函数y=sin(wx+r)的图象
y=Asin(wx+φ)图像变换
整理得： y3sin(2x5)
12
小结：过程可逆，原路返回
例3．已知正弦函数 y A s in (x )( A 0 , 0 ) y
求此函数的解析式
2
分析：一般地
1.先求A 2.再求
3、最后求
2
0
2
2
4
6
8
10 x
求 常用以下两种方法：
（１）利用已知点坐标（最高点，最底点，零点）
代入解析式，再结合图形求出
在同一个周期内的最高点的坐标为 (
(5 ,2) 8
求此曲线的函数表达式.
8
, 2 ) ，最低点的坐标为
2、已知曲线y A s i n (x ) k ( A 0 , 0 , 0 )
在同一个周期内的最高点的坐标为 ( , 4 ) ，最底点的坐标为
8
(5 ,2) 8
求此曲线的函数表达式.
y 2sinx
2
振幅变
1
换
3 2
2
0
2
3 2
5
3
7
2
2
2
x
1
2
三、y= sin （x+ ）图像的变换
向左平移
单位
y sin x
6
向右平移
单位
y sin x
6
y sin(x )
6
y sin(x )
6
y
相位变
换
2
1
3 2
2
0
2
3 2
5
3
7
2
2
2
x
1
2
四、y= sin x+b图像的变换
横坐标扩大为原来的两倍,所得的图象恰好与函数 y 3sin(x )
函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作
是把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的.
1 ω
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) (3) y sin 4 x ， (2) 1 1 y sin x . 2 2 1 y sin x， 3
总结：
y A sin( x ) B.
伸缩变换（左右 、上下A）.
变换有两种： 平移变换（左右 、上下B）;
当 函 数 y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时 ,A 就表示 这个量振动时离开平衡位置的最大距离, 通常把它叫做这个振动的振幅 ; 往复振 动一次所需要的时间 T=2π/ω, 它叫做 振动的周期 ; 单位时间内往复振动的次 数 f=1/T=ω/2π, 它 叫 做 振 动 的 频 率 ;ωx+φ叫做相位 ,φ 叫做初相 ( 即当 x=0 时的相).
2
x
π π1 3 6
7π 12
π y sin( 2 x ) 3
作图Flash
问：y sin(x )与y sin(x )的图象有何关系？
函数y=sin(x +φ) ( >0且≠1)的图象可以
看作是把 y=sin(x +φ) 的图象上所有点的横坐标
1 缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的
例2 .作函数 y sin 2 x 及
1. 列表：
y sin 1 x 的图象. 2
π 2
学习版三角函数f(x)=Asin(wx φ)图像性质精品.pptx
例2:图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动y/cm 的振幅、周期与 2-
频率各是多少？ O
A
E
0.4 0.8
B
D
C
1.2 F x/s
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3：已知函数y Asin( x )( 0, 0)的图像
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
y
平移||/个单位
sin
(x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
例2：为了得到y sin x的图像，可由
函数y 3sin(2x )如何变换得到？
5
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
2
4
然后将图像上各点的纵坐标伸长到原来的6倍(横坐标不变)
得到函数y f ( x)的图像，求函数f ( x)的值域和单调区间
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A顺序变换)
向左>0 (向右<0)
y=sinx
y=sin(x+)
平移||个单位
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
正弦函数图象及其变换
π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象 函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6
x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平 向左平 移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象 函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数 的作用 正数A决定了? 正数 决定了? 决定了
人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
正弦型函数：y=Asin(x+)
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时， 振幅：A就表示这个量振动时离开平衡位置的最
y=sin2x
二、函数y=sinx(>0)的图象
y 1
y=sin1 x
2
2
O
Hale Waihona Puke 34 x1
y=sin2x
y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。
y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A， 最小值为-A.
一般地，函数y=Asinx的值域是最大值是 |A|，最小值是－|A|，由此可知，|A|的大小， 反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称为 振幅。
y 1 O 1
1 y=sin 2
2
x
3 4 x
y=sinx
振幅相同
2
5
0
2
0
2
0
y
3
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
2
1
13 2 7 2
o
-１
6
2
2
x
-2
-3
1 例1画出函数y=2sinx xR；y= sinx xR 2
y=Asin(wx+)的图像与性质2
2
o
π
3π 2
2π
x
函数y=Asin(ωx+ ),(A>0,ω>0),中的常数 ϕ 函数 y=Asin(ωx+ ϕ ),(A>0,ω>0), 中的常数 A 、 ω 、 有如下影响： 像有如下影响：
对其 图
正数A决定了函数y=Asin(ωx+ 的值域为[ A,A];正弦曲线在正数A决定了函数y=Asin(ωx+ )的值域为[-A,A];正弦曲线在之间往复振动。 越大，振动的幅度越大； 越小， A到A之间往复振动。A越大，振动的幅度越大；A越小，振动的幅度 越小，我们把正数A叫做该正弦曲线的振幅。 越小，我们把正数A叫做该正弦曲线的振幅。 2π T = ϕ ω ， ω越大， 正数ω决定了函数y=Asin(ωx+ 越大， 正数ω 决定了函数 y=Asin(ωx+越多； 越小， 该函数的周期越小，在一定的区间里曲线振动的次数越多；ω越小， 1 ω 该函数的周期越大，在一定的区间里曲线振动的次数越少。 该函数的周期越大，在一定的区间里曲线振动的次数越少。在单位 f = = T 2π 叫做该正弦曲线的频率。 时间里曲线振动的次数 叫做该正弦曲线的频率。
深化与探究
、（2002年高考．全国文史类 如图某地一天从６时至１４时 年高考． 如图某地一天从６ １４时 例4、（ 、（ 年高考 全国文史类)如图某地一天从 时至１４ 的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b求这段时间 的温度变化曲线近似满足函数 求这段时间 的最大温差．写出这段曲线的函数解析式． 的最大温差．写出这段曲线的函数解析式．
p 例5.已知函数y=Asin(wx+j )+C(a>0,w>0,j < )在同一周期 2 中的最高点的坐标为（2， 2），最低点的坐标为（8， 4）， 求函数的解析式。
正余弦函数的图象
7π/12 3π/2 -3
5π/6 2π 0
法 2：图象变换法
A: 1 ω: 1 φ:0
π/12 π/3 7π/12 5π/6
3 2
π
3
o
-π/6 -１
x
动画1
动画2 动画2 返 回 小结
-2 -3
y
3 2 1
−
π
y=3sin(2x+ 3 ) y=sinx
π
3
5π 6
π
3
−
π
6
o
-１
π
π
o 例2 已知： < α < 已知：
π
分析： 分析：
y
P
T
2 α角的终边
sin 求证： 求证： α
< α < tan α
x
O M A
sin α = MP =︱MP︱ tan α = AT =︱AT︱
AP
sin α ？α ？ tan α
︱MP︱ ？AP ？ ︱AT︱
S
∆ OAP
S 扇OAP
S ∆OAT
y=sin(x+ φ) φ)的图象 (2)
各点纵坐标不变,横坐标伸(0<w <1)或缩短(w>1)到原来的1/w倍
y=sinwx的图象 y=sinwx
沿x轴向左(φ>0)或向右(φ<0)
(2)
平行移动︱ /w个单位 平行移动︱ φ ︱/w个单位
φ)的图象 y=sin(wx+ φ) (3) 各点横坐标不变,纵坐标伸长
)] 的图象
y=cos2x 的图象
y=cos2x 的图象
沿x轴向右 平移个 单位
35函数y=sin(wx+)图象
常立志不如立长志 1 35函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 基础盘查一 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
(人教A版教材习题改编)函数y＝23sin12x－π4的振幅为________，周期为________，初相为________． 基础盘查二 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤 (人教A版教材例题改编)用“五点法”作函数y＝2sin13x－π6的图象，试写出相应的五个点坐标． 基础盘查三 y＝sin x变换到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤 1．判断正误 (1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象( ) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍( ) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象( ) (4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0( )
(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2( ) 2．(人教A版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象，则这个简谐运动的函数表达式为________________． 考点一 求函数y＝Asinωx＋φ的解析式|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ 2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法，即把已知点的坐标代入三角函数式y＝Asin(ωx＋φ)＋b，求出需要确定的系数A，ω，φ，b，得到三角函数的解析式． [题组练透]
y=sin(wx+ψ)图像与性质
ω x + ϕ 称为“相位” . 称为“相位” ϕ x=0时的相位，称为“初相”. 时的相位， 时的相位 称为“初相”
π 1 y = 2sin x − 6 3
x ∈ [0,+∞)
周期，振幅，频率，相位，初 相分别是多少？
下图是某简谐运动的图象.试根据图 例1. 下图是某简谐运动的图象 试根据图 象回答下列问题: 象回答下列问题 (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各 这个简谐运动的振幅、 这个简谐运动的振幅 是多少？ 是多少？ (2)从O点算起 到曲线上的哪一点 表示 点算起, 从 点算起 到曲线上的哪一点, 完成了一次往复运动？如从A点算起呢 点算起呢？ 完成了一次往复运动？如从 点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式 写出这个简谐运动的函数表达式. 写出这个简谐运动的函数表达式
练习巩固 1 5.函函y＝ 3 sinx，y＝4sinx的图象是由y＝sinx的图象 作怎样的变换而得到？
解: 把函函y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/3 倍(横坐标不变)即得到y＝ 1 sinx的图象.
3
把函函y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍 (横坐标不变)即得到y＝4sinx的图象.
ω＞0）对 y = sin( ωx + ϕ)的图象的影响
0
例2.y＝sin2x ，y＝sin
π
2x
0
π
0
4
π
2
3π
2
π
0
3π
4
π
2
2π
sin 2 x
y
1
−1
0
1
－π
Y＝sin2x Y＝sin1 x 2 Y=sinx
π