第四章 2 功率

2 功率[学习目标] 1.理解功率的概念，能运用功率的定义式P ＝Wt 进行有关的计算.2.理解额定功率和实际功率，了解平均功率和瞬时功率的含义.3.根据功率的定义导出P ＝F v ，会分析P 、F 、v 三者的关系．一、功率的含义1．定义：力对物体所做的功W 与做功所用时间t 的比叫作功率．2．公式：P ＝Wt .在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W.常用单位有kW,1 kW＝1000 W.3．意义：功率是表示力对物体做功快慢的物理量． 4．平均功率、瞬时功率：(1)平均功率：一段时间内做的总功W 与这段时间t 的比，就是这段时间内的平均功率． (2)瞬时功率：只有在所取的时间非常短的情况下，Wt 才可以认为是该时刻的瞬时功率．二、额定功率1．额定功率：机械可以长时间正常工作允许输出的最大功率．发动机铭牌上的功率指的就是额定功率．2．实际运行的功率可以小于或等于额定功率而不允许长时间超过额定功率． 三、输出功率、作用力和速度之间的关系 1．关系式P ＝F v . 2．平均功率与瞬时功率(1)当物体做变速运动时，若v 为某一时刻的瞬时速度，则P 表示该时刻的瞬时功率． (2)若F 为恒力，v 为某段时间内的平均速度，则P 表示该段时间内的平均功率．3．汽车额定功率一定时，速度小、牵引力大，汽车上坡时挂低速挡、增大输出功率，以增大牵引力．1．判断下列说法的正误．(1)由公式P ＝Wt 知，做功越多，功率越大．( × )(2)力对物体做功越快，力的功率一定越大．( √ )(3)汽车爬坡时常常需要换高速挡．( × )(4)沿水平方向运动的物体，速度越大，重力做功的功率越大．( × )2．质量为1 kg 的物体做自由落体运动，经过2 s 落地，下落过程中重力的平均功率为________，落地前瞬间重力的瞬时功率为________．(g ＝10 m/s 2) 答案 100 W 200 W一、对功率的理解 导学探究建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：起重机编号被吊物体重力 匀速上升速度上升的高度 所用时间 做功 A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s B4.0×103 N3 m/s6 m2 s(1)两台起重机哪台做功多？(2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？答案 (1)两台起重机分别做功3.2×104 J 、2.4×104 J ，所以A 做功多． (2)B 做功快，可以用功与所用时间之比表示做功的快慢． 知识深化1．功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然． 2．应用公式P ＝Wt 解题时，必须明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的功率．例1 关于功率，下列说法正确的是( ) A ．功率是描述力对物体做功多少的物理量 B ．力做功时间越长，力的功率一定越小 C ．力对物体做功越快，力的功率一定越大 D ．力对物体做功越多，力的功率一定越大 答案 C解析 功率是描述力对物体做功快慢的物理量，做功越快，功率越大，A 错误，C 正确；力对物体做功时间长，未必做功慢，B 错误；力对物体做功多，未必做功快，D 错误． 例2 某人用同一水平力F 先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进x 距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进x 距离．若先后两次拉力做的功分别为W 1和W 2，拉力做功的平均功率分别为P 1和P 2，则( )A ．W 1＝W 2，P 1＝P 2B ．W 1＝W 2，P 1>P 2C ．W 1>W 2，P 1>P 2D ．W 1>W 2，P 1＝P 2答案 B解析 两次拉物体用的力都是F ，物体的位移都是x ，由W ＝Fx cos α可知W 1＝W 2；物体在粗糙水平面上前进时，加速度a 较小，由x ＝12at 2可知用时较长，再由P ＝Wt 可知P 1>P 2，选项B 正确． 二、功率的计算 导学探究在光滑水平面上，一个物体在水平恒力F 作用下从静止开始做加速运动，经过一段时间t ，末速度为v .求以下两个功率并指出是平均功率还是瞬时功率． (1)在t 时间内力F 的功率； (2)在t 时刻力F 的功率．答案 (1)物体在t 时间内的位移x ＝v t2W ＝Fx ＝12F v t在t 时间内力F 的功率为平均功率P ＝W t ＝12F v(2)t 时刻力F 的功率为瞬时功率P ＝F v . 知识深化1．平均功率的计算 (1)利用P ＝Wt；(2)利用P ＝F v cos α，其中F 为恒力，v 为物体运动的平均速度． 2．瞬时功率的计算(1)利用公式P ＝F v cos α，其中v 为瞬时速度；(2)利用公式P ＝F v F ，其中v F 为物体的速度在力F 方向上的分速度； (3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力在速度v 方向上的分力． 3．公式P ＝Wt 和P ＝F v 的比较P ＝W tP ＝F v适用条件(1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率 (2)当时间t →0时，可由定义式确定瞬(1)功率的计算式，仅适用于F 与v 同向的情况，若不同向，P ＝W t ＝Fx cos αt＝F v cos α时功率(2)v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率联系(1)公式P＝F v是P＝Wt的推论(2)功率P的大小与W、t无关例3(2022·上海市曹杨二中高一期中)在平直公路上骑自行车匀速行驶时所受阻力约为人车总重的0.02倍，估算骑车人的功率约为()A．10 W B．102 WC．103 W D．104 W答案 B解析人和车的总质量约为m＝100 kg，骑行速度约为v＝5 m/s，匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，即F＝f＝0.02mg，则骑车人的功率约为P＝0.02mg v＝100 W，故选B.例4如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：(1)前2 s内重力做的功；(2)前2 s内重力的平均功率；(3)2 s末重力的瞬时功率．答案(1)48 J(2)24 W(3)48 W解析(1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：mg sin θ－μmg cos θ＝ma解得a＝2 m/s2前2 s内木块的位移大小为x＝12at2解得x＝4 m所以重力在前2 s内做的功为W＝mg sin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J；(2)重力在前2 s内的平均功率为P ＝W t ＝482W ＝24 W ；(3)木块在2 s 末的速度大小为v ＝at ＝2×2 m/s ＝4 m/s 2 s 末重力的瞬时功率为P ＝mg sin θ·v ＝2×10×0.6×4 W ＝48 W.三、功率P 与力F 、速度v 之间的关系 定值 各量间的关系 应用P 一定 F 与v 成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度 v 一定 F 与P 成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力F 一定 v 与P 成正比汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度例5 (2022·贵州省高二学业考试)下列情形中，往往需要通过“换挡”降低汽车速度以获得更大牵引力的是( ) A ．汽车经过湿滑路段 B ．汽车经过人行横道 C ．汽车在水平路面转弯 D ．汽车爬坡 答案 D解析 A 、B 、C 项的目的都是减小速度缓慢通过是以安全为目的，只有D 项是通过降低汽车速度以获得更大牵引力．故选D.考点一 对功率的理解1．关于功和功率的概念，下列说法正确的是( ) A ．功有正、负之分，说明功有方向B ．由P ＝Wt 可知，机器做功越多，其功率就越大C ．由P ＝F v 可知，速度一定时，牵引力与功率成正比D.由P ＝Wt 可知，只要知道时间t 内机器做的功，可以求这段时间内任意时刻机器做功的功率答案 C2．(多选)放在水平面上的物体在拉力F 作用下做匀速直线运动，先后通过A 、B 两点，在这个过程中( )A ．物体的运动速度越大，力F 做功越多B ．不论物体的运动速度多大，力F 做功不变C ．物体的运动速度越大，力F 做功的功率越大D ．不论物体的运动速度多大，力F 做功的功率不变 答案 BC考点二 功率的计算3．一个质量为m 的小球做自由落体运动，那么，在t 时间内(小球未落地)重力对它做功的平均功率P 及在t 时刻重力做功的瞬时功率P 分别为(重力加速度为g )( ) A.P ＝mg 2t 2，P ＝12mg 2t 2B.P ＝mg 2t 2，P ＝mg 2t 2C.P ＝12mg 2t ，P ＝mg 2tD.P ＝12mg 2t ，P ＝2mg 2t答案 C解析 t 时间内重力做功的平均功率P ＝W t ＝mg ·12gt 2t ＝12mg 2t ，t 时刻重力做功的瞬时功率P＝F v ＝mg ·gt ＝mg 2t ，故C 正确．4．质量为1 kg 的物体做匀变速直线运动，其位移随时间变化的规律为x ＝2t ＋t 2(m)，t ＝2 s 时，该物体所受合力的功率为( ) A ．6 W B ．8 W C ．10 W D ．12 W 答案 D解析 根据x ＝v 0t ＋12at 2＝2t ＋t 2知物体的加速度a ＝2 m/s 2，初速度为v 0＝2 m/s ，根据v ＝v 0＋at 可知t ＝2 s 时速度为v ＝6 m/s ，根据牛顿第二定律可知物体所受合力F ＝ma ＝2 N ，t ＝ 2 s 时，该物体所受合力的功率为P ＝F v ＝12 W ，故D 正确，A 、B 、C 错误．5.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m ，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s 时，重力的瞬时功率为(重力加速度为g )( )A ．mg gs B.12mg gs C ．mg 2gs D.12mg 6gs 答案 B解析 小孩的加速度a ＝mg sin 30°m ＝12g ，由v 2＝2as 得小孩滑行距离为s 时的速率v ＝gs ，故此时重力的瞬时功率P ＝mg v sin 30°＝12mg gs ，B 正确．考点三 功率P 与力F 、速度v 之间的关系6．质量为2 t 的汽车，发动机的额定功率为30 kW ，在水平路面上能以15 m/s 的最大速度匀速行驶，则汽车在该水平路面行驶时所受的阻力为( ) A ．2×103 N B ．3×103 N C ．5×103 N D ．6×103 N 答案 A7.如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”．驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，慢慢松开离合器，然后徐徐踩下加速踏板，同时松开手刹，汽车慢慢启动．下列说法正确的是( )A ．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力B ．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率C ．徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功D ．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率 答案 A解析 根据P ＝F v 可知挂入低速挡是为了增大牵引力，A 正确，B 错误；徐徐踩下加速踏板是为了增大发动机输出功率，C 、D 错误．8．某物体从高为H 处由静止下落至地面，用时为t ，不计空气阻力，则下列结论正确的是( )A ．前、后H2内重力做功的平均功率相等B ．前、后t2内重力做功的平均功率相等C ．下落H 4时与下落t2时重力做功的瞬时功率相等D ．下落H 2时与下落t2时重力做功的瞬时功率相等答案 C解析 下落前、后H 2过程中，重力做功均为mg ·H 2，由于下落前H 2用时较长，故前H2重力的平均功率较小，故A 错误．下落前、后t 2时间内，物体分别下落H 4和34H ，重力做功分别为14mgH和34mgH ，这两段时间相同，做功不同，表明重力的平均功率也不相等，故B 错误．物体在前t 2时间内下落H 4，即物体在下落H 4和t2时速度相同，重力做功的瞬时功率相等，故C 正确．物体下落H2时的速度2H v ＝2g ·H 2＝gH ，物体下落t 2时的速度2t v ＝g t 2，H ＝12gt 2，则2t v ＝gH 2，又P ＝mg v ，故物体下落H 2时与下落t2时重力做功的瞬时功率不相等，故D 错误． 9.如图所示，飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大答案 C解析 由P ＝mg v cos α可知，初状态P 1＝0，最低点P 2＝0，中间状态P ＞0，所以飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是先增大后减小，故C 正确．10．(多选)如图甲所示的“襄阳炮”是古代军队攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化图．将质量m ＝10 kg 的石块，装在与转轴O 相距L ＝103 m 的长臂末端口袋中，最初静止时长臂与水平面的夹角α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止运动，石块被水平抛出，落在水平地面上，若石块落地位置与抛出位置间的水平距离s ＝20 m ，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2.以下判断正确的是( )A ．石块抛出后运动时间为63s B ．石块即将落地时重力的瞬时功率为1 000 5 W C ．石块落地的瞬时速度大小为10 5 m/s D ．石块即将落地时重力的瞬时功率为1 000 W 答案 CD解析 石块被抛出时，做平抛运动，竖直方向的高度h ＝L ＋L sin α＝5 m ，则石块在空中运动的时间为t ＝2hg＝1 s ，故A 错误；石块水平方向速度为v 0，则v 0t ＝s ，解得v 0＝20 m/s ，石块落地时，竖直方向速度为v y ＝gt ＝10 m/s ，则落地瞬间速度为v ＝v 02＋v y 2＝10 5 m/s ，故C 正确；重力的功率为P ＝mg v y ＝1 000 W ，故B 错误，D 正确．11．一台起重机将静止在地面上、质量为m ＝1.0×103 kg 的货物匀加速竖直吊起，在2 s 末货物的速度v ＝4 m/s.(取g ＝10 m/s 2，不计额外功)求： (1)起重机在这2 s 内的平均功率； (2)起重机在2 s 末的瞬时功率． 答案 (1)2.4×104 W (2)4.8×104 W 解析 (1)设货物所受的拉力为F ，加速度为a 由a ＝vt得，a ＝2 m/s 2由牛顿第二定律知，F －mg ＝ma则F ＝mg ＋ma ＝1.0×103×10 N ＋1.0×103×2 N ＝1.2×104 N0～2 s 内货物上升的高度 h ＝12at 2＝12×2×22 m ＝4 m 起重机在这2 s 内对货物所做的功 W ＝F ·h ＝1.2×104×4 J ＝4.8×104 J起重机在这2 s 内的平均功率 P ＝W t ＝4.8×1042 W ＝2.4×104 W(2)起重机在2 s 末的瞬时功率 P ＝F v ＝1.2×104×4 W ＝4.8×104 W.12.如图所示，位于水平面上的物体A ，在斜向上的恒定拉力F 作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg ，F 的大小为100 N ，方向与速度v 的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g ＝10 m/s 2.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则：(1)第2 s 末，拉力F 对物体做功的功率是多大？(2)从开始运动到物体前进12 m 的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？ 答案 (1)960 W (2)480 W解析 (1)水平面对物体的支持力大小N ＝mg －F sin 37°＝10×10 N －100×0.6 N ＝40 N 由牛顿第二定律得物体的加速度大小a ＝F cos 37°－μN m ＝100×0.8－0.5×4010 m/s 2＝6 m/s 2第2 s 末，物体的速度大小v ＝at ＝12 m/s 第2 s 末，拉力F 对物体做功的功率 P ＝F v cos 37°＝960 W.(2)从开始运动到物体前进12 m ，所用时间为 t ′＝2l a＝2×126s ＝2 s 该过程中拉力对物体做功W ＝Fl cos 37°＝100×12×0.8 J ＝960 J拉力对物体做功的平均功率P ＝W t ′＝9602W ＝480 W.。