导数专题复习(一)

导数专题复习(一)

【知识梳理】

1．求导公式：(1)几个幂函数的导数： (2)基本初等函数的导数公式：

2．求导法则

(1)(cf (x ))′＝ ；

(2)(f (x )＋g (x ))′＝ ； (f (x )－g (x ))′＝ ； (3)(f (x )g (x ))′＝ ；(4)⎝⎛⎭

⎫1

f (x )′＝ ；

(5)⎝⎛

⎭⎫

g (x )f (x )′＝ ；(6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝ ；

3.函数的单调性：

4.函数的极值：

5.函数的极值：

【小题巩固】

1．已知函数f (x )＝ax 2

＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )

A ．1 B. 2 C ．－1 D ．0

2.已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )

A ．在(－∞，0)上为减函数

B ．在x ＝0处取极小值

C ．在(4，＋∞)上为减函数

D ．在x ＝2处取极大值

3．函数y ＝12

x 2

－ln x 的单调递减区间为( )

A ．(－1,1]

B ．(0,1]

C ．[1，＋∞)

D ．(0，＋∞) 4.若指数函数f (x )＝a x

(a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( )

A ．2

B ．ln 3 C.ln 3

3

D ．－ln 3

原函数

导函数

f (x )＝x α(α≠0)

f (x )＝e x

f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1) f (x )＝ln x (x ＞0) f (x )＝lo

g a x (a ＞0且a ≠1)

f (x )＝sin x f (x )＝cos x f (x )＝tan x

原函数

导函数 f (x )＝c f (x )＝x f (x )＝x 2

f (x )＝x 3 f (x )＝1

x

f (x )＝x

5.某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12

gt 2(g ＝10 m/s 2

)，当t ＝2 s 时，其加速度是( )

A ．14 m/s

2

B ．4 m/s

2

C ．10 m/s 2

D ．－4 m/s 2

6．函数y ＝ax 3

－2x 在[2,8]上是减函数，则 ( )

A ．a ＝13

B ．a ＝0

C ．a ≤1

96

D ．a <0

【例题与练习】

例1： 设a 为实数，函数f (x )＝x 3

－x 2

－x ＋a .

(1)求f (x )的极值；

(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．

练1：已知f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1.

(1)求常数a ，b ，c 的值；

(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

例2：已知函数

x

ae

x x x f -+-=22

1)(2

（1）若a=1，求()x f 在x=1处的切线方程；

（2）若()x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.

练2：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2

3

时，y ＝

f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；

(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．

作业：座号： 姓名：

1．函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋1的单调递减区间为( )

A ．(2，＋∞)

B ．(－∞，2)

C ．(－∞，0)

D ．(0,2) 2.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )

A ．f (2)，f (3)

B ．f (3)，f (5)

C ．f (2)，f (5)

D ．f (5)，f (3)

3.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列哪一个判断是正确的( )

A ．在区间(3,4)内f (x )是减函数

B ．在区间(1,3)内f (x )是减函数

C ．在区间(－2,1)内f (x )是增函数

D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值

4. 三次函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx ＋d (a ≠0)的图象如下图，则它的 导数f ′(x )的图象最 可能是

( )．

5.若函数f (x )＝ln x

x

，则f ′(2)＝________.

6．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)

，则m ＝________.

7．函数f (x )＝x 3

＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞)

B ．[－3，＋∞)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－∞，－3)

8. 已知f (x )＝x 3

＋ax 2

＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )

A.－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D ．a ＜－3或a ＞6

9．直线y ＝a 与函数y ＝x 3

－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为( )

A ．(－2,2)

B ．[－2,2]

C ．[2，＋∞)

D ．(－∞，－2] 10.函数f (x )＝x 3

－3x 2

－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．

11.已知函数f (x )＝x 3

＋x －16，则直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程为 ．

12.已知f (x )＝x 3

＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值．

(1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>1c －1

2恒成立，求c 的取值范围

13.已知函数f (x )＝x 2

－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调区间；