第三章 生存年金的精算现值

或
Ax fT (t )dt d t Px 1 t Px dt 1 ax
t t t 0 0 0



Ax ax 1
上式解释：
( x ) 投资 1 元， 能使其在生存期间每年获得数
额为 的连续利息给付（生存年金给付） ；一 旦死亡，便立即获得 1 元的死亡保险金。
m Ex ax m:n
N x m1 N x m n 1 Dx
三、精算积累值：
sx:n ax:n
1 n Ex
sx:n
N x N xn 1 x:n a Dx n n Ex
三、每年给付m次的生存年金
讨论每年给付 m 次，每次给付 1、终身生存年金
K 1
3、延期终身生存年金
a m x
k m k k
px
x m a x a x:m m Ex a Ax:m Ax d N xm Dx
4、延期 m 年的 n 年定期生存年金
m
x:n a
m n 1 k m

k k
px
Ax:m Ax:mn

4、换算函数：
Nx ， ax Dx
ax:n
N x N xn ， Dx
N xn N x m N x m n ， m ax:n a n x Dx Dx
三、精算积累值
确定年金中： sn (1 i)
0
n
n t
dt
生存年金中：
x k k px a
k 0

Nx Dx
（解释）
x k lx k lx a
k 0

由总额支付法：
K 1 Y a
K 1 1 j d j 0 K
j j ax E (Y ) E ( ) E ( I j K ) j 0 j 0
2、n 年定期生存年金：
ax:n t Px dt
t 0
n
aT , (0 T n) Y an , (T n)
1 1 1 T ax:n E (Y ) E ( ) [1 E ( )] (1 Ax:n )
T
即：
Ax:n ax:n 1
(m) x

i i
(m)
Ax
a
(m) x
则
d d i (m) d i i x ( m ) ( m ) Ax (m) a d i d (m) d i i x ( m ) ( m ) (1 da x ) (m) a d i d (m) id i i x ( m ) ( m ) (m) (m) a i d i d

d
(m)
x a
1
(m)
( Ax
i
(m)
Ax )
令 有
id ( m) ( m ) i d
m (
)
i i(m) ， ( m) ( m ) ( m ) i d
( m) x x (m) a (m)a
n
1
lx lx n
(lx ax:n ) (1 i) lxn sx:n
n
（解释）
第二节 离散型生存年金
*** 离散型生存年金的定义 *** 指每次给付是按一定的时间间隔进行支付的生存年金。 一、期初付生存年金的精算现值（趸缴纯保费） 1、终身生存年金 ---- 每年初给付 1，直至受领人死亡的年金。 由现时支付法：
K

E ( I j K )
j j 0 j 0


j j
px
x E (Y ) E (a K 1 ) a k 1 k qx a
k 0

( j ) k q x ( j k q x )
k 0 j 0 j 0 k j
x m:n a x:m n a x:m m Ex a Ax:m Ax:m n d N xm N xmn Dx
二、期末付生存年金的精算现值（趸缴纯保费）
1、终身生存年金
1 Ax 1 d Ax 1 (1 i) Ax N x1 x 1 ax k px a 1 d d i Dx k 1
由
A d a x Ax 1 da
(m) (m) x
(m) x
1
有
Ax A d a ( m) x ( m) d d
( m) x
a
( m) x
（**）
d m ) 其中： 1 d (1 m
(m)
假设尾龄服从 UDD 假设，即： A
将生存年金现值（随机变量）的数学期望 称为生存年金的精算现值，也称为该种生存年 金保险的趸缴纯保费。
四、现时支付法与总额支付法
1、现时支付法的计算步骤： * 求出时刻 t 时给付年金的数额； * 确定时刻 t 时给付数额的精算现值； * 对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分。 2、总额支付法的计算步骤： * 求出从开始支付到停止支付这段时间内所有年金给付额的现值, 这一现值是随机变量（与余命随机变量有关） ； * 对以上现值求数学期望。

1 的期初付年金 m
a
Y a
(m) K s
( m) x
1 k px m k 0 m
k m
1 2 m 1 (s 0 , , , , ; K 0 , 1 , 2 , ) m m m
K s 1 1 1 ( m) (m) K s x E (a K s ) E ( ( m) ) ( m) [1 E ( )] ( m) (1 Ax( m ) ) a d d d
上式的含义：基金 lx n Ex 在利率 i 的条件下， 在 n 年末的积累值将充分提供活到 x n 岁的
lx n 个人，每人一元的给付。
一、连续型生存年金的定义 连续型生存年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生存年金。 二、精算现值 1、终身生存年金： ( x) 购买按连续方式每年给付 1 的终身生存年金。
j j j 0 k 0 j 0 k 0 j 0




由总额支付法：
K 1 Y a
则：
1 d j 0
K j
K 1
K 1
1 x E (Y ) E ( a d
1 ) (1 Ax ) d
于是有
上式解释：
x 1 Ax da
sx:n ax:n 1 ( n Ex ) n Ex
1

0
n
t t
px dt
n
0
Ex dt n Ex
t
1的精算现值是 n Ex sx:n 的精算现值是sx:n n Ex =ax:n
即：
sx:n ax:n ( n Ex ) ax:n (1 i)
t 0

( at ds)
0
** 利用现时支付法:
t 时刻年金给付额的精算现值： t t Px dt
ax t t Px dt
0

***
Ax 与 ax 的关系 ： Ax
T
ax 1

1 1 1 T ax E (aT ) E ( ) E (1 ) (1 Ax )
k
Ax (1 i) iax 1 x ax Ax a
解释
2、n 年定期生存年金
ax:n
k 1
n
k k
x:n px a
N x1 N x n1 1 n Ex Dx
x:n ax:n1 1 a
x:n ax:n1 Ax:n a



事实上：
ax at fT (t )dt at dFT (t ) at d (1 t Px )
0 0 0



at d t Px (a P
0

t t x 0 t

s

0
t x
P dat )
t Px dt
第三章：生存年金的精算现值
教学要求：
★ 掌握生存年金（保险）及其精算现值（趸缴 纯保费）的定义。 ★ 掌握“现时支付法”与“总额支付法”的计算 原理。 ★ 掌握各类生存年金的精算现值及精算积累值 的计算方法。
一、生存年金的概念
生存年金是以受领人生存为给付条件的，按预 先约定的金额，以一定时间为周期的不间断的一系 列支付。 生存年金与确定年金的区别 在于它必须考虑死亡因素，给付期与生存期相 关，具有不确定性。 生存年金与死亡保险的区别在于它是连续多次 支付而非一次支付。生存年金是一种生存保险，保 险金以生存年金的方式给付。
( x ) 投资 1 元（保费） ，能使其在生存期间每年初获得数额为 d
的利息给付（即生存年金给付） ；一旦死亡，年末获得 1 元的 本金（即死亡保险金） 。
1 Var (Y ) Var ( ) d 1 1 2 K 1 2 2 Var ( ) 2 [ Ax ( Ax ) ] d d
Var (aT ) 1

[ A ( A ) ] 2 x:n x:n
2 2
3、延期生存年金：
n
ax t Px dt
t n
1 x:n

n
ax ax ax:n A ax n n Ex ax n
Ax:n Ax

m
ax:n ax:mn ax:m m Ex ax m:n
第一节 连续型生存年金
*** 精算折现因子 *** 我们将
A
1 x:n

n n
px n Ex 称为精算折现因子， 是
一次性给付的精算现值（趸缴纯保费） ；将 ( n Ex )1 称为精 算累积因子。
lx n Ex (1 i) lxn
n
lx n Ex (1 i)n lxn

k

( j k j qx ) j k j qx j k j px qx k j
j 0 k 0 j j 0 k 0 j 0 k 0



j p x k p x j q x k j j p x ( k q x j ) j p x
二、生存年金的分类
定期生存年金 终身生存年金 即期生存年金 延期生存年金 完全期末年金 比例期初年金 定额生存年金 变额生存年金 期初付生存年金 期末付生存年金
单生生存年金 联生生存年金 最后生存者年金
离散型生存年金 连续型生存年金
三、生存年金的精算现值(趸缴纯保费)
T 1 支付年金总额的现值为： Y aT t dt 0 T
* 利用总额支付法：
ax E (Y ) E (aT ) at fT (t )dt t t px dt
0 0


1 T 1 1 2 T Var (aT ) Var ( ) 2 Var ( ) 2 [ Ax ( Ax ) 2 ]
3、延期终身生存年金

m
ax
k m1

k k
px ax ax:m m Ex axm
m
Ax:m1 Ax d
N xm1 Dx
x m Ex ax m a
4、延期 m 年的 n 年定期生存年金
m
ax:n
m n
k m 1

k k
px ax:m n ax:m Ax:m1 Ax:m n 1 d
K Leabharlann Baidu1
2、n 年定期生存年金
x:n a
k 0
n 1
k k
N x N xn px k Ex Dx k 0
n 1
x:n 1 Ax:n da
1 Var (Y ) Var ( ) d 1 1 2 K 1 2 Var ( ) 2 [ Ax:n ( Ax:n ) 2 ] d d