单元评估检测(七)

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第八章 (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线-=1的焦点坐标是( ) A.(1，0)，(-1，0) B.(0，1)，(0，-1) C.(，0)，(-，0) D.(0，)，(0，-) 【解析】选=a2+b2=2+1=3，所以c=.由焦点在x轴上.所以焦点坐标为 (，0)，(-，0). 2.方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲线是( ) A.椭圆、双曲线、圆 B.椭圆、双曲线、抛物线 C.两条直线、椭圆、圆、双曲线 D.两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 【解析】选C.当m=1时，方程为x2+y2=1表示圆； 当m<0时，方程为y2-(-m)x2=1表示双曲线； 当m>0且m≠1时，方程表示椭圆； 当m=0时，方程表示两条直线. 【误区警示】本题对参数m的讨论，容易出现讨论不全造成漏解错选. 3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，则双曲线-=1的渐近线方程为( ) =±x =±2x =±4x =±x 【解析】选A.由题意=，所以a2=4b2.

故双曲线的方程可化为-=1， 故其渐近线方程为y=±x. 4.抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线-=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( ) =4y =-4y =-12x =-12y 【解析】选D.由题意，得c==3. 所以抛物线的焦点坐标为(0，3)或(0，-3). 所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y. 【加固训练】以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是( ) =3x2或y=-3x2 =3x2 =-9x或y=3x2 =-3x2或y2=9x 【解析】选+y2-2x+6y+9=0，(x-1)2+(y+3)2=1，圆心(1，-3).代入选项知D正确.

5.(2015·三明模拟)已知椭圆+=1(0为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( ) B.2 【解析】选△ABF=×2b×c=×2b×=≤=2，当且仅当b2=2时，△ABF面积的最大值为2. 【加固训练】直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( ) B.56 【解析】选A.如图所示.

由得x2-10x+9=0， 所以x1=1，x2=9. 当x1=1时，y1=-2. 当x2=9时，y2=6. 不妨令A(9，6)，B(1，-2). 因为焦点F(1，0)，由抛物线定义知 |BF|=|BQ|=2，|AF|=|AP|=10， 所以S梯形APQB=×(6+2)=48.

6.双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切，则双曲线离心率为( ) A. B. 【解析】选C.因为双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线为bx±ay=0， 依题意，直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切， 设圆心(0，2)到直线bx±ay=0的距离为d，

则d===1， 所以双曲线离心率e==2. 7.已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线+=1和-=1的离心率，则lge1+lge2

的值( ) A.大于0且小于1 B.大于1 C.小于0 D.等于0 【解析】选C.由题意，得e1=，e2=(a>b>0)，

所以e1e2==<1. 所以lge1+lge2=lg(e1e2)=lg<0. 【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的两种方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式求解. (2)依据已知条件寻找关于a，c的有关等式(不等式)，解方程(不等式)，即可求出离心率的值(范围).

8.已知P是双曲线-=1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·=0，若△PF1F2的面积为9，则a+b的值为( ) B.6 【解析】选C.由·=0得⊥，设||=m，||=n，不妨设m>n，

则m2+n2=4c2，m-n=2a，mn=9，=，解得所以b=3，所以a+b=7. 9.(2015·泉州模拟)若F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，M是椭圆上的任意一点，且△MF1F2的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M的个数为( ) B.4 D.不确定 【思路点拨】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径，然后利用面积相等确定点M的纵坐标，进而确定M点的个数. 【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得， 内切圆的半径r=， 所以△MF1F2的面积为 (|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|yM|， 即(10+6)×=6×|yM|，得|yM|=4， 所以满足条件的点M是短轴的2个端点. 10.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题： ①若p=q=0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有1个； ②pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个； ③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个. 上述命题中，正确命题的个数是( ) B.1 【解析】选D.①p=q=0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且只有1个，此点为点O，故①正确； ②正确，p，q中有且仅有一个为0，当p为0时，坐标点在l1上，分别为关于O点对称的两点，反则在l2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在； ③正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点. 【加固训练】对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题： ①若点B在线段AC上，则‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖； ②在△ABC中，∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( ) B.1 【解析】选B.取特殊值，数形结合. 在△ABC中，∠C=90°， 不妨取A(0，1)，C(0，0)，B(1，0)， 因为‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|， 所以‖AC‖=1，‖BC‖=1， ‖AB‖=|1-0|+|0-1|=2. 此时，‖AC‖2+‖CB‖2=2， ‖AB‖2=4， ‖AC‖2+‖CB‖2≠‖AB‖2； ‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖， 即命题②、③是错误的.

设如图所示共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， AC″⊥CC″，则 ‖AC‖=|x1-x3|+|y1-y3| =‖AC″‖+‖C″C‖ =‖AB′‖+‖B′C″‖+ ‖C′C″‖+‖C′C‖ =‖AB′‖+‖B′B‖+ ‖BC′‖+‖C′C‖， ‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|=‖AB′‖+‖B′B‖， ‖BC‖=|x2-x3|+|y2-y3| =‖BC′‖+‖C′C‖， 所以‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖，即命题①正确. 综上所述真命题的个数为1个. 11.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是( )

A. B. C. D. 【解析】选B.如图，设椭圆的长半轴长，半焦距分别为a1，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c， |PF1|=m，|PF2| =|F1F2|=n，

则⇒ 问题转化为：已知1<<2，求的取值范围. 由1<<2知<<1， 即<<2，因此<+1<3， 即<<3，所以<<.

12.(能力挑战题)(2015·漳州模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF|=p，则此双曲线的离心率等于( ) B.3 C. D.

【解析】选A.因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点F， 所以由题意知双曲线-=1的一个焦点为F(c，0)，所以c=>a，(1)即p>2a. 所以双曲线方程为-=1， 因为点M是双曲线与抛物线的一个交点， 若|MF|=p，则M点横坐标xM=-=，

代入抛物线y2=2px得M，

把M代入双曲线-=1， 得9p4-148p2a2+64a4=0，解得p=4a或p=a， 因为p>2a，所以p=a舍去，故p=4a.(2) 联立(1)(2)两式得c=2a，即e=2. 【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧 求离心率的值是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a，b，c的相应等式，并把等式中的a，b，c转化为只含有a，c的齐次式，再转化为含e的等式，最后求出e. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.(2015·宁德模拟)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 . 【解析】抛物线y2=4x的焦点(，0)⇒a2+b2=10. e==⇒a=3⇒b=1，即该双曲线的方程为-y2=1. 答案：-y2=1 14.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为M(x0，