第六章 分析力学.

第六章 分析力学

引言：

到现在为止，我们所讨论的力学问题都是采用牛顿的方法来处理的，因此就称它为牛顿力学。力学问题除了用牛顿力学的方法处理之外，也可以应用拉格朗日和哈密顿的方法来处理，应用拉格朗日和哈顿方法处理的力学问题通常就称它为分析力学。分析力学这个名称实际上正是沿用了拉格朗日原著的名称。拉格朗日《分析力学》这本著作是在1788年写成的。全书根据一个虚位移原理，用严格的数学分析方法来处理所有的力学问。全书自始至终没有用到过一张图，拉格朗日本人曾经以此而感到非常满意和十分骄傲。但是，我们要注意，并不要以为“没有一张图”就能反映出它的最大优点，作为我们做作业的仿效依据，那是不行的。实际上在现代科学技术中，图是一种必不可少的工具，不要认为科学家所用的方法就占绝对的优势，而一成不变，因为有些内容、结果，往往要受到当时历史条件、科学技术等其他因素所限制。所以，我们今后在做分析力学部分的题目时，该画的图还是要画的，不要认为大科学家拉格朗日都不画图，那么我也以不作图而引以自豪，这种自豪是…..。至于，到底什么叫分析力学，没有一本书上，对它有确切的定义。根据我的理解主要是从研究的手段来区分。由于，牛顿力学：在求解力学问题时，用的是几何方法和分析方法相结合的手段。而分析力学：①主要是应用了广义坐标，用广义坐标作为描写机械运动的独立变量。它的很大优点之一,是在于它从方程组中巧妙地消去了约束，减少了方程组中未知量的个数，从而简化了大量的数学运算，于是也就提高了解题的效率。这一点在我们今后学了分析力学之后就会体会到。有些力学题目用牛顿力学的方法去解很难，很费劲，一旦用分析力学的方法去求解，就会显得很容易。甚至牛顿力学所无法求解的一些复杂的力学问题，然而应用分析力学的方法，常常可以通过比较简单的途径得到解决。分析力学的优点不仅在于使许多力学问题的求解相当容易，而且在应用和理论方面也起着桥梁作用。②用处：它们的用处所涉及的方面有：工业上的自动控制、工程技术、理论上的天体力学、量子力学、统计力学以及电动力学等等各个方面。当然分析力学的发展与其他理论基础也是分不开的。比如：分析力学中的哈密顿原理，实际上就是根据光学中的费马原理⎰=0nds δ想到而引伸到力学中来，这 条费马原理能够很好地解释了光的直射、折射和反射问题，它代表了光的粒子性。光学上的波动方程代表了光的波动性。光的波粒二象性早在十九世纪已被人们所认识。在光学上既然光具有波粒二象，那么在力学上研究的实物也

就是实物粒子是否也具有像光那样的波粒二象性，是否也有描写实物粒子波动性的波动方程呢？在1924年德布罗意他总结了光学理论上关于光的波粒二象性争论的经验，大胆地提出了实物粒子也具有波动性的假设，并且以此而获得了诺贝尔奖金。后来薛定谔在此前提的思想支配下，推出了描写微观粒子波动性的薛定谔方程，从而建立量子力学这一专门理论。因此说分析力学不仅是研究其他理论的桥梁，而理论本身的发展又和其他理论有着紧密的联系。这不仅仅是分析力学如此，其他理论物理也是如此。实际上，分析力学的理论内容是很广的，我们本章仅仅以拉格朗日方程和哈密顿原理为主体来介绍分析力学的初步知识。现在先介绍关于分析力学常用的一些基本概念。

§1、约束与广义坐标

一、约束：

关于约束这个概念在前面已经有过接触，但是在分析力学中对约束这个概念有更加明确的定义，并且对它加以明确的分类。

1、定义：凡是强加在体系上而限制其运动（几何位置，速度）的条件，就定义为约束。约束条件的数学表达式就称为约束方程。这里对运动的限制，它包括对几何位置和运动速度的限制。假设力学体系由n 个质点组成，一般地讲，加于体系的约束，不仅限制各质点的位置，而且还限制它们的速度，这些限制条件还可能随时间而改变。因此，约束方程的普遍形式表

示为：0),,,,,,(111111=⋅⋅⋅⋅⋅⋅t z y x z y x

z y x z y x f n n n n n n ； γ，或简写为：0),(=⋅t r r f γ，},{21n r r r r ⋅⋅⋅=。现在就各种情形对约束加以分类，约束首先可以分为完整约束和不完整约束。

2、约束的分类:

（1）完整与不完整约束：如果在约束方程中不包含速度：0),(=t r f

γ，这样的约束就称完整约束，完整约束又叫几何约束，如果在约束方程中包含速度（而且不能积分的），就称为不完整约束。因为不完整约束含有坐标微分，所以又称它为微分约束或者运动约束。凡是只受有完整约束的力学体系叫完整系。反之，所受的约束方程中存在速度，就称为不完整系。以后，我们只限于讨论完整系的力学问题。根据约束对时间的依赖性来区分的话，约束又可分为：

（2）稳定约束与不稳定约束：它的区分要看约束方程中有没有时间t ，如果约束方程中显含时间t 就是不稳定约束；反之，如果不含时间t 就是稳定约束。完整的稳定约束方程

可以表示为：0),(111=⋅⋅⋅n n n z y x z y x f γ。例如：吹肥皂泡时，泡

上有一小虫沿泡面运动。如果肥皂泡的半径随时间t 作线性增加：

bt a r +=。若取泡的中心为原点，显然这个泡面就是约束小虫运

动的约束面，所以其约束方程为：

0)(),,,(2222=+-++=bt a z y x t z y x f 。约束方程显含时间

t ，所以小虫所受的约束是不稳定约束。如果肥皂泡的半径既不增大也不缩小，那么约束方程就变为：0),,(2222=-++=a z y x z y x f ，不含时间t ，此时小虫所受的约束就是稳定约束。约束还可分为：

（3）可解约束与不可解约束：质点可离开约束面的约束－－叫做可解约束。完整的可解约

束方程的一般形式为：0),(≠t r f 。反之，如果质点不可脱离约束面，

这样的约束就叫做不可解约束，完整的不可解约束的约束方程是用等

号来表示的，即：0),(=t r f ——不可解约束方程。例如：有一质点

它可以脱离开球面在球内、外运动，这种约束是可解的。下面我再举

个例子，让大家来判断它是什么约束。

例：有一质点受有约束，其约束方程为：px y 22=，由此约束方程可见这种约束应该是属于那种约束？这种约束是完整的、稳定的不可解约束。又譬如约束方程为：

0222222

)(>+++b z b y t a x 。这种约束显然是完整的、不稳定的可解约束。

二、广义坐标：

引出广义坐标的出发点是质点组。由于一个自由质点在空间的位置，需要用三个独立坐标来确定。那么，对由n 个自由质点组成的质点组来说，确定该自由质点组位置的3n 个坐标当然也是独立的。但是在许多实际问题中，质点组的运动总是要受到某种约束，质点组的运动由于受到约束，从而就会使得确定质点组位置的独立坐标数目就会减少。例如：单摆的运动就是一个受约束运动的简单例子。单摆的运动我们可以将它看作为一个质点m 的运动。由于这个质点即摆锤的运动，它受到了平面和摆长的限止，因此就被约束在一条圆弧曲线上运动，此时就用不着要二个坐标确定它的运动位置，而只要一个参变量θ就完全可以确定它的运动位置了，显然这个质点由于约束它的独立坐标只有一个。又如下图所示的平面双摆机