2019年中考数学压轴题汇编(几何1)--解析版

（2019年安徽23题） 23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．

（1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．

【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；

（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC 又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB 又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC

（2）∵△PAB∽△PBC ∴ 在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴

∴ ∴PA＝2PC （3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°， 又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即， ∴h3＝2h2 ∵△PAB∽△PBC，

∴， ∴ ∴． 即：h12＝h2•h3．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键． （2019年北京27题） 27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．

【分析】（1）根据题意画出图形． （2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证． （3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此

时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由

于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以

OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．

【解答】解：（1）如图1所示为所求．

（2）设∠OPM＝α， ∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN ∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ∵∠AOB＝30° ∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP＝∠OPN

（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下： 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90° ∵∠AOB＝30°，OP＝2 ∴PD＝OP＝1 ∴OD＝ ∵OH＝+1 ∴DH＝OH﹣OD＝1 ∵∠OMP＝∠OPN ∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN 即∠PMD＝∠NPC 在△PDM与△NCP中

∴△PDM≌△NCP（AAS） ∴PD＝NC，DM＝CP 设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q ∴HQ＝MH＝x+1 ∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x ∴OC＝DQ 在△OCN与△QDP中

∴△OCN≌△QDP（SAS） ∴ON＝QP

【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等

证明ON＝QP．

（2019年北京28题） 28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧． （1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半； （2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值． 【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧， 连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，

∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，

∴弧＝×2π＝π； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），

设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA＝OC，∠AOC＝90° ∴∠ACO＝45°， ∵DE∥OC ∴∠AED＝∠ACO＝45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝ 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求； ∴m≤

综上所述，m≤或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，

∴P（t，）， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠AOB＝90° ∴AE＝＝＝，

∵PD＝PE， ∴∠AED＝∠PDE ∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°， ∴∠DAE＝∠ADP

∴AP＝PD＝PE＝AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤， ∵t＞0 ∴0＜t≤．

【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

（2019年福建24题） 24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长

线上，且DF＝DC，连接AF、CF． （1）求证：∠BAC＝2∠CAD； （2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结

论； （2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，

∴＝，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠BAC＝2∠CAD； （2）解：∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝2∠DFC， ∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC， ∴CB＝CF， 又BD⊥AC， ∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10． 又BC＝4， 设AE＝x，CE＝10﹣x，