考研数学三公式

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

a

x x a

a a x x x x x x x x x x a x x ln 1

)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22=

'='⋅-='⋅='-='='2

2

22

11

)cot (11

)(arctan 11

)(arccos 11

)(arcsin x x arc x x x x x x +-

='+=

'--

='-=

'⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x xdx x C

x dx x x C

x xdx x dx C x xdx x dx x

x

)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

a x a dx C

x x xdx C x x xdx C

x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 2

2222222⎰

⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos 12sin u

du

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　

和差角公式： ·和差化积公式：

倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

2

cos 12cos 2cos 12

sin

-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=

·正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：x arcc x x x tan 2

arctan arccos 2

arcsin -=

-=π

π

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1

cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=

±⋅±=

±=±±=± α

α

αααααααα2333tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin --=

-=-=α

α

αααααααααα

αα222

2

2

2

tan 1tan 22tan cot 21

cot 2cot sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin -=

-=-=-=-==

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

多元函数微分法及应用

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y

v

dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u

dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=∂∂-=∂∂=⋅

-∂∂

-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=

==∂∂⋅

∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

多元函数的极值及其求法：

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，

则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x