复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i ²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作

x=Re(z),y=Im(z)。 arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ。z=re iθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0

，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任

取一点ξk 并作和式S n =∑f (ξk )n k −1(z k -z k-1)= ∑f (ξk )n

k −1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max

1≤k ≤n

{∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫

f (z )dz c

=lim δ 0

∑f (ξk )n k −1∆z k

设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c

(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c

,其中C 表示a 到b 的任一曲线。

（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c

=0. ∵f(z)=1 S n =∑f (ξk )n k −1(z k -z k-1)=b-a

∴lim n 0

Sn =b-a,即1)∫dz c

=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则

∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则

∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)

因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n = (∑1+∑2)= ∑k −1n z k (z k

2−z k −12)=b 2-a 2

∴ ∫2zdz c

=b 2-a 2

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f (z )dz c 得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)

∫f (z )dz c =∫f (z (t ))z (t )́dt βα

参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π) 例题1： ∫z 2

dz 3+i 0

积分路线是原点到3+i 的直线段

解：参数方程 z=（3+i ）t ∫z 2

dz 3+i 0

=∫[(3+i )t ]2

[(3+i )t ]′dt 1

=(3+i)

3

∫t 2

dt 10

=6+263

i

例题2： 沿曲线y=x

2

计算∫（x 2

+iy）dz 1+i 0

解： 参数方程 {x =t y =t 2 或z=t+it 2

(0≤t ≤1)

∫(x 2+iy )dz 1+i

=∫（t 2+it 2

）(1+2it )dt 1

=(1+i)[∫(t 2dt )dt 1

0 + 2i ∫t 3

dt 1

] =-16+5

6

i

1.3定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：

∮dz

(z −z 0)n +1c =∫ire iθ

e i（n +1）θr n +12π0d θ=i r

n ∫

e −inθ1+i 0d θ

∮dz

(z −z 0)n +1c

={

2πi n =0

0 n ≠0

例题1：∮dz z −2|z |=1 例题2：∮dz

z −1

2

|z |=1

解： =0 解 =2πi

2.柯西积分定理法：

2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：

∮f (z )dz c

=0 2.2定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅

由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与

C 1是

D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：

∮f (z )dz Γ=∮f (z )dz c +∮f (z )dz c

1

=0 即∮f (z )dz c =∮f (z )dz c

1

推论： ∮f (z )dz c

=∑∮f (z )dz c

k

n k =1 例题：∮

2z −1z 2−z

dz c

C 为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。

∮2z −1z 2−z

dz c

=∮2z −1z (1−z )dz c1

+∮2z −1z (1−z )

dz c2

=∮1z −1+1

z

dz c1+∮1z −1+1z

dz c2

=∮1z −1

dz c1

+∮1z

dz c1+∮1z −1

dz c2+∮1z

dz c2

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即

∫f (ξ)c d ξ = ∫f (ξ)z1

z

d ξ 这里的z 1和z 0

积分的上下限。当