AHP(层次分析法)方法、步骤

W 1 3M 1 0 .4,0 W 2 5 2 .46 W 3 6 1
2009.11
归一化
3
Wi 3.871
i1
W10.105W2 0.637W30.258
0 .105
W
0
.637
0 .258
max
n i1
(AW)i nWi
0.318 1.196 0.7853.307 30.105 30.637 30.258
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I. 当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
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3、多层次分析法基本步骤
1 建立递阶层次结构 2 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 3 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 4 评价层次总排序计算结果的一致性
层次分析法 (Analytics Hierarchy Process, AHP)
1
简
介
2 基本模型
3 基本步骤
4 应用案例
5 应用软件
1、简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把 一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因 素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次 结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相 对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相 对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解 决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便， 从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
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（3）计算步骤
❖iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
在单层次判断矩阵A中，当 a ij 进行一致性检验的步骤如下：
a ik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. maxn ，式中n为判断矩阵阶数。
n1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的， 下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
维数 1 R.I. 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
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2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1 C—目标
A2
…… An
Ai—隶属C的n个评价元素
决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
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2、基本模型—单层次模型
（2） 思想：
❖整体判断
n个元素的两两比较。
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AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近
似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i)aij0 (i)iaija 1 ji (ii)a iii1
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这 是AHP的特点之一。
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（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
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AHP方法计算原理 ❖问题
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量
W(w1,w2,.w .n .)T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
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AHP方法计算原理
❖解释
假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W(w1,w2,.w .n .)T 比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵
❖定性判断
定量表示（通过标量）
❖通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
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2、基本模型—单层次模型 （3）计算步骤
i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层
次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
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（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
5
表 示 两 个 元 素 相 比 ， 一 个 元 素 比 另 一 个 元 素 明 显 重 要
7
表 示 两 个 元 素 相 比 ， 一 个 元 素 比 另 一 个 元 素 强 烈 重 要
9
表 示 两 个 元 素 相 比 ， 一 个 元 素 比 另 一 个 元 素 极 端 重 要
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（3）计算步骤
M
An
A1
A2
……
An
a11
a12
……
a1n
a21
a22
……
a2n
M
M
M
M
an1
an2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
1
表 示 两 个 元 素 相 比 ， 具 有 同 样 重 要 性
3
表 示 两 个 元 素 相 比 ， 一 个 元 素 比 另 一 个 元 素 稍 微 重 要
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
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方根法
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3
3 1/ 3 1
计算Mi 的n次方根
M1
111 53
1 0.067 15
M2 15, M3 1
A
w1 w1
w2 w1
w1 w2
w1 wn
w2 wn
wn w1 wn wn
是完全精确的判断矩阵
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AHP方法计算原理
满足
AWww 12 ww11
wn
w1
w1 w2
w1 wn
w2 wn
wn
wn
w1
wM2
wn
w1 nwM2
wn
AWnW
W是 A 的最大特征值的向量
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（1）递阶层次结构
目标层
决策目标
准则层
准则1
准则2
……
准则k
子准则层 子准则1 子准则2 …… 子准则m
……
…… ……
方案层
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方案1
方案2
……
Baidu Nhomakorabea
方案n
（3）计算各元素的总权重