参数变量函数
数值函数、参数函数、通用函数
数值函数、参数函数、通用函数数学中的函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
函数是数学建模和问题求解的基础，在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数值函数、参数函数和通用函数的概念及其在实际问题中的应用。
一、数值函数数值函数是指将一个或多个实数作为输入，返回一个实数作为输出的函数。
它可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。
数值函数的定义域是实数集，值域是实数集。
常见的数值函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
线性函数是最简单的数值函数之一，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
二次函数是一种重要的数值函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定，常数c决定了抛物线与y轴的交点。
指数函数是以指数为变量的函数，其表达式为f(x) = a^x，其中a 为常数。
指数函数的图像是一条逐渐增加或逐渐减小的曲线，常数a决定了曲线的增长速度。
对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = loga(x)，其中a 为常数且a > 0，且a ≠ 1。
对数函数的图像是一条逐渐平缓或逐渐陡峭的曲线，常数a决定了曲线的陡峭程度。
数值函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，利润函数、成本函数和供需函数都属于数值函数，用于分析和预测市场行为。
在物理学中，速度函数、加速度函数和力函数都是数值函数，用于描述物体的运动规律。
在生物学中，生长函数和衰减函数也是数值函数，用于研究生物体的生长和衰老过程。
二、参数函数参数函数是指函数中含有一个或多个参数的函数。
参数是函数中可变的量，通过改变参数的值，可以得到不同的函数。
参数函数可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。
第三讲 参变量函数
u
(nk )
v
(k )
uv
Cnu
k
(nk )
v
(k )
k0
公式（3）称为 莱布尼兹公式
几个初等函数的高阶导数
(1 ) ( a )
x (n)
a
(n)
x
ln
n
n
a
(a 0)
(e )
x
(n)
e
x
( 2 ) (sin kx ) ( 3 ) (cos kx )
(4) ( x )
2
设函数
y f ( x ) 有导数
,
f ( x ),
( 1 ) 若 x 是自变量时
dy f ( x ) dx ;
( 2 ) 若 x 是中间变量时 微函数
, 即另一变量
t 的可
x ( t ), 则 dy f ( x ) ( t ) dt
dy f ( x ) dx .
x e 2 t 3t 1 3 2 y 4t 2t 6
t x 1 t y 1 t 1 t
第四讲 微分
1、定义：
设函数 y
y f
f
x 定义在 x 0 的改变量是 y 与自变数 x 的改变量 x ，有下列关系
f
x 的 n 1 阶微分在 x 的微分，称为函数 f x 在 x 的 n 阶微
分，表为 d n y 或 d n f x
dy f ' x dx
d y d dy
2
f ' x dx ' dx
2
f '' x d x
comsol内置参数变量函数
保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。
描述名称值双精度浮点数、机器精度eps2-52(~2.2204·10-16)虚数单位i，j i，sqrt(-1)无穷大，∞Inf，inf一个大于能被计算机处理的值非数字值NaN,nan未定义或者不能表示出来到值如0/0或者inf/infπpi 3.141592653589793描述名称值重力加速度g_const9.80665[m/s^2]阿伏伽德罗常数N_A_const 6.02214129e23[1/mol]玻耳兹曼常量k_B_const1.3806488e-23[J/K]真空特性阻抗Z0_const376.73031346177066[ohm]电子质量me_const9.10938291e-31[kg]元电荷e_const 1.602176565e-19[C]法拉第常数F_const96485.3365[C/mol]精细结构常数alpha_const7.2973525698e-3万有引力常数G_const 6.67384e-11[m^3/(kg*s^2)]标准状态下想气体体积V_m_const 2.2413968e-2[m^3/mol]中子质量mn_const 1.674927351e-27[kg]真空磁导率mu0_const4*pi*1e-7[H/m]真空介电常数epsilon0_const8.854187817000001e-12[F/m]普朗克常数h_const 6.62606957e-34[J*s]普朗克常数/2πhbar_const 1.05457172533629e-34[J*s]质子质量mp_const 1.672621777e-27[kg]真空中的光速c_const299792458[m/s]斯忒藩—玻耳兹曼常数sigma_const 5.670373e-8[W/(m^2*K^4)]通用气体常数R_const8.3144621[J/(mol*K)]维恩位移定律常数b_const 2.8977721e-3[m*K]参数化几何尺寸参数化网格元素大小参数扫描变量，主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。
参数变量函数的导数
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
d2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t)
π x = a ( t − sin t ) 例1 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
即 y = x + a( 2 − ) 2
π
π
例7 不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角 α
发射炮弹 , 其运动方程为 x = v0 t cosα , 1 2 y v t sin α − gt , = 0 2 求 (1)炮弹在时t 0的速度大小 .
v 0 sin α − gt 0 . = v 0 cos α
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
Comsol内置参数变量函数
C o m s o l内置参数变量
函数
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
Comsol 内置表达式：参数、变量、函数
表达式：?
参数
一个参数表达式可以包含:数字、参数、常量、函数,一元、二元操作符。
参数可以有单位。
?
变量
个变量表达式可以包含:数字、参数、常量、变量、函数的变量表达式,一元、二元操作符。
变量可以有单位。
?
函数?
一个函数定义可以包含:输入参数、数字参数,=常数、函数的参数表达式包括输入参数,一元和二元操作符。
注：保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。
内置的物理常数
变量：主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。
有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol会创建一张变量表来表示这些变量。
称。
所以可以生产下列变量：Tx、Ty、Txx、Txy
Tyx、Tyy、Tt、Txt、Tyt、Txxt、Txyt、Tyxt、Tyyt、Ttt、Txtt、Tytt、Txxtt、Txytt、Tyxtt、Tyytt.其中Tx是T对x的导数，Ttt是T 对t的二阶导数，如果空间坐标系有其他的名字，同理置换相应变量。
acosh,acoth,acsch,asech,asinh,atanh,besselj,bessely,besseli,bes selk,
erf,gamma,和psi。
内置操作函数：。
Comsol内置参数变量函数
Comsol 内置表达式：参数、变量、函数
表达式：?
参数
一个参数表达式可以包含:数字、参数、常量、函数,一元、二元操作符。
参数可以有单位。
?
变量
个变量表达式可以包含:数字、参数、常量、变量、函数的变量表达式,一元、二元操作符。
变量可以有单位。
?
函数?
一个函数定义可以包含:输入参数、数字参数,=常数、函数的参数表达式包括输入参数,一元和二元操作符。
注：保留函数的名称可以被用于变量和参数名，反之同样。
内置的数学常数
内置的物理常数
变量：主要有两种类型变量：内部保留变量和用户自定义变量，变量可以是标量也可以是字段，可以有单位。
有一组有趣的变量，即空间坐标变量和因变量，这些基于空间维度和所选物理场的变量有默认的名称，comsol 会创建一张变量表来表示这些变量。
内置变量
称。
所以可以生产下列变量：Tx、Ty、Txx、Txy
Tyx、Tyy、Tt、Txt、Tyt、Txxt、Txyt、Tyxt、Tyyt、Ttt、Txtt、Tytt、Txxtt、Txytt、Tyxtt、Tyytt.其中Tx是T对x的导数，Ttt是T对t的二阶导数，如果空间坐标系有其他的名字，同理置换相应变量。
内置数字函数
acosh,acoth,acsch,asech,asinh,atanh,besselj,bessely,besseli,bes selk,
erf,gamma,和psi。
内置操作函数：
这些内置的函数不同于内置的数学函数，详细见用户指南。
表示函数的三种方法
表示函数的三种方法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
在数学和计算机科学中，表示函数的方法有很多种，本文将介绍其中的三种方法，显式函数、隐式函数和参数方程。
首先，我们来谈谈显式函数。
显式函数是最为常见的一种表示函数的方法。
当一个函数可以被直接表示为一个变量的函数时，我们称之为显式函数。
比如，y =2x + 3就是一个显式函数的例子，其中y是x的线性函数。
在这种表示方法中，我们可以直接通过函数表达式来计算函数值，非常直观和方便。
其次，我们来看看隐式函数。
与显式函数相对应，隐式函数是一种不能直接表示为一个变量的函数的方法。
在隐式函数中，通常会包含多个变量之间的关系，而这种关系不容易用单一的函数表达式来表示。
比如，x^2 + y^2 = 1就是一个隐式函数的例子，它表示了一个单位圆的方程。
在这种情况下，我们不能直接通过一个函数表达式来表示函数值，需要通过其他方法来求解。
最后，我们来介绍参数方程。
参数方程是一种使用参数来表示函数的方法。
在参数方程中，一个变量的取值由另一个参数决定，而这个参数可以是一个或多个变量。
比如，x = cos(t)、y = sin(t)就是一个参数方程的例子，它表示了一个单位圆的参数方程。
在这种表示方法中，我们通过改变参数t的取值来得到不同的函数值，非常适合描述一些复杂的曲线和图形。
总结一下，表示函数的三种方法分别是显式函数、隐式函数和参数方程。
显式函数是最为直观和常见的一种方法，隐式函数适用于描述多个变量之间的复杂关系，而参数方程则适合描述曲线和图形的特定形式。
不同的表示方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题来选择合适的方法来表示函数。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解表示函数的方法。
函数调用中的数据传递方法
函数调用中的数据传递方法在编程中，函数是一种独立的代码块，它封装了特定的功能，可以在程序中被重复调用。
当我们调用函数时，有几种方法可以传递数据给函数。
1.传递参数参数是函数定义中声明的变量，用于接收传递给函数的数据。
参数可以是必选参数、默认参数或可变参数。
-必选参数：在函数定义时，需要明确指定参数的名称和类型，函数调用时必须传递对应数量和类型的参数。
例如：```pythondef add(x, y):return x + yresult = add(2, 5) # 传递两个整数参数```-默认参数：在函数定义时，可以为参数提供默认值。
调用函数时，如果没有传递对应参数，则使用默认值。
例如：```pythondef greet(name, greeting="Hello"):print(greeting + ", " + name)greet("Alice") # 传递一个参数，使用默认的问候语greet("Bob", "Hi") # 传递两个参数，使用自定义的问候语```-可变参数：在函数定义时，可以使用`*`符号指定一个可变长度的参数。
这样的参数可以接收任意数量的传递参数，并将其作为元组处理。
例如：```pythondef average(*numbers):return sum(numbers) / len(numbers)avg = average(1, 2, 3, 4, 5) # 传递任意数量的参数```2.传递关键字参数关键字参数是传递给函数的具有特定名称的参数。
这种方式使用关键字作为参数名，与其对应的值一起传递给函数。
关键字参数可用于任何参数类型（必选、默认、可变）。
```pythondef greet(name, greeting):print(greeting + ", " + name)greet(greeting="Hello", name="Alice") # 通过关键字传递参数```使用关键字参数具有以下好处：-可以跳过默认参数：通过指定参数名，我们可以只传递关心的参数，而跳过其他参数。
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验证函数 y arcsin x 满足微分方程 (1 x 2 ) y ( n 2 ) (2 n 1) xy( n 1 ) n 2 y ( n ) 0. ( n3 )
并依此求 y ( n ) ( 0). 解 y 1 1 x2 , 1 x 2 y 1. xy 1 x
(1 x 2 ) y ( n 2 ) (2 n 1) xy( n 1 ) n 2 y ( n ) 0. 可见函数 y arcsin x 满足所指方程. y (n 2 ) n 2 y (n ). 注意到 y (0) 0 和 y (0) 1 , n 2k 时, n 2k 1 时, y (n ) ( 0) 0; y (n ) ( 0) ( 2k 1) 2 ( 2k 3) 2 3 2 12 f ( 0) 就有 在上式中令 x 0, 得递推公式
2 3 C1 C54 5, C 5 C5 10. 5
y (5 ) e x (cos x 5 sin x 10 cos x 10 sin x 5 cos x sin x) 4e x (sin x cos x ).
例3 解
y x 2 sin x, ( x 2 ) 2 x,
求 三.
f (x) .
高阶导数的运算性质: n 阶可导. 则
设函数 u (x) 和 v (x ) 均 1． 2． 3．
ku( x ) ( n)
ku( n ) ( x). u ( n ) ( x ) v ( n ) ( x).
u( x) v( x) ( n )
乘积高阶导数的 Leibniz 公式：
数为 t 1 ( x ),
有 y (t ) 1 ( x ) , 用复合函数求导法, 并注
意利用反函数求导公式. 就有
dy dy dy dt ψ (t) dt . dx dx dt dx (t) dt
例1 解
x a cos t , dy dy dx dt
y (80 ) ( x 2 sin x) (80 ) x 2 sin x 80 2 x( cos x)
( x 2 6320) sin x 160 x cos x. 例4 例5 y f (arctgx), 其中 f (x ) 二阶可导. d2 y 求 . dx 2
d2 y y b sin t. 求 . 2 dx d2y b 2 . 2 3 dx a sin t
解
( 50)
e x 50 e 3 x C 50 e 6 x C 50 e 6
x 3 x 2 2 x 3 x
注意：利用萊布尼兹公式时要注意 u 与 v 的选取次序，否则会使计 算复杂。 例2 解 y e x cos x, C50 C55 1, 求 y (5 ) .
2 即在对数螺线上任意一点的切线 与向径的夹角等于 arctg 2
O
MP
P
x
§ 4 一. 高阶导数的概念 我们知道，加速度 a (t ) lim
高阶导数
v (t ) v(t 0 ) t t 0 t t0
因此加速度函数是速度函数的导数，从而是路程函数的导数的导数，这就 产生了高阶导数的概念。 定义: f ( x 0 ) lim f ( x 0 x) f ( x0 ) . x f ( n ) ( x) f ( n 1) ( x ) .
§3 参数变量函数的导数 平面曲线 C 一般的可表示为参变量方程形式： x ( t ), y ( t ) , t ( , ) 设 t t 0 对应曲线上的 P 点，如果 P 点由切线，那么切线斜率也可由 割线斜率去极限得到
Q P
x
y
割线 PQ 的斜率为
y ( t 0 t ) ( t 0 ) x ( t 0 t ) (t 0 ) 取极限得切线斜率 lim y t 0 (t 0 t ) (t 0 ) ( t 0 ) tg lim x 0 x lim (t 0 t ) ( t 0 ) (t 0 )
（3）
（3） 式表示在曲线 ( ) 上的点 M ( , ) 处切线 MT 与极轴 OX 轴的夹角 的正切，如图所示。 过点 M 的射线 OH 与切线 MT 的交角 的正切是 tan tan( ) tan tan 1 tan tan （4）
求 y (80 ) . ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( x 2 ) ( n ) 0; (sin x) (79 ) cos x, (sin x ) ( 78 ) sin x.
80 79 2( sin x) 2
(sin x) (80 ) sin x,
四.
参数方程所确定函数的高阶导数:
d dy d 2 y dt dx dx dx 2 dt 例6 x a cos t , dy b ctgt. dx a
(t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) . (t ) (t) 3
3． ex 4． 5 和 e kx 的高阶导数：
1 的高阶导数： x
2 15
多项式的高阶导数. Q( x ) 3 2 x Q ( 49 ) ( 0.235) .
2x 1 ,
18
求 Q ( 48) ( 0 ) 和
6
1 的高阶导数： ( x a)( x b)
为例，
x 2 , x 0, 7 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 f ( x ) 2 x , x 0.
dy ( ( ) sin ) ( ) sin ( ) cos ( ) tan ( ) dx ( ( ) cos ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) tan
y b sin t.
求
dy . dx
dx (b sin t}) b cot t dt ( aost ) a
若曲线 C 由极坐标 参量方程
( ) 表示，则可转化为一极角 为参数的
x cos ( ) cos y sin ( ) sin
2 (uv) (n) u (n) v (0) C1 u (n 1) v (1) Cn u (n 2) v (2) Ck u (n k) v (k) u (0) v n n
例1
设
y x 3 e x 求 y (50 )
利用萊布尼兹公式 ， 取 u e x , v x 3 y
x 0
f ( x ) f ( x) , 注意区分符号 f ( x0 ) 和
f ( x0 ) .
二. 几个特殊函数的高阶导数:
1 2.
求幂函数 y x n 的各阶导数 正弦和余弦函数: 计算
sin x ( n) 、 cos x ( n) 、 sin kx( n) 、 cos kx( n)
2
两端求导
1 x 2 y
0,
即
(1 x 2 ) y xy 0. 对上式两端求 n 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有
2 (1 x 2 ) y ( n 2 ) C1 ( 2 x) y ( n 1) Cn ( n
t 0
于是得到下面结论 dy (t ) 结论：设函数 x (t ), y (t ) 可导且 (t ) 0 ，则 . dx (t ) 证 （ 法一 ） 用定义证明. （法二 ） 由 ( t ) 0, 恒有 ( t ) 0 或 (t ) 0. (t ) 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, (t ) 有反函数, 设反函
T H T
将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切
O
tan
( ) ( )
(5)
例 2 证明：对数螺线 e / 2 上所有点的切线与向径的夹角 为一常 量 证明 由（5），对每一个 都有
( ) e / 2 tan 2 ( ) 1 e / 2