变量与函数的定义及应用
华师版八年级数学下册17.1 第1课时 变量与函数的概念及其表示方法教案与反思

17.1 变量与函数随风潜入夜,润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》车前学校陈道锋第1课时变量与函数的概念及其表示方法1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量;初步理解函数的概念,了解自变量与函数的意义;(重点)2.通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力;3.引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.(难点)一、情境导入在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢?二、合作探究探究点一:变量与常量写出下列各问题中的关系式中的常量与变量:(1)分针旋转一周内,旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n=6t;(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时,汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s=40t.解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量,即可答题.解:(1)常量:6,变量:n,t;(2)常量:40,变量:s,t.方法总结:确定在该过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称之为常量.探究点二:函数的相关概念【类型一】识别函数下列关系式中,哪些y是x的函数,哪些不是?(1)y=x;(2)y=x2+z;(3)y2=x.解析:要判断一个关系式是不是函数,首先看这个变化过程中是否只有两个变,其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值.解:(1)此关系式只有两个变量,且每一个x值对应唯一的一个y值,故y 是x的函数;(2)此关系式中有三个变量,因此y不是x的函数;(3)此关系式中虽然只有两个变量,但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值,如当x=4时,y=±2,故y不是x的函数.方法总结:由函数的定义可知在某个变化过程中,有两个变量x和y,对于每一个确定的x值,y值有且只有一个值与之对应.当x值取不同的值时,y的值可以相等,也可以不相等,但如果一个x的值对应着两个不的y值,那么y一定不是x的函数.根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数.【类型二】判断函数关系判断下列变化过程中,两变量存在函数关系的是( ) A.x,y是变量,y2=4x2B.某人的数学成绩和物理成绩C.三角形的底边长与面积D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间解析:选项中根据x(或y)每取一个值,y(或x)有两个值与其对应,故不存在函数关系,故此选项错误;选项B中数学成绩与物理成并无对应关系,故此选项错误;选项C中高不能确定,共有三个变量,故不存在函数关系,故此选项错误;选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间,存在函数关系,故此选项正确.故选D.方法总结:判断函数关系时,应先看问题中是否仅有两个变量,再看一个变量是否随着另一个变的变化而变化,最后看定一个自变量的值,因变量的值是否有唯一的值与它对应.【类型三】确定实际问题中函数关系式以及自变量下列问题中哪些量是自变量?哪些量是因变量?试写出用自变量表示函数的式子.(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体,它的原长为10cm,挂上重物后弹簧的长度y cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化,每挂1kg物体,弹簧伸长0.5cm;(2)设一长方体盒子高为30cm,底面是正方形,底面边长a(cm)改变时,这个长方体的体积V(cm3)也随之改变.解析:(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度,列式即可;(2)根据长方体的体积公式列出函数关系式.解:(1)y=10+0.5x(0<x≤10),其中x是自变量,y是因变量;(2)V=30a2(a>0),其中a是自变量,V是因变量.方法总结:函数关系式中,通常等式右边的式子中的变量是自变量,等式左边的那个字母表示因变量.三、板书设计1.常量和变量的概念2.函数的概念3.函数关系式变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量,对于我们所熟悉的变化,在用了这两个量的描述之后更加鲜明.函数的概念是学好本章的基础,教学中立足于学生的认知基础,激发学生的认知冲突,提升学生的认知水平,使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来.【素材积累】1、成都,是一个微笑的城市,宁静而美丽。
《变量与函数》_刘同华

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计省份:吉林省临江市学校:临江市光华中学姓名:刘同华通讯地址:吉林省白山市临江市光华中学一、教案背景1,面向学生:□中学□小学2,学科:数学2,课时:13,学生课前准备:一、课前预习了解二、完成导学案二、教学课题:《14.1变量与函数》了解:从具体的事例了解常量、变量的意义.掌握:结合实例,理解函数的概念以及自变量的意义三、教材分析《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书第十四章第一课时的内容。
本章学习的函数内容是将代数与几何结合的枢纽,即是初中学习的重点,也是初中学习的难点,对我们数学学习有着非常重大的意义以及作用。
本节课是本章的第一课,对于本节课起着关键作用,所以本节课设计上让学生精心思考,设计情境激发学生兴趣入手。
让学生感知函数与现实社会的紧密关系,深入理解函数的意义。
四、教学目标1知识技能:了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
2数学思考:让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
3问题解决:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。
【教学重、难点】教学重点:正确理解变量、常量和函数的概念教学难点:函数概念的形成过程教学之前向老教师请教本节课的有关信息,并用百度在网上搜索《14.1变量与函数》的相关教学材料,找了很多教案作参考,熟知到教学的重点和难点,确定课堂教学形式和方法。
然后根据课堂教学需要,利用百度图片搜索生活中的例子是学生更加形象的体会函数在生活中的意义,运用多媒体放给学生观看,让学生在发现生活中的轴对称现象;用百度网上搜索下载视频,观察体会案例。
用已知的常识,通过对函数有关知识的体会,来解决实际问题。
五、教学方法鉴于教材特点及初二学生模仿能力较强,选用引导发现教学法。
让学生通过对所举生活实例的体会进一步感知函数的意义以及函数在生活中的作用,在初步感知的基础上学生找一找、说一说身边的函数知识,充分运用多媒体教具学具,让学生根据体会辨析生活中的变常量以及函数。
随机变量的生成函数与特征函数

随机变量的生成函数与特征函数生成函数和特征函数是概率论中描述随机变量的重要工具。
它们可以帮助我们分析随机变量的性质和进行计算。
本文将介绍生成函数和特征函数的定义、性质以及它们的应用。
一、生成函数生成函数是描述离散型随机变量的一种函数。
假设X是一离散随机变量,它的概率质量函数为p(x),那么X的生成函数定义为:G(t) = E(t^X) = ∑[x∈R] t^x * p(x)其中,E是数学期望运算符,R是X的所有可能取值的集合,t是定义域上的一个复数。
生成函数的主要作用是求解随机变量的各阶距,如一阶、二阶、三阶等矩或原点矩。
假设X的生成函数为G(t),那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为:E(X) = G'(1)E(X^2) = G''(1)E(X^3) = G'''(1)其中,G'表示G的一阶导数,G''表示G的二阶导数,G'''表示G的三阶导数。
数的性质进行计算。
常见的生成函数包括:普通生成函数、指数型生成函数、拉普拉斯型生成函数等。
二、特征函数特征函数是描述随机变量的一种函数。
对于一随机变量X,它的特征函数定义为:Φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[-∞,∞] e^(itx) * p(x) dx其中,E是数学期望运算符,p(x)是X的概率密度函数,t是定义域上的一个实数。
特征函数的主要作用是求解随机变量的分布函数和矩。
通过特征函数,我们可以得到随机变量的概率密度函数为:p(x) = 1/(2π) * ∫[-∞,∞] e^(-itx) * Φ(t) dt其中,Φ(t)是X的特征函数。
特征函数还可以用于求解随机变量的矩。
假设X的特征函数为Φ(t),那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为:E(X) = Φ'(0) / iE(X^2) = Φ''(0) / i^2E(X^3) = Φ'''(0) / i^3其中,Φ'表示Φ的一阶导数,Φ''表示Φ的二阶导数,Φ'''表示Φ的三阶导数,i是虚数单位。
变量定义和相关知识点总结

变量定义和相关知识点总结在计算机程序设计及编程语言中,变量是用来存储数据值的一种标识符或者名称,其值是可以在程序执行过程中改变的。
变量的定义和使用是编程中的基础知识之一,对于程序设计者来说,熟练掌握变量的定义和使用是非常重要的。
变量的定义在编程语言中,变量通常是由一个标识符(identifier)来表示。
一个标识符是一个被程序程序员起来的名字,用来标识一个变量、函数或其它用户定义的项目。
在定义变量时,需要指定变量的类型,以及所要存储的初始值。
在不同的编程语言中,变量的命名规则,定义方式以及类型限制都有所不同,但是基本的思想是一致的。
变量的类型在大多数的编程语言中,变量的类型是需要进行指定的。
不同的变量类型具有不同的数据存储方式和数据范围,其定义和使用方式也有所不同。
以下是一些常见的变量类型:整型(int):整数类型变量用来存储整数值,其范围和存储方式取决于编程语言的不同。
在大多数编程语言中,整型变量可以存储的范围是固定的,例如在C语言中,通常是在-32768到32767之间。
浮点型(float):浮点型变量用来存储实数值,其范围和精度取决于编程语言的不同。
在大多数编程语言中,浮点型变量通常都是可变的,可以存储很大或者很小的数值,并具有一定的小数精度。
字符型(char):字符型变量用来存储字符值,通常是一个ASCII码或者Unicode码值。
在大多数编程语言中,字符型变量的长度通常是固定的,例如在C语言中,通常是一个字节大小。
字符串型(string):字符串型变量用来存储字符串值,即由若干个字符组成的数据。
在大多数编程语言中,字符串型变量的长度是可变的,可以存储任意长度的字符串。
布尔型(bool):布尔型变量用来存储逻辑值,即真(true)或者假(false)。
以上是一些常见的变量类型,不同的编程语言可能还有其它的变量类型。
在使用变量时,需要根据实际的需求选择合适的变量类型,以避免浪费内存空间或者数据类型不匹配的问题。
变量与函数的概念

年份
生产总值 亿元
1998
78345
1999
82067
2000
89442
2001
95933
2002
102398
自变量年份构成一个数集A,国内生产总值构成一个数集B.
对于数集A中的每一个年份x,按照表中的对应值, 都有唯一确定的生产总值和它对应.
问题4:以上4个实例有什么不同点、 相同点?
主要不同点
Function(函数)传统定义
欧拉瑞士数学家、自然科 学家. 是18世纪数学界最 杰出的人物之一 .
波恩哈德·黎曼,德国数 学家、物理学家.
情境体验
问题2:在汽车加油的过程中,加油金额 与加油量之间是函数关系吗?
y 5.14x
问题3: y =1 (x R) 是函数吗?
康托尔(1845.3.3-1918.1.6)德 国数学家,集合论的创始人
Function(函数)近代定义
康托尔(1845.3.3-1918.1.6)德 国数学家,集合论的创始人
维布伦(Veblen, Oswald, 18wald, 1880-1960)美国数学家.
很多数学家也发现函数的传统定义用变量的观点来描述
函数,虽然可以形象生动地描述事物的变化规律,但有一定
的局限性。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之
后,维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了函数近代定
义—“对应说”
探索新知
0x
y
0x
(1)
(2)
(3)
(4)
函数的概念(近代定义 对应说)
定义 设集合A是一个非空的数集,对A
中的任意数 x,按照确定的法则 ,f 都有唯
一确定的数 与y它对应,则这种对应关系
自变量和因变量关系的函数解法绘图及实际问题应用

自变量和因变量关系的函数解法绘图及实际问题应用一、自变量和因变量的概念1.自变量:独立变量,自行变化的量。
2.因变量:依赖变量,随着自变量的变化而变化的量。
二、函数的定义和性质1.函数:自变量与因变量之间的一种对应关系。
2.函数的性质:一一对应、连续、可导、可积等。
三、函数解法绘图1.解析式法:根据函数的解析式,绘制函数图像。
2.列表法:根据自变量和因变量的值,绘制函数图像。
3.图象平移法:根据函数的平移规律,绘制函数图像。
4.函数变换法:根据函数的变换规律,绘制函数图像。
四、实际问题应用1.线性方程的应用:解决生活中的线性问题,如速度、路程、时间的关系。
2.二次函数的应用:解决生活中的二次问题,如抛物线、物体的运动等。
3.三角函数的应用:解决与角度、边长有关的实际问题。
4.反比例函数的应用:解决与比例、面积有关的实际问题。
五、函数解法绘图及实际问题应用的注意事项1.理解自变量和因变量的概念,明确它们之间的关系。
2.掌握函数的定义和性质,了解各种函数的特点。
3.学会使用函数解法绘图,熟练运用各种方法绘制函数图像。
4.将函数知识应用于实际问题,解决生活中的问题。
通过学习自变量和因变量关系的函数解法绘图及实际问题应用,学生可以更好地理解函数的概念和性质,提高解决实际问题的能力。
在教学过程中,教师应注重培养学生的动手操作能力和思维能力,使他们在学习过程中能够真正掌握函数知识,为今后的学习和生活打下坚实的基础。
习题及方法:1.习题一:已知自变量x的取值范围为0到10,求因变量y的值。
解析式:y = 2x + 1解题思路:将x的取值范围代入解析式,得到对应的y的值。
答案:当x=0时,y=1;当x=10时,y=21。
2.习题二:已知自变量x的取值范围为-5到5,求因变量y的值。
解析式:y = x^2解题思路:将x的取值范围代入解析式,得到对应的y的值。
答案:当x=-5时,y=25;当x=5时,y=25。
3.习题三:已知自变量x的取值范围为0到100,求因变量y的值。
变量与函数的概念

函数
对应法则 定义域
值域
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
二次函数
y kx(k 0) R
R
y k (k 0) {x | x 0} {y | y 0}
x
y kxb (k 0)
y ax2 bx c (a 0)
R
R
a
0时{y
|
y
4ac
b2 }
R
4a
a 0时{y | y 4ac b2 }
生长阶段
在玉米生长的32个 时间段内: 给定生长过程中的 某个时间段,就可 以从这张图中查到 与这个时间段相对 应的玉米植株的高 x 度.
(3)下表展示了我国从1998年到2002年,每一年的国内生 产总值.
年份 1998
生产总值(亿元) 78 345
1999
82 067
2000
89 442
2001
技巧点拨:在例3解(2)中,我们用“凑”的方法把等 式右边的式子用变量t=x-1来表示,这样可以帮助你理解 函数符号的意义.事实上,解这一类问题的一般方法叫做 换元法,即在函数表达式中,令t=x-1则x=t-1于是可得
f (t) (t 1)2 t2 2t 1.
1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述函数的概念, 并引入了函数符号y=f(x); 2.突出了函数概念的本质:两个非空数集间的一种确 定的对应关系; 3.明确了函数的三要素:定义域、对应法则和值域; 4.引入了区间,并探讨了几种常见区间的表示方法; 5.学习了具体函数定义域、值域、函数表达式的求法.
f (x 表1)示自变量变换后得到的新函数.
(2)为了找出函数 y f 的(x对) 应法则,我们需要用
x 来1表示 .x 2
自变量和函数

自变量和函数1. 什么是自变量和函数1.1 自变量的定义自变量是指在数学和统计学中,独立变量或输入变量,是一个可以自由取值而不受其他变量影响的变量。
自变量的取值不依赖于其他变量的变化。
1.2 函数的定义函数是指将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的规则。
函数可以看作是自变量到函数值的变换规则,它接受自变量作为输入,并返回与之对应的函数值。
2. 自变量和函数的关系2.1 自变量作为函数的输入在函数中,自变量被视为输入,它决定了函数的行为和输出。
自变量的取值范围和取值方式对函数的结果具有重要影响。
2.2 自变量的取值范围和函数的定义域函数的定义域取决于自变量的取值范围。
自变量通常有一个特定的取值范围,也可以是整个实数集合。
函数的定义域是使得函数有定义的所有自变量的取值。
2.3 自变量对函数的影响自变量的变化会对函数的输出产生影响。
不同的自变量取值可能导致不同的函数值,这反映了函数的多样性和灵活性。
3. 自变量的分类3.1 离散自变量离散自变量是指取值有限或无限但可数的自变量。
这种自变量通常以整数或某些特定元素为取值。
3.2 连续自变量连续自变量是指取值可以是任意实数的自变量。
这种自变量可以取无限个取值,并且取值之间可以是连续的。
4. 函数的分类4.1 线性函数线性函数是指自变量的一次函数。
线性函数的特点是函数图像是一条直线。
4.2 幂函数幂函数是指自变量的幂次方函数。
幂函数的特点是自变量和函数值之间的关系是乘方关系。
4.3 指数函数指数函数是指以自然对数为基底的幂次函数。
指数函数的特点是函数图像呈现指数增长或指数衰减的形态。
4.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数。
对数函数的特点是函数图像呈现对数增长或对数衰减的形态。
5. 自变量和函数在实际问题中的应用5.1 函数模型自变量和函数在实际问题中常常用于建立数学模型。
通过将实际问题抽象为自变量和函数的关系,可以用数学方法分析问题并解决问题。
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变量与函数的定义及应用
变量和函数是编程语言中最基本的概念之一,在编写代码时经常需要使用它们。
本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。
1. 变量的定义和应用
变量是用来存储数据的容器,编写程序时必须首先定义变量,然后才能在程序中使用它们。
通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。
(1)变量的定义
在大多数编程语言中,变量的定义语句通常包含变量类型和名称。
例如,要定义一个整数类型的变量,可以使用如下语句:
int num;
这条语句定义了一个名为num的变量,它的数据类型是整数类型。
如果需要定义多个变量,可以使用逗号隔开,例如:
int num1, num2;
这条语句定义了两个整型变量num1和num2。
在有些编程语言中,定义变量时需要指定初始值。
例如,要定义一个初始值为10的整型变量,可以使用如下语句:
int num = 10;
(2)变量的应用
定义变量后,可以在程序的任何地方使用它们。
例如,在使用C++编写的程序中,可以在函数中使用定义的变量,例如:
int main()
{
int num = 10;
cout << "num的值为:" << num << endl;
return 0;
在这个例子中,声明了一个名为num的变量,它的数据类型是int,值为10。
在main函数的第二行,输出了num的值。
2. 函数的定义和应用
函数是一组预定义好的指令,用于执行特定的操作。
在编写程序时,通常需要多次调用函数,以实现不同的任务。
函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。
(1)函数的定义
函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。
例如,要定义一个名为add的函数,用于计算两个数值的和,可以使用如下语句:
int add(int num1, int num2)
{
return num1 + num2;
在这个例子中,定义了一个名为add的函数,它接受两个整数类型的输入参数num1和num2,并返回它们的和。
(2)函数的应用
在定义函数后,可以在程序的任何地方调用它,以实现特定的任务。
例如,在使用C++编写的程序中,可以在main函数中调用add函数,例如:
int main()
{
int num1 = 10, num2 = 20;
int sum = add(num1, num2);
cout << "num1和num2的和为:" << sum << endl;
return 0;
}
在这个例子中,声明了两个整数类型的变量num1和num2,分别赋值为10和20。
然后调用了add函数,传入num1和num2作为输入参数,并将其输出值赋给sum变量。
最后,输出了sum的值。
3. 变量和函数的应用举例
使用变量和函数可以实现各种各样的任务,在编写程序时需要根据具体应用需求来使用它们。
例如,假设要编写一个用于计算圆的周长和面积的程序,可以使用以下代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const double PI = 3.14159;
double CalculateArea(double radius)
{
return PI * radius * radius;
}
double CalculateCircumference(double radius)
{
return 2 * PI * radius;
}
int main()
{
double radius = 5;
double area = CalculateArea(radius);
double circumference = CalculateCircumference(radius); cout << "半径为" << radius << "的圆:\n";
cout << "面积为" << area << "\n";
cout << "周长为" << circumference << "\n";
return 0;
}
在这个例子中,定义了两个函数CalculateArea和CalculateCircumference,用于计算圆的面积和周长。
在主函数中定义半径,然后调用两个函数分别计算圆的面积和周长,最后输出结果。
总结
变量和函数是编程语言中最基本的概念之一。
在编写程序时,需要首先定义变量和函数,然后使用它们来实现具体的任务。
在使用变量和函数时,需要根据具体的应用需求来使用它们,以达到最好的效果。