数学核心素养之数学建模教学案例

数学核心素养之数学建模教学案例

1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。

其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。

特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。

2.中学数学模型的教学

2.1中学数学中常见的数学模型分类：

（1）与函数的最值相关问题。工程中的用料最省、利润最大，列出所求量的函数解析式，利用代数工具解函数最大值。

（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与温度的关系。

（3）与周期有关的三角函数模型建立。电路信号，音频震动，潮水涨落周期。

（4）线性规划问题。关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。

（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。

2.2数学建模的课堂陷入几个误区。

（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什么，介绍集中常见的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数学建模的思想领会很少。

（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学生只需分析问题，套用计算。而没有让学生经历发现问题，

3．数学建模案例教学设计

本人从学生的实际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学模式。我们在课堂上重现一些现实生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达到增强能力的效果。

生活背景：

新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教务处工作人员在网上浏览，发现新上市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格相同。请尝试建立数学模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。

模型的分析和建立的过程。

师：你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？

生：粉笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，对人更少的伤害。

师：很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。除了质量之外，作为一个学校大批量采购粉笔的用户，我们还考虑什么？

生：价格。

师：我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的事。我们都感觉到这个问题非常的困难了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的假设。

生：感觉考虑的因素太多了。

师：我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？让你比较两支粉笔，那个书写起来更流畅，采用什么方法进行比较呢？

生：我们采用随即抽样的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。

师：每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。

生：可是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。教室陷入了激烈的讨论中。

师：那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的差别。

生：那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。

师：可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？

生：那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？

师：这个同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用完之后，再用下一根。那么一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？

生：应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。

师：我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，那个盒子中粉笔的总体积多呢？

生：我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。而圆柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积

最多。

师：分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证两种粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？

生：性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。

师：那我们应该怎么去判断呢？

生：我们只需让总价格/总体积都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。

师：那么现在当务之急是干什么呢？

生：我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，

师：那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？

生：先构建一个边长为20cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆恰好是半径为1cm的圆，看一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，从而再计算相应的空间的利用率，从而得出，谁的体积更大一些。

模型建立：