三角形的内切圆(教学设计)
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B
交点
(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠AB C、∠ACB;
4.7三角形的内切圆
【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏!
【学习目标】
1.理解三角形内切圆的概念,掌握三角形内切圆的性质,能准确辨析内心和外心的不同
2.掌握画三角形的内切圆的方法,能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
3.应用类比的数学思想方法研究内切圆,逐步培养学生的研究问题能力;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增进学生数学学习的信心。
【学习过程】
一、情境创设
试一试:
一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析:①让学生展开讨论,教师指导学生发现,实际上是作一个圆,使它和已知三角形铁皮的各边都相切.
②让学生展开充分的讨论,如何确定这个圆的圆心及半径?
③在此基础上,由学生形成作图题的完整过程。
二、探求新知
⒈本课知识点:
⑴和三角形各边都相切的圆叫做,叫做三角形的内心,这个三角形叫做.
⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆.
A
A
C
小结:①一个三角形的内切圆是唯一的;
②内心与外心类比:
名称确定方法图形性质
B C
外心三角形三边中垂线的交
点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形的内部.
(1)到三边的距离相等;
内心
三角形三条角平分线的
(3)内心在三角形内部.
⒉例题学习
例△1、如图,ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相
切于点D、E、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF的度数。
A
F I E
B D C
•
三.再攀高峰
探究活动一问题:如图,有一张三角形纸片,其中BC=6cm,AC=8cm,∠△C=90°.今需在ABC中剪出一个半圆,使得此半圆直径在三角形一边上,并且与另两边都相切,请设计出所有可能方案,并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大,最大为多少?
B
A C
探究活动二问题:如图1,有一张四边形ABCD纸片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B=90°.
(1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片,你能否用折叠的方法找出圆心,若能请你度量出圆的半径;
(2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精确值).
四、达标测试
1.如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F.已知∠B=50°,∠C=60°,连结OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于()
A.40°B.55°C.65°D.70°
图1图2图3
2.如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°则∠DOE=()A.70°B.110°C.120°D.130°
3.如图△3,ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=()
A.112.5°B.112°C.125°D.55°
4.下列命题正确的是()
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部
•
又∵△S O AB = AB ·r ,△S O BC = BC ·r ,S △OCA = AC ·r
∴△S A BC = AB ·r+ BC ·r+ CA ·r •
C .等边三角形的内心,外心重合
D .一个圆一定有唯一一个外切三角形 5.在 △R t ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A .1.5,2.5
B .2,5
C .1,2.5
D .2,2.5
△6.如图,在 ABC 中,AB=AC ,内切圆 O 与边 BC ,AC ,AB 分别切于 D ,E ,F .
(1)求证:BF=CE ;
(2)若∠C=30°,CE=2 3 ,求 AC 的长.
7.如图,⊙I 切△ABC 的边分别为 D ,E ,F ,∠B=70°,∠C=60°,M
是
DEF
上的动点(与 D ,E 不重合),∠DMF 的大小一定吗?若一定,求出∠DMF 的大小;若不一定,请
说明理由.
五、非常演练
1.如图,在半径为 R 的圆内作一个内接正方形, 然后作这个正方形的 在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第 n 个内切圆,它的半径是(
)
内切圆,又
A .( 2 2 1 1 2
)n R B .( )n R C .( )n -1R D .( )
2 2 2
2.阅读材料:如图(△1), ABC 的周长为 L ,内切圆 O 的半径为 r ,连结 OA ,OB ,
△
ABC 被划分为三个小三角形,用 S △ABC 表示△ABC 的面积.
∵△S A BC △=S OAB △+S OBC △+S OCA
1 1 1
2 2
2
1 1 1
2 2 2
1
= L ·r (可作为三角形内切圆半径公式) 2
(1)理解与应用:利用公式计算边长分为 5,12,13 的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2) 且面积为 S ,各边长 分别为 a ,b ,c ,d ,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个 n 边形(n 为不小于 3 的整数)存在内切圆,且面积为S ,各边长分别为 a 1, a 2,a 3,…a n ,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).