中考数学一轮复习第15讲 二次函数的应用及综合问题(讲练案)(解析版)
2024年数学九年级一轮复习二次函数的应用课件
[变式] 如图所示,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面
2 m,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点P到喷水枪AB所
在直线的距离为1 m,且到地面的距离为3.6 m,则水流的落地点C到水
枪底部B的距离为 2.5 m .
二次函数的综合
[例3] 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2-2ax+3(a<0)与y
行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当
AB= 150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.
求面积最大(小)值问题,常以三角形、四边形、圆等基
本图形为背景,以某条变化的线段的长度为自变量,构建二次函数模型
求解.
[变式] 如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB
2
解:(3)当 x=0 时,y=- (x-3) +5= .设扩建改造后水柱所在抛物线(第一
2
象限部分)的函数解析式为 y=- x +bx+ .
2
∵该函数图象过点(16,0),∴0=- ×16 +16b+ ,解得 b=3.
∴扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
当 10<x≤12 时,y=200,W=(x-6)y=200(x-6)=200x-1 200,
∵200>0,∴W 随 x 增大而增大.
又∵10<x≤12,∴当 x=12 时,W 最大,此时 W=1 200.
∵1 250>1 200,∴W 的最大值为 1 250.
2024年中考数学考一轮复习课件：二次函数的应用
例1 某商店销售的某种商品的进价为每件30元，这种商品在第x天的日 销售价与日销售量的相关信息如表.(1≤x≤60，x为整数)
第x天
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价/(元/件) 0.5x＋35
50
日销售量/件
124－2x
设该商品的日销售利润为w元. (1)直接写出w与x的函数关系式________________________；
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2，
∴C1的最高点坐标为(3,2)，
∵点A(6,1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上，
∴1＝a(6－3)2＋2， ∴a＝－19， ∴抛物线 C1：y＝－19(x－3)2＋2， 当x＝0时，c＝1.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A的水平距离不超过1 m的范围 内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)， 则抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0,0.7)代入得0.7＝25a＋3.2， 解得a＝－0.1， ∴y＝－0.1(x－5)2＋3.2＝－0.1x2＋x＋0.7. 答 抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋x＋0.7.
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m处，身高1.6 m的小 红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平 距离.
设这段抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.
∵该抛物线过点(3,0)，
∴0＝a(3－1)2＋3， 解得 a＝－34.∴y＝－34(x－1)2＋3. ∵当 x＝0 时，y＝－34×(0－1)2＋3＝－34＋3＝94， ∴水管的设计高度应为94 m.
4.随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中.某公司推出一款新 型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销 售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的 销售价格为y(单位：元)，y与x的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).
中考数学一轮复习课件二次函数综合题
【夺分宝典】
二次函数在区间内的最值：
当m≤x≤n时，求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值和最小值.
若a＞0，最大值是ym，最小值为yn；若a＜0，最大值为yn，最小值为ym；
若a＞0，在对称轴处取得最小值，在离对称轴远的点处取最大值；若a＜0，在对称轴处取得最大值，在离对称轴远的点处取最小值；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.
5.（2023·宁夏）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是（－1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1.
（1）抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3 ；
y＝－x2＋2x＋3
巩固训练
（2）设P是直线BC上方抛物线上一点，求△PBC的最大面积及此时点P的坐标.
2.在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t.
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上.若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD∥x轴.如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的解析式.
4.如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上.设点B（t，0），当t＝2时，BC＝4.
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
中考数学一轮复习讲义第15讲 二次函数
中考数学一轮复习讲义考点十五：二次函数聚焦考点☆温习理解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
中考二次函数的应用与综合问题
第15讲二次函数的应用与综合问题1.掌握二次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，会利用二次函数的图象、性质解决方程（组）、不等式（组）的问题.2.掌握用二次函数模型解决实际问题3.会解决二次函数与其他知识的综合问题1．（2019•温州三模）抛物线y＝x2与坐标轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】解方程x2＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），计算当x＝0时，y＝x2＝0得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），从而可判断抛物线y＝x2与坐标轴交点的个数．【解答】解：当y＝0时，x2＝0，解得x1＝x2＝1，则抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），当x＝0时，y＝x2＝0，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），所以抛物线y＝x2与坐标轴交点的个数是1．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．（2019秋•镇海区校级期中）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B （1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【思路点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1），所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．3．（2019春•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（）A．48m2，37.5m2B．50m2，32m2C．50m2，37.5m2D．48m2，32m2【思路点拨】设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．【解答】解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则S＝x×（20﹣x）＝﹣（x2﹣20x）＝﹣（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）∵﹣＜0∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50∵墙长为15m∴当x＝15时，S最小S最小＝15××（20﹣15）＝37.5∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地根据实际问题列出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．4．（2019秋•柯桥区期中）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①b＝2a；②c﹣a＝n；③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以①错误；②当x＝1时，y＝n，所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a，所以﹣a+c＝n，所以②正确；③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），即对称轴为x＝1，且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；所以③正确；④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x根据图象可知：把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x，即ax2+（b+2）x＜0．所以④正确；⑤一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0△＝（b﹣）2﹣4ac因为根据图象可知：a＜0，c＞0，所以﹣4ac＞0，所以△＝（b﹣）2﹣4ac＞0所以一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．5．（2019•鄞州区模拟）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x＝2，则OB﹣OA的值为4．【思路点拨】先A（x1，0），B（x2，0），可知x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，根据对称轴得：b ＝﹣4a，由根与系数的关系可计算OB﹣OA的值．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，∵抛物线的对称轴是：x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，由图可知：x1＜0，x2＞0，∴OB﹣OA＝x2﹣（﹣x1）＝x2+x1＝﹣＝﹣＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象对称轴、一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是结合图象进行解题．1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s. 2.二次函数与不等式（组）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设实际问题中的变量（2）建立变量与变量之间的函数关系（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义（4）利用函数的性质解决问题（5）写出答案【考点一二次函数与方程（组）】例1．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【思路点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．【变式训练】1．（2019秋•温州期末）抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴交点的个数．【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．（2018•绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【思路点拨】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．3．（2019秋•临海市期末）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n的值为（）A．8B．12C．15D．16【思路点拨】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝﹣对称，所以A（﹣+4，n），B（﹣﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．【解答】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B关于直线x＝﹣对称，∴A（﹣+4，n），B（﹣﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（﹣+4）2+b（﹣+4）+c＝﹣b2+16+c，∵b2＝4c，∴n＝16．故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是记住△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．【考点二二次函数与不等式（组）】例2．（2019秋•萧山区期中）设函数y1＝（x﹣2）（x﹣m），y2＝，若当x＝1时，y1＝y2，则（）A．当x＞1时，y1＜y2B．当x＜1时，y1＞y2C．当x＜0.5时，y1＜y2D．当x＞5时，y1＞y2【思路点拨】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【解答】解：当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，∴m＝4，∴y1＝（x﹣2）（x﹣4），抛物线的对称轴为：x＝3，如下图：设点A、B的横坐标分别为1，5，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B处，即x＝5时，y1＞y2，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．【变式训练】1．（2019•拱墅区校级模拟）已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【思路点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．2.（2019秋•新昌县校级月考）已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．＜x＜2B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【思路点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．3．（2018•海宁市一模）如图，已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧），与y 轴相交于点C，直线y2＝kx+b经过点B，C（1）求直线BC的函数关系式；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．【思路点拨】（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C的解析式，把B、C的坐标代入直线的解析式，即可求出答案；（2）根据B、C点的坐标和图象得出即可．【解答】解：（1）抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或1，即A的坐标为（﹣1，0），B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），把B、C的坐标代入直线y2＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝﹣3，即直线BC的函数关系式是y＝x﹣3；（2）∵B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．【考点三二次函数的实际应用】例3．（2019•东阳市模拟）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点【思路点拨】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．【变式训练】1．（2019•柯桥区模拟）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【思路点拨】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，当t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．2．（2019•舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015求：①m关于p的函数表达式；②用含t的代数式表示m．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）【思路点拨】（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4中，便可求得h；（2）①由表格可知，m是p的一次函数，由待定系数法可解；②分别求出当10≤t≤25时和当25≤t≤37时的函数解析式即可；③分别求出当20≤t≤25时，增加的利润和当25＜t≤37时，增加的利润，然后比较两种情况下的最大值，即可得结论．【解答】解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4得：0.3＝（25﹣h）2+0.4解得：h＝29或h＝21，∵25≤t≤37∴h＝29．（2）①由表格可知，m是p的一次函数，设m＝kp+b把（0.2，0），（0.3，10）代入得解得∴m＝100p﹣20．②当10≤t≤25时，p＝t﹣∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，p＝﹣（t﹣h）2+0.4∴m＝100[﹣（t﹣h）2+0.4]﹣20＝（t﹣29）2+20∴m＝③当20≤t≤25时，增加的利润为：600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；当25＜t≤37时，增加的利润为：600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及一次函数和二次函数的实际应用，难度较大．【考点四二次函数的综合题】例4．（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．【思路点拨】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．【解答】解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m＝或（舍弃），当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），∴当≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．【变式训练】1．（2018•舟山）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【思路点拨】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组，解得，∴点E（，），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜∴0＜b＜．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣＝﹣b，∴b＝，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．第15讲二次函数的应用与综合问题一、选择题1．（2019•镇海区一模）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1【思路点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．（2019•富阳区一模）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（其中m为常数），该函数图象与y轴交点在x轴上方，则m的取值范围正确的是（）A．m＞3B．m＞﹣3C．m＜3D．m＜﹣3【思路点拨】题干中的二次函数解析式为交点式，由该函数图象与y轴交点在x轴上方，我们需要确定图象与y轴的交点，只要将其化为一般式，令常数项大于0即可．【答案】解：将y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）展开得，y＝2x2﹣（2m+8）x+2m+6．∵该函数图象与y轴交点在x轴上方∴2m+6＞0解得，m＞﹣3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数解析式与图象的联系，通过解析式判断图象与坐标轴交点坐标的方法．3．（2019•慈溪市模拟）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（）A．4B．2C．6D．9【思路点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【答案】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米【思路点拨】根据t＝时，s＝6和函数中的解析式，可以求得b的值，然后将函数解析式化为顶点式即可解答本题．【答案】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，6＝﹣6×+b×，解得，b＝15∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式解答．5．（2019•龙湾区一模）把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为h＝10t﹣t2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（）A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤50【思路点拨】由题意可得方程10t﹣t2＝a，由存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a，故△＝b2﹣4ac＞0，即可求出相应的范围【答案】解：∵a≥0，由题意得方程10t﹣t2＝a有两个不相等的实根∴△＝b2﹣4ac＝102+4××a＞0得0≤a＜50又∵0≤t≤14∴当t＝14时，a＝h＝10×14﹣×142＝42所以a的取值范围为：42≤a＜50故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．6．（2019•上城区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（，y）是函数图象上一点，则y＞0；②若点（﹣），（）是函数图象上一点，则y2＞y1；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．②③【思路点拨】先根据抛物线经过的三点可判断抛物线开口向下，利用函数图象，当x＝时，y＞0，可对①进行判断；比较点（）和（）到对称轴的距离可对②进行判断；由于x＝1，y＞0；x＝﹣1，y＜0，则a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，于是可对③进行判断．【答案】解：∵抛物线经过点（0，m）（2，m）（m＞0），（x1，0）（﹣1＜x1＜0），∴抛物线开口向下，＜﹣＜1，∴当x＝时，y＞0，则①正确；∵点（）到对称轴的距离比点（）到对称轴的距离小，∴y1＞y2，所以②错误；∵x＝1，y＞0；x＝﹣1，y＜0，即a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，则③正确．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7．（2018秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象经过A（﹣4，﹣4），B（6，﹣4）顶点为P，则下列说法中错误的是（）A．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解为﹣4＜x＜6B．关于x的方程a（x+4）（x﹣6）﹣4＝0的解与ax2+bx+c＝0的解相同C．△P AB为等腰直角三角形，则a＝﹣D．当t≤x≤t+2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥0【思路点拨】根据抛物线的图象在y＝﹣4的上方的自变量x的取值范围判断A的正误；根据抛物线与直线y＝﹣4的交点坐标判断B的正误；求出C的坐标，再用待定系数法求a；根据0≤t＜1时二次函数的最大值进行判断．【答案】解：由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象位于A（﹣4，﹣4），B（6，﹣4）两点之间部分在y＝﹣4的上方，即不等式ax2+bx+c＞﹣4的解为﹣4＜x＜6，故A正确；由题意知，当x＝﹣4或6时，a（x+4）（x﹣6）﹣4＝﹣4，又因二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的图象经过A（﹣4，﹣4），B（6，﹣4）有当x＝﹣4或6时，y＝ax2+bx+c＝﹣4，所以a（x+4）（x﹣6）﹣4＝ax2+bx+c，则关于x的方程a（x+4）（x﹣6）﹣4＝0的解与ax2+bx+c＝0的解相同，故B 正确；由题意得，P点的横坐标为：，则P点纵坐标为：a+b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c，若△P AB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，有﹣a+c+4＝（6+4），得c＝1+a，则抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+x＝ax2﹣2ax+a+1，把A（﹣4，﹣4）代入，得﹣4＝16a+8a+a+1，解得a＝﹣，故C 正确；由图象可知，当0≤t＜1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标＞at2+bt+c，故D错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，采用数形结合的思想，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键，有一定的难度．8．（2019•杭州模拟）关于x的二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次数学研究课上得到以下结论：①当k＝1时，二次函数图象顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象对称轴在直线x＝左侧；③当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象在x轴上截得线段长小于；④当k＞0时，点M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象上一点，若＜x0＜1，则y0＜0；则以上研究正确的是（）A．①③B．②③④C．①④D．①③④【思路点拨】①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，对称轴在x＝的右侧；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，，，则有|x1﹣x2|＝＝小于；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，y0＜0；【答案】解：①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；①正确；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，∴x＞，对称轴在x＝的右侧，∴②错误；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，△＝（3k+1）2≥0，，，∴|x1﹣x2|＝＝＜，∴③正确；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，∴y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，∵＜x0＜1，k＞0，∴当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，∴y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，∴y0＜0；综上所述，y0＜0；④正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题，灵活运用韦达定理是解题的关键．二、填空题9．（2018•临海市一模）已知一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝5的两个实数根分别为x1，x2．则抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．【思路点拨】由一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝5的两个实数根分别为x1、x2，可得出抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）﹣5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），即y＝（x﹣1）（x﹣3）﹣5＝（x﹣x1）（x﹣x2），变形后可得出y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+5＝（x﹣1）（x﹣3），即抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），此题得解．【答案】解：∵一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝5的两个实数根分别为x1、x2，∴抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）﹣5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），∴y＝（x﹣1）（x﹣3）﹣5＝（x﹣x1）（x﹣x2），∴y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+5＝（x﹣1）（x﹣3），∴抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．故答案为：（1，0）、（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据二次函数的交点式直接找出抛物线与x轴的交点是解题的关键．10.（2018秋•下城区期末）已知函数y1＝﹣（m+1）x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A（4，﹣4）．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【思路点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣（m+1）x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点（0，2），然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A（4，﹣4）代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣（m+1）＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣（m+1）x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点（0，2），∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．11．（2019•婺城区模拟）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时（不包括A、B），将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是a＝﹣1，a≤﹣或a≥．【思路点拨】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标。
中考数学专题复习_第十五讲__二次函数的应用(含详细参考答案)
第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式方程无解，故P（-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．1．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．∴抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），即y=-x2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）12121212对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B．8C．±8 D．62．B考点三：二次函数的实际应用例3 （2013•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．解：（1）由题意得出：w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，∵-2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．解得x^=25，x2=35．∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．对应训练3．解：（1）选择二次函数，设y=ax 2+bx+c （a≠0）， ∵x=-2时，y=49， x=0时，y=49， x=2时，y=41，∴4249494241a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩， 解得1249a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，y 关于x 的函数关系式为y=-x 2-2x+49； 不选另外两个函数的理由：∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上， ∴y 不是x 的反比例函数，∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上， ∴y 不是x 的一次函数；（2）由（1）得，y=-x 2-2x+49=-（x+1）2+50， ∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y 有最大值为50，即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ， ∴平均每天该植物高度增长量超过25mm ，当y=25时，-x 2-2x+49=25，整理得，x 2+2x-24=0， 解得x 1=-6，x 2=4，∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，实验室的温度应保持在-6＜x ＜4℃．考点四：二次函数综合性题目对应训练4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22【聚焦山东中考】1．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．）B．（2，2）C．，2）D．（2）1．C2．（2013•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．2．解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．由题意得：y=x（90-x）×20=-20（x2-90x）=-20（x-45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500．答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．3．（2013•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：60DG =3330=3x AD+DE+BE=AB ，；交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断【备考真题过关】一、选择题1．（2013•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．31．B2．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜02．DA．16 B．15 C．14 D．133．C二、填空题4．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．4．0或15．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．15．6．4n三、解答题大．故答案为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大．10．（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02) 5130(26)x xx x+<≤⎧⎨-+<<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)tt t<≤⎧⎨-+<<⎩。
初三总复习第15课时__二次函数的应用
(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？ 最大利润是多少元？
题型训练
解：(1)关系式为S＝x(－10x＋1 200)－40(－10x＋1 200)
＝－10x2＋1 600x－48 000.
(2)∵a＝－10＜0，
真题再现
2．(2016宿迁)某景点试开放期间，团队收费方案如下： 不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过 m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元； 超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待 有x名游客的某团队，收取总费用为y元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数 量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这 一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而 增加，求m的取值范围．
知识清单
考点 二次函数的应用
1. 应用二次函数解决实际问题的方法 (1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变 量，y是x的函数； (2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式； (3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值 范围；
(4)解：利用相关性质解决问题； (5)答：检验后写出合适的答案．
∴当x＝
b 2a
1600
2 10
＝80时，S有最大值，
S最大值＝－10×802＋1 600×80－48 000＝16 000.
答：当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最
大，最大利润是16 000元．
题型训练
方法点拨
在销售问题中，一般情况下售价越低则销量越 大，但每件商品所获得的利润越小，由此根据“利润 ＝销售量×每件商品所获得的利润”可列出二次函数 解析式，通过求二次函数的最大值可求得销售中的 最大利润．
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第三单元函数与平面直角坐标系第15讲二次函数的应用及综合问题知识点名师点晴二次函数的实际应用1．常见题型1>抛物线形类2>商品销售类3>几何类2．应用二次函数解决实际问题的步骤1>找问题中的变量和常量以及他们之间的函数关系式2>列函数表达式表示他们之间的关系3>应用二次函数的图象及性质解决问题4>检验结果的合理性二次函数在提二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。
一次函数与二次函数的综合运用一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决问题。
（1）解决含多个变量的问题时，先注意分析这些变量之间的关系，然后从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决实际问题的数学模型。
（2）选择最住方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函教之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最住方案；学习函数之后，我们可以利用函教的性质，直接求出最住方案。
1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2 C．y=﹣12x2D．y=12x2【答案】C【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a，解得a=-12，那么y=﹣12x2．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO=（）A．8：1 B．6：1 C．5：1 D．4：1【答案】B【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，将点A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b中得：2k bb+=⎧⎨=⎩，解得：22kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2；将点B（0，2）代入到y=a（x+1）2+1中得：2=a+1，解得：a=1，∴二次函数的解析式为y=（x+1）2+1=x2+2x+2．将y=﹣2x+2代入y=x2+2x+2中得：﹣2x+2=x2+2x+2，整理得：x2+4x=0，解得：x1=﹣4，x2=0，∴点C的坐标为（﹣4，10）．∵点C（﹣4，10），点B（0，2），点A（1，0），∴55∴BC=4AB．∵直线AB解析式为y=﹣2x+2可变形为2x+y﹣2=0，∴|﹣2+1﹣2|=3，|﹣2|=2．∴S△BCD：S△ABO=4×3：2=12：2=6：1．3．小明跳起投篮，球出手时离地面209m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？【答案】（1）y=()21449x --+；(2）不能正中篮筐中心；3米. 【解析】（1）设抛物线为y=()244a x -+，将（0，209）代入，得()2044a -+=209， 解得a=19-，∴所求的解析式为y=()21449x --+；（2）令x=8，得y=()218449--+=209≠3，∴抛物线不过点（8，3）， 故不能正中篮筐中心； ∵抛物线过点（8，209）， ∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移79个单位长度，故小明需向上多跳79m 再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．4．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)y=﹣30x+2100；(2) 每件售价定为55元时，最大利润6750元． 【解析】（1）根据题意可得： y=300+30（60﹣x ） =﹣30x+2100；（2）设每星期利润为W 元，根据题意可得： W=（x ﹣40）（﹣30x+2100）=()230556750x --+， 则x=55时，W 最大值=6750．故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等. 1.在现实生活中，一些物体的形态呈抛物线形，比如有些桥梁、大门、水流、跳绳以及投球、跳水的路在现实生活中，一些物体的形态呈抛物线形，比如有些桥梁、大门、水流、跳绳以及投球、跳水的路线；还有一些事件中数据的变化图象呈现抛物线形。
2.解与之相关的实际问题，就要用到二次函数的知识.我们常把它们放到平面直角坐标系中，利用已知数据，求出二次函数的解析式，再利用函数解析式进一步解决实际问题.3.应用二次函数解决实际问题的步骤（1）一找：找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； （2）二列：列函数表达式表示它们之间的关系； （3）三解：应用二次函数的图象及性质解题；（4）四验：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意.4. 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。
5. 一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决问题。
考点一、利用二次函数解决抛物线形问题例1.（2019▪山西省）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【解析】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-， 故选B.点评：本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 【变式训练】1.如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．【答案】()21y x 649=-++. 【解析】根据题意，选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位.原抛物线的顶点为（6，4），根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（6-，4），即选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=-++.2.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】D 【解析】【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．【解析】当x=0时，y=3，故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确； ∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确； 解方程-x 2+2x+3=0， 得x 1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选：C ．点评：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键．考点二、利用二次函数解决商品销售类问题例2.（2019▪盘锦市）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y 1（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y 2（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y 1/元 …12141618…（1）求y 1与x 之间的函数关系式． （2）求y 2与x 之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y kx b =+，将（3，12）（4，14）代入1y 解方程组即可得到结论；（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设2y 与x 之间的函数关系式为：2y ＝239a x -+（），将（5，10）代入2y ＝239a x -+（）得2539a -+（）＝10，解方程即可得到结论；（3）由题意得到w ＝1y −2y ＝2x ＋6−142x ＋32x−454＝−142x ＋72x−214，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx+b ， 将（3，12）（4，14）代入y 1得，312414k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩，∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1＝2x+6； （2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9）， ∴设y 2与x 之间的函数关系式为：y 2＝a （x ﹣3）2+9， 将（5，10）代入y 2＝a （x ﹣3）2+9得a （5﹣3）2+9＝10， 解得：a ＝14， ∴y 2＝14（x ﹣3）2+9＝14x 2﹣32x+454；（3）由题意得，w ＝y 1﹣y 2＝2x+6﹣14x 2+32x ﹣454＝﹣14x 2+72x ﹣214，∵﹣14＜0，∴w 由最大值，∴当x ＝﹣2b a ＝﹣72124⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝7时，w 最大＝﹣14×72+72×7﹣214＝7． 点评：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式训练】1. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元． 【答案】25【解析】设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=﹣（x ﹣25）2+25， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案为：25．2.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x （x ＞10）只时，所获利润y （元）与x （只）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）50；（2）20.19(1050)4 (50)x x x y x x ⎧-+<≤=⎨>⎩；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】（1）设一次购买x 只，则20﹣0.1（x ﹣10）=16，解得：x=50． 答：一次至少买50只，才能以最低价购买；（2）当10＜x≤50时，y=[20﹣0.1（x ﹣10）﹣12]x=20.19x x -+，当x ＞50时，y=（16﹣12）x=4x ；综上所述：20.19(1050)4 (50)x x x y x x ⎧-+<≤=⎨>⎩；（3）y=20.19x x -+=20.1(45)202.5x --+，①当10＜x≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x=46时，y 1=202.4，当x=50时，y 2=200．∴y 1＞y 2． 即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点三、二次函数在几何图形中的运用例3．（2019▪海南省）如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）265y x x =++；（2）①278；②存在，37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)． 【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①()12PBC C B S PG x x ∆=-，即可求解；②分点P 在直线BC 下方、上方两种情况，分别求解即可． 【解析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16a b =⎧⎨=⎩， 故抛物线的表达式为：265y x x =++…①，令=0y ，则=1x -或5-，即点(1,0)C -；（2）①如图1，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：=+1y x …②，设点(,+1)G t t ，则点()2,65P t t t ++，()()221331516562222PBC C B S PG x x t t t t t =-=+---=---V ， 302<Q ，PBC S ∴V 有最大值，当52t =-时，其最大值为278； ②设直线BP 与CD 交于点H ，当点P 在直线BC 下方时，PBC BCD ∠=∠Q ，∴点H 在BC 的中垂线上，线段BC 的中点坐标为53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 过该点与BC 垂直的直线的k 值为﹣1，设BC 中垂线的表达式为：=+y x m -，将点53,22⎛⎫--⎪⎝⎭代入上式并解得： 直线BC 中垂线的表达式为：=4y x --…③，同理直线CD 的表达式为：=2 +2y x …④，联立③④并解得：=2x -，即点(2,2)H --，同理可得直线BH 的表达式为：112y x =-…⑤， 联立①⑤并解得：32x =-或4-（舍去4-）， 故点37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当点()P P '在直线BC 上方时，PBC BCD ∠=∠Q ，BP CD '∴∥，则直线BP′的表达式为：=2 +y x s ，将点B 坐标代入上式并解得：=5s ，即直线BP′的表达式为：=2 +5y x …⑥，联立①⑥并解得：=0x 或4-（舍去4-），故点(0,5)P ；故点P 的坐标为37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)．【变式训练】在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)21b a =+；2c =；(2)102a -≤<；(3)存在，点()1,2P -或()12,1-或(12,2---. 【分析】(1)求出点A 、B 的坐标，即可求解；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a =-≥，而21b a =+，即：2102a a+-≥，即可求解； (3)过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，11222122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q y y -=，即可求解．【解析】(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，则函数表达式为：22y ax bx =++，将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02b x a =-≥，而21b a =+， 即：2102a a +-≥，解得：12a ≥-， 故：a 的取值范围为：102a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，112221222PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 则1P Q y y -=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1，故：1P Q y y -=，设点()2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +， 即：2221x x x --+--=±，解得：1x =-或12-，故点()1,2P -或 ()12,1-+或(12,2--.点评：主要考查二次函数和与几何图形．解题关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。