中考数学正方形内套45°专题训练试题

正方形内套45°专题训练四十问

已知正方形ABCD，AB=6，点P在对角线BD上，AP交DC于G，PH⊥DC，PE⊥P A交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点，连结EG交PF于N，连结AN交PE于M，EK⊥BD于K，连结AE交BD于Q点。

第一问求证：△PAE是等腰直角三角形；

方法一：在四边形ABEP中，∠ABE=∠APE=90°，即

∠ABE+∠APE=180°，由此可知A、B、E、P四点共圆.

故∠AEP=∠ABD=45°，

所以△P AE是等腰直角三角形。

方法二：根据对称性知AP=CP，∠PAB=∠PCB.

在四边形ABEP中，∠ABE=∠APE=90°，即∠PAB+∠PEB=180°，

又∠PEB+∠PEC=180°，所以∠PAB=∠PEC，

故∠PEC=∠PCB，PE=PC，AP =PE .

又∠APE=90°，所以△P AE是等腰直角三角形。

方法三：过P做PI垂直AB，垂足为I，易知四边形IBFP为正方形.

由∠APE=∠IPF=90°可得∠API=∠EPF.

又PI=PF，故Rt△AIP≌Rt△EFP，从而AP=EP.

所以△P AE是等腰直角三角形。

第二问求证：EF=FC；

简证：由第一问方法二可知EP=CP.

又PF⊥BC，故EF=FC（“三线合一”）。

第三问求证：PB-PD=2BE；

简证：PB=2BF，PD=2PH=2FC=2EF，

故PB-PD=2（BF-EF）=2BE。

第四问求证：EG=EB+DG；

简证：由第一问可知∠EAP=45°，即∠BAE+∠GAD=45°.

在CB的延长线上取一点G´，使BG´=DG.

易知Rt△ABG′≌Rt△ADG，即∠G´AB=∠GAD，AG´=AG. 所以∠G´AE=∠G´AB+∠BAE=∠GAD+∠BAE=45°.

在△G´AE和△GAE中，

AG´=AG，∠G´AE=∠GAE=45°,AE=AE即△G´AE≌△GAE，从而EG=EG´=EB+BG´=EB+DG。

第五问求证：BC+BE=2BP；

简证：由第二问可知EF=FC，

故BC+BE=2BF.

又BP=2BF ，即2BP=2BF ，所以BC+BE=BP 。

第六问 求证：GA 平分∠DGE ；

简证：由第四问可知 ∠AG ´E=∠AGE=∠AGD,

故GA 平分∠DGE 。

第七问 求证：A 到EG 的距离为定值；

方法一：过点A 作EG 的垂线，垂足为N ´.

由第六问可知 GA 平分∠DGE ，即∠AGN ´=∠AGD ，

故Rt △AGN ′≌Rt △AGD,所以AN ′=AD=6，即A 到EG 的距离为6（定值）。

方法二：令A 到EG 的距离为h ，BE=x ，DG=y.

由等面积法，得 ()()()y x y x h y x -⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯+⨯66216216216621，即.36y

x xy h +-= 由勾股定理，得

()()()y x y x -+-=+6622，即().636y x xy +=- 故()()为定值6636=++=+-=

y

x y x y x xy h 。

第八问 求证：△EFN 的周长为定值；

简证：由第二问可知 F 为EC 的中点，所以.21ECG EFG C C ∆∆= 由第四问可知 EG=BE+DG ，故,12)()(=+++=++=∆GC DG EC BE GC EC EG C ECG 所以6=∆EFG C 。

第九问 求证：FH=AP ；

简证：由第一问可知 AP=CP.

又四边形PFCG 为矩形，所以FH=CP ，故FH=AP 。

第十问 求证：∠BAE=∠BPE ；

简证：由第一问可知 ∠QEP=45°，又∠ABQ=45°，

在△AQB 和△PQE 中，∠AQB=∠PQE ，∠QEP ∠ABQ=45°，

所以∠BAE=∠BPE 。

第十一问 求证：∠APB=∠AEG ；

简证：同理第十问，得 ∠APB=∠AEB.

由第四问，可知 ∠AEB=∠AEG ，

故∠APB=∠AEG 。

第十二问 求证：∠DGE=2∠AQD ；

简证：同理（10），得 ∠AQD=∠AGD.

又由（6）可知 ∠DGE=2∠AGD.

故∠DGE=2∠AQD 。

第十三问 求证：PQ 2=BQ 2+PD 2；

简证：将△ABQ沿AQ翻折，点B的对应点为B’，并连接AB’、PB’. ∠BAQ=∠B’AQ，∠B’AQ+∠B’AP=45°，∠BAQ+∠DAP=45°，

即∠B’AP=∠DAP.

又AB’=AB=AD,故△B’AP≌△DAP.

从而∠AB’P=∠ADP=45°，PD=PB’.

又∠AB’Q=∠ABQ=45°，BQ=QB’.

所以，∠QB’P=90°,

PQ2=QB’2+PB’2=BQ2+PD2。

第十四问求证：AB=2PK；

方法一：连接AC，易知AC⊥BD，交点为O.

∠PAO+∠APO=90°，∠EPK+∠APO=90°.

故∠PAO=∠EPK.

由第一问可知，AP=PE，

即Rt△PAO≌Rt△EPK,

得 PK=AO.

易知AB=2AO,所以AB=2PK.

方法二：KP=BD-(BK+PD)

=BD-(

22BE+2PH) =BD-(

22BE+22EC ⨯) =BD-

22(BE+EC) =BD-2

2BC =2AB-

22AB =

2

2AB ， 故AB=2PK 。 第十五问 若BE=2,求PF ；

简解：由BE=2，BC=6,得

EF=FC=2，PF=4,

所以，PF=BF=4。

第十六问 若∠EPF=22.5°，求PF ；

简解：因为∠EPF=22.5°，所以∠PEF=67.5°. 易知∠PAB=∠PEF,故∠PAB=67.5°.

又∠ABP=45°，故∠APB=67.5°.

所以，BP=AB=6.

又BP=2PF,从而，PF=

22BP=2

2⨯6=23。

第十七问 若△PEC 为等边三角形，求PD 的长；