椭圆焦点三角形面积公式的应用

椭圆焦点三角形面积公式的应用

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是

椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2

tan 22

1

θ

b S PF F =∆

证明：记2211||,||r PF r PF ==.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r -+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=+⋅==

∆b b b r r S PF F .

.2

tan 221θ

b S PF F =∴∆

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例 1 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求

△21PF F 的面积.

解法一：在椭圆

164

1002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==

点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=⨯⨯==

∆θr r S PF F 解法二：在椭圆

1641002

2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3

3

6430tan 642

tan

221=

︒==∴∆θ

b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例2 已知P 是椭圆19

252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦

2

1

|

|||2121=

⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3

D.

3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

1

|

|||cos 2121=

⋅=

PF PF PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92

tan

221=︒==∴∆θ

b S PF F

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P

在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距

离为（ ）

A. 59

B. 779

C. 4

9

D.

4

9

或779

解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4

92=a b ；

若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan 22

1

=︒==∆θ

b S PF F ，

又,7)2(2

1

2

1

h h c S PF F =⋅⋅=∆

97=∴h ，.7

7

9=

h 故答案选D. 金指点睛

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△

21PF F 的面积为（ ）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面

积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

3. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面

积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2-

4．已知椭圆1222

=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且

︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）

A ．1

B ．3

1

C ．3

4

D ．3

2

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为3

5

，求椭圆的标准方程.

6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且

21

|

|||212

1-=⋅PF PF PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.

参考答案

1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242

tan 22

1

=︒==∆θ

b S PF F .

故答案选D.

2. 解：设θ=∠21PF F ， 12

tan 2tan 22

1

===∆θθb S PF F ，∴

︒=︒=90,452

θθ

，

021=⋅PF PF .

故答案选A.

3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2

tan 2tan 22

1

θ

θ==∆b S PF F ，

∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，

这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，

∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.