / 2
D
F ( j )
Z变换
s
8
2
8
400
F ( j )
O
D
F ( j )
s
1.996
7.75 38.4
D
2
8
400
幅值不变，频率轴变
频率不变，幅值有混叠
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4. 双线性变换法 (2)主要特性
s (1 z ) / T
1 z 1 T
1
系统离散： D( z ) D( s)
s
以积分环节为例： D( s) C ( s) / U ( s) 1/ s,
c(t ) u (t )dt
D( z )
C( z) T Tz U ( z ) 1 z 1 z 1
A
2 T
D( j A )
O O

(s域)
s / 4
jT

A
2 T
O
T 2 tan D T 2
(z域)
D (e
)
(z域)
s / 4
s / 2
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图5-12双线性变换的频率关系
O

图5-11双线性变换的频率关系 17
③频率畸变特性：
• 所有幅值集中在0s/2范围内，频率特性无 混叠 • 低频段 A D ，高频段畸变严重，频率特 性变形 • T（ s ），线性段变长，畸变小 例：飞机，信号在2Hz，8Hz，400Hz处， 采样频率 s 80 Tustin变换
离散化方法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法（阶跃响应不变法） • z变换法(脉冲响应不变法)
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1、与z变换相关的离散化方法
(1) z变换法（脉冲响应不变法） D( z) Z
D(s)
这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同（其他响应不 保证），但由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及 产生频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
• 直接代入
或：
T s 2 z T 1 s 2 1
• 可以获得更高的变换精度
图5-9 梯形积分法
•与一阶差分变换都属于线性变换， 是z变换的一阶近似
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4.双线性变换法
(2)主要特性
s j
① s平面与z平面映射关系 • 当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。 • 当> 0（s右半平面），映射到z平面单位圆外 。 • 当< 0（s左半平面），映射到z平面单位圆内 。 ②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定，映射一一对应 频率特性无混叠 ③频率畸变：s域虚轴映射为z域单位圆周长
经ZOH后：
1 e jT uD ( j ) E * ( j ) D * ( j ) j
1 e jT sin(T / 2) jT / 2 GZOH ( j ) T e j T / 2
jT / 2 sin(T / 2) D * ( j ) E ( j jns ) T / 2 n
图5-4 一阶向后差分法的映射关系
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4. 一阶向前差分法
将连续域中的微分用一阶 向前差分替换
dc(t ) / dt
t kT
[c(k 1) c(k )]/ T
或：
(1)离散化公式
s与z之间的变换关系： （直接代入）
变换，得 系统离散： 做 Dz (z ) D( s)
s
z 1 1 z 1 s T Tz 1
计算机控制系统
第5章 计算机控制系统的 经典设计方法
2008年4月
1
计算机控制系统的经典设计方法
• 连续域-离散化设计 在连续域设计控制律D(s)，将D(s)离散化 飞行控制律的数字化设计 • 离散域设计 将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律 卡尔曼滤波器，预测控制，离散方程 • 经典设计方法 单输入-单输出系统，SISO系统 根轨迹设计，频率域设计
2
2
2 1 e jDT 2 e jDT / 2 e jDT / 2 j A j DT T 1 e T e jDT / 2 e j DT / 2

图5-10 双线性变换映射关系
T 2 2 j sin( DT / 2) 2 j tan D T 2cos( DT / 2) T 2
s 2 z 1 T z 1
D(s) C (s) / U (s) 1/ s
c(t ) u(t )dt
0
t
c(k ) c(k 1)
T [u (k ) u (k 1)] 2
(1 z 1 )C( z) T / 2(1 z 1 )u( z)
2 ( z 1) s T ( z 1)
T T s 1 2 2 z T T 1 s 1 2 2 1
2 T j 2
j
T
z域角频率为D
s域角频率
2 ( z 1) s T ( z 1)
T T 1 2 2 2 z 2 2 T T 1 2 2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③串联特性，变换前后稳态增益不变， s0时z1。 ④T大，离散后失真大
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
D(s)
s 0
D( z)
z 1
(3) 应用
由于这种变换的映射关系有 畸变，变换精度较低。所以，工 程应用受到限制，用得较少。欧 拉积分，T0时失真小。 复杂系统仿真时可能使用