第13讲二次函数的应用
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二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
2023中考复习大串讲初中数学第13课时二次函数的应用 课件(福建版)
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)，
∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合，
假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)，
∴
yP＝－2xP＋n， yP＝－2xP＋10，
解得n＝10.
∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点， 使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不 存在，请说明理由.
解：存在M点满足条件． 作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N， 易得PQ的解析式为y＝－x＋2，∴Q(0，2)， ∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)，
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
解：设AD＝x m，矩形菜园ABCD的面积为S m2，
则S＝12
x(100－x)＝－
1 2
(x－50)2＋1
250，
若a≥50，则当x＝50时，S最大，最大值为1 250；
若0＜a＜50，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，
当x＝a时，S最大，最大值为50a－ 1a2， 2
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：13二次函数的应用
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第13讲┃二次函数的应用
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探究一 利用二次函数解决抛物线形问题
例1 [2013· 新余模拟] 如图13－2，排球运动员站在点O处练习发 球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m) 与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水 平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球既能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
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第13讲┃二次函数的应用
∵点(0，2)在y＝a(x－6)2＋h的图象上，∴2＝a(0－6)2＋ 2－h 2－h h，a＝ ，函数关系式可写成y＝ (x－6)2＋h. 36 36 1 (1)当h＝2.6时，y与x的关系式是y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 解
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1 ×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，所以球会 60
第13讲┃二次函数的应用
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实 际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的 解析式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解 析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答 案．
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第13讲┃二次函数的应用
(2)球能越过球网，球会出界． 1 理由：当x＝9时，y＝－ ×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球 60 能过球网； 1 当y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2 39 >18，x2＝ 60 6－2 39(舍去)，故球会出界． 另解：当x＝18时，y＝－ 出界． 2－ h ＋h＞2.43，① 4 由球不出边界可知，当x＝18时，y＝8－3h≤0，② 8 8 由①②，知h≥ ，所以h的取值范围是h≥ . 3 3 (3)由球能越过球网可知，当 x＝9时，y＝
2020届中考数学复习课件：第13讲 二次函数及其应用(一) (共25张PPT)
第三章
第13讲 二次函数及其应用(一) 课前小练 考情分析 知识梳理
例题精讲
随堂练习
-20-
10.(2017·广东,23)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交 x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线 BP与y轴相交于点C.
(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式; (2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.
个单位,再向上平移2个单位得平移前的顶点式,展开化为一般式,就
能得到a,b,c.
解析:∵y=x2-3x+5=(x-3)2+11,
24
∴顶点坐标为
3 , 11
24
,∴平移前抛物线的顶点坐标为
− 3 , 19
24
.
∴平移前的抛物线解析式是 y=(x+3)2+19,
24
展开后是 y=x2+3x+7,∴a+b+c=11.
第三章
第13讲 二次函数及其应用(一) 课前小练 考情分析 知识梳理
例题精讲
随堂练习
-19-
9.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5). (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
解:(1)设以A(-1,4)为顶点的二次函数为y=a(x+1)2+4, 把B(2,-5)代入得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1, ∴所求二次函数解析式是y=-x2-2x+3. (2)∵当x=0时,y=3;当y=0时,-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1, ∴该函数图象与坐标轴交点坐标为(0,3),(-3,0),(1,0).
第13讲 二次函数的应用【2021中考数学一轮复习考点指导】
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元， 当每瓶洗手液的售价定为多少元时， 超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
12k＋b＝90，
k＝－5，
根据题意得：14k＋b＝80， 解得：b＝150.
解：(1)抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋8， 直线AB的解析式为y＝2x－1； (2)存在，理由：如解图，二次函数对称轴为x＝1，则点C(1，1)， 过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D(x，－x2＋2x＋8)，
点H(x，2x－1)，∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝12 DH(xC－xA)＝
6. (2019·通辽)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过 抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式； (2)在抛物线上A，M两点之间的部分(不包含A，M两点)，是否存在点D， 使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形 是平行四边形时，直接写3.75分钟 D. 4.25分钟
2. (2019·襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2， 则小球从飞出到落地所用的时间为__4__s.
3. (2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发 现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15， 且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗 手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
12k＋b＝90，
k＝－5，
根据题意得：14k＋b＝80， 解得：b＝150.
解：(1)抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋8， 直线AB的解析式为y＝2x－1； (2)存在，理由：如解图，二次函数对称轴为x＝1，则点C(1，1)， 过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D(x，－x2＋2x＋8)，
点H(x，2x－1)，∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝12 DH(xC－xA)＝
6. (2019·通辽)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过 抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式； (2)在抛物线上A，M两点之间的部分(不包含A，M两点)，是否存在点D， 使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形 是平行四边形时，直接写3.75分钟 D. 4.25分钟
2. (2019·襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2， 则小球从飞出到落地所用的时间为__4__s.
3. (2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发 现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15， 且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗 手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
北师大版九上数学第十三课时二次函数的实际应用
青岛长江学校
模块一 自学
青岛长江学校
二、自学指导：
1.建立准确的二次函数模型。 2.对称轴不在已知的自变量范围之内，要借助开 口方向和增减性解决问题。 3.明确所求，说明围法。
Hale Waihona Puke 青岛长江学校一、自学任务：（鸡场类问题）
如图,现有长为24m的篱笆,一面靠墙(墙长为10 m),围成中间间隔一道篱笆的长方形花圃，设花 圃宽AB为xm,面积为s㎡. (1)求S与x的函数关系式; (2)如果要围成面积为45 的花圃,AB的长是多少; (3)能围出比45 更大的花圃吗?若能,求出最大的面 积;若不能,请说明理由.
青岛长江学校
根据对徐州市相关的市场物价调研，预计进入夏季 后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售 利润y 1（千元）与进货量x（吨）之间的函数有 y1=kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2 （千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax²+bx 的 图象如图②所示.
青岛长江学校
（1）分别求出y 1、y 2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨， 设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获 得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数 关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销 售利润之和最大，最大利润是多少？
例1.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中 的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax²+bx(a≠0）表示.已知 抛物线上B,C两点到地面的距离均为3/4m,到墙边似的距离分别 为1/2m,3/2m. (1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离; (2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线 型图案?
中考数学总复习【第13讲 二次函数的应用】
(2)如解图，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，交 BC 于点 F， 过点 C 作 CG⊥DE 于点 G， 依题意设 D(a，12a2－32a－2)，则 F(a，12a－2)． 其中 0＜a＜4， ∴FD＝12a－2－(12a2－32a－2)＝－12a2＋2a， ∴S＝S△BFD＋S△FCD ＝12FD·BE＋12FD·CG
【方法指导】1.利用二次函数解决利润最值问题思路 (1)一般设售价为x，然后用x表示出销售量； (2)利用“总利润＝每件商品所获利润×销售量＝(售价－成本)×销售量”，建立利 润与售价之间的二次函数关系式； (3)根据题意得出售价x的取值范围； (4)利用二次函数的性质，结合x的取值范围得出销售利润的最大值． 2. 利用二次函数解决利润最值问题的一般步骤 (1)根据实际问题中的数量关系列二次函数解析式，应用配方法得顶点式； (2)依据实际问题，找出自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内，根据二次函数的最值或增减性确定最大值或最小值．
5. (2019·通辽)已知，如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为 M(1，9)，经过抛物线上的两点A(－3，－7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于 点C. (1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式； (2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点D，使得 S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四 边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
解：(1)抛物线表达式为：y＝a(x－1)2＋9， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝－1， 故抛物线的表达式为：y＝－x2＋2x＋8则点B(3，5)， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式 并解得直线AB的表达式为y＝2x－1；
第13讲：二次函数
Ｉ定义 ： 如 ． 形 的函数叫二次 函数． ２ 图象 ： ． 二次 函数 的图象是 ， 它是 轴
对称图形 ， 对称轴是 ３ 二 次 函数 解 析 式 的形 式 有 ： ．
（） 般式 ： １一 —ｎ ＋ ＋ｃａ ） （ ≠Ｏ
．
（ ） 点式 ： ２顶 —ａ ｚ一 ）＋ ｋ ｎ ０ ， 点 为 （ ， （ 。 （≠ ）顶 ＾
轴 交 于 点 Ｂ， Ｓ ｍＢ ６ 且 △ 一 ． （ ） 点 Ａ 与点 Ｂ 的 坐 标 ； １求
图 ２
篓 ⑩
一
（） ２ 求此二次雨数 的解析式 ； （） ３ 如果 点 Ｐ在 轴上 ， ＡＡＢ 且 Ｐ是 等腰 三 角
形， 求点 Ｐ 的坐 标 ． （０ ８ 枣 庄 ） ２０ ， 是
物线 的解 析 式 不 易 出错 ； 常见 的错误是 利用 函数图象 直接写 出不等式解 集 ， 以为 是 １ 误 ＜
＜ ３ 这 是 不 会 看 图 所 致 ． 际 ， 实
Ｏ
／
上不等式 的解集 是抛物线 高于
直 线 的部 分 ， ： １ ｘ ３ 即 ＜ 或 ＞ ．
（ 一１ ＋４的 图象 与 轴交 于点 Ａ， ） 与 轴的负 半
一
鱼 于 点 Ｅ 交 ＢＤＴ／ ＸＣ．
，
比例 函数 ｙ ｋ（ ＞０ 的图象 ＝ 忌 ）
上， 过点 Ｍ 作 ＭＥ上 Ｙ轴 ， 点 过 ～ 作 ＮＦ ｌ 轴 ， 足 分 别 为 ＿ 垂
图 ８
、。 ＼ Ｆ ＼
图 ９ ２ —
（） １ 若点 Ｄ 坐标 是 （ ， ） 一８ Ｏ ，
图９ ３ —
第１ ３讲
Ｊ 厂 …． 一
二 次 函数
（） ３对称轴 ： （） 大（ ） ： ４最 小 值 Ｙ随 增大而 而 大而
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第13讲二次函数的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为：y = ax^2 + bx
+ c，其中a、b、c为常数。
在现实生活中，二次函数有着广泛的应用，
涵盖了很多领域。
一、高空抛物线
抛物线的运动是一种经典的二次函数应用。
当一个物体在空中受到重
力的作用时，它的运动轨迹形状和二次函数类似。
在假设空气阻力忽略不
计的情况下，物体的抛射轨迹可以用二次函数来描述。
通过求解二次函数
的根，可以得到物体落地的位置和飞行的最远距离等信息。
二、汽车行驶
汽车的行驶过程中，行驶里程和燃油消耗之间存在着一种二次函数关系。
假设行驶里程为x，燃油消耗为y，我们可以用二次函数来拟合这一
关系。
通过求解二次函数的顶点，可以得到行驶里程与燃油消耗的最优值，帮助人们节约燃料。
三、投射口和落地点
在射击、炮击等领域，求解投射物的飞行路径也是一个常见的二次函
数应用。
通过给定的发射角度、初速度和重力加速度等参数，可以求解二
次函数的顶点，从而确定投射物的最远射程和落地点。
四、电力消耗
在电力行业，二次函数也有着广泛的应用。
以家庭用电为例，当电器
设备使用时间增加时，电力消耗的变化可以用二次函数来描述。
通过求解
二次函数的顶点，可以确定使用时间和电力消耗的最佳组合，以实现节能
降耗的目的。
五、建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的空间形状和结构。
例如，拱门的形状可以用二次函数来描述。
通过求解二次函数的参数，可以
得到拱门的最大宽度和高度，帮助设计师合理规划建筑结构。
六、自然界现象
自然界中也有很多可以用二次函数来描述的现象。
例如，花朵的开放
过程可以用二次函数来描述开放程度随时间的变化。
通过求解二次函数的
顶点，可以确定花朵开放的最佳时间点。
总结起来，二次函数在现实生活中的应用广泛。
它可以用来描述运动、行驶、电力消耗、建筑设计等各种现象和过程。
通过求解二次函数的顶点、根等，我们可以得到很多有用的信息，帮助人们做出最佳决策，提高效率、节约资源。
因此，学习和理解二次函数的应用是非常重要的，它将为我们
的生活和工作带来很多帮助。