再论关于高中物理中黑洞问题计算

关于高中物理黑洞问题的计算

杨国平

（云大附中星耀校区组邮编650231）

【摘要】在实际的物理教学中，从高一开始讲授《万有量定律》时就遇到了黑洞的计算问题，进入高三开始复习时也遇到了类似估算问题。本文就高中物理中黑洞的临界半径、最大质量、最小质量和黑洞的一般质量的计算进行了归纳分析，希望同行指正。

【关键词】黑洞，临界半径，最大质量，最小质量

【正文】

一、黑洞形成条件浅解

1、星球形成黑洞的临界条件

设物体在星球附近的速度为v，质量为m，物体静止时的质量为m

，运动质量为

m m

=，当物体运动的速度达到或接近光速时，物体在星球附近的动能为：E k=mc2-

m 0c2=mc2- m

2

2

1

c

v

-c2，物体在星球附近的势能为：E p = -

M

G m

r

；物体要脱离该星球动能的减

少为ΔΕ

k = mc2- m

2

2

1

c

v

-c2，势能的增加ΔΕp=

M

G m

r

，要使物体不脱离该星球应满足的条

件是：ΔΕ

k ＜ΔΕ

p

，即mc2-m

2

2

1

c

v

-c2＜

M

G m

r

当v=c时，得mc2＜

M

G m

r

，即星球形成黑洞的临界条件为r=

2、黑洞的临界半径（最大半径）

（2003年高考科研试题）关于黑洞有如下一种假说：当某一定质量的类星体的半径减至足够小时，引力非常大，由于光也受引力作用，强大的引力可以使此类星体表面以光速c传播的光线都射不出去（已知任何物体的速度都不会超过光速），这一星体就可能成为黑洞。

已知质量为m 的粒子在质量为M 的星球附近的引力势能为r

GMm

-

，式中G 为万有引力恒量，r 为粒子与星球球心的距离，试估算质量为M 的均匀星球成为黑洞时的最大半径R 。

原解：将光子看成一质量为m 的小球，当光线无法射出时，光子的动能E k 必小于或等于光子的势能E p ，即

E k ≤

r GMm

……（1） E k =221mv =22

1

mc (2)

从（1）（2）可得r ≤22c GM

即该星体能成为黑洞的最大半径R=

2

2c GM

。 这就是物理学上一般说的黑洞半径，是指它的引力半径，或称史瓦西半径，也称为黑洞的视界半径。它并不等于黑洞的真实表面，而只表示视线无法进入的范围而已。这样的黑洞又称史瓦西黑洞，是一种不旋转的黑洞，呈正球体，中心有奇点。以下研究的黑洞都是指史瓦西黑洞。

上述史瓦西半径的退证过程，有两个错误，一是光子的动能不能是221

mc ，而应该是2mc ；

二是描述引力的不应该是万有引力，而应该是广义相对论。

修正解法：光子在星球附近的动能E k =h v ，势能E P =r

GMm

-，当光线无法射出时，光子的动能的减少必小于或等于光子的势能的增加，即h v ≤r

GMm

……（1） 根据爱因斯坦质能方程可求得光子的质量 m=2c

hv

……（2） 从（1）（2）可得r ≤

2c GM ，即星球能成为黑洞的最大半径R=2c

GM

。 3、临界黑洞的密度和临界黑洞的最小质量

依据上面修正以后的临界黑洞的半径R=

2c

GM

来看，所有半径尺度和质量大小的黑洞的存在是可能的。设一质量为M ，半径R 的黑洞，它的密度为

ρ=3M

4V R 3M π=，所以ρ=633326

M 3C 4G M 4G M 3C ππ=

临界黑洞的密度公式说明，它的密度与质量的平方成反比，即质量越小的黑洞它的密度越大。依据史瓦西半径公式知道黑洞的质量与半径成正比，临界黑洞为半径最大的黑洞，所以临界黑洞的质量也为最大，所以，临界黑洞的密度最小。

到目前为止认为除黑洞以外的所有星球所能达到的最大密度，就是中子星的密度，

18

3

10kg /m ρ=中。所以，当临界黑洞的最大密度为中子星密度时，由M =知，临界

黑洞质量的最小值为min M =

4、估算黑洞的最大质量

当恒星经过新星或超新星爆发，坍缩最后形成黑洞奇点时，体积趋于零，密度趋于无穷大。而我们目前估算的是按史瓦西半径所确定的黑洞区域，不论是最小质量，还是最大质量的估算都是基于这一区域，而对于史瓦西半径之内黑洞的具体情况，目前仍然在探索当中。估算时，将黑洞都看成史瓦西黑洞，黑洞半径取临界半径，临界黑洞的最大密度都取中子星的密度。

由M=ρV 得，34

M r 3

πρ=，当临界黑洞的密度达最大值时，黑洞的质量也为最大，已知

临界黑洞的最大密度为中子星的密度18310kg /m ρ=中，所以，黑洞的最大质量为

3max 4

M R 3

πρ=中

二、实例分析：

（魏家林主编的《2006物理高考难分训练卷》6—《万有引力定律》第21题）“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，其密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面也将被吸入，最多恰能沿黑洞表面做圆周运动。1997年8月26日，在日本举行的一次国际学术大会上，德国的Maxplanck 学会的一个研究小组宣布了他们的研究成果：根据天文观测，银河系中可能有一个黑洞，观察到距该黑洞6×1012m 远的星体正以2×106m/s 的速度绕其旋转，因黑洞引