2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第6节第1课时坡角与仰、俯角问题

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4.6 解直角三角形及其应用
第1课时 坡角与仰、俯角问题

1.(2021·湖北宜昌)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点(网格线的交点),则cos ∠ABC的值为
(B)

A.√23 B.√22
C.43 D.2√23
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=35,则AB的长是 (D)
A.5003 B.5035
C.60 D.80
3.(2022·广西柳州)如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=35,堤坝高BC=30 m,则迎水坡面
AB的长度为 50 m.

第3题图
第4题图
4.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶√3,
则斜坡AB的长是 20√3 米.
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【解析】过点A作AF⊥BC于点F.∵斜面坡度为1∶√3,∴tan ∠ABF=√33,∴∠ABF=30°.由题意得∠
HPB=30°,∠APB=45°,∠H=90°,∴∠HBP=60°,∴∠PBA=90°,∠BAP=45°,∴PB=AB.在Rt△PBH
中,PB=𝑃𝐻sin60°=20√3,即斜坡AB的长为20√3米.
5.为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在
C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A
处的仰角为

30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内.请你用以上数据,计算桥墩AB的高
度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,√3≈1.73)

解:延长DC交AB于点E,则DE⊥AB.
设CE=x,在Rt△AEC中,∠ACE=60°,
∴AE=CE·tan 60°=√3x.
在Rt△BEC中,∠BCE=40°,
∴BE=CE·tan 40°≈0.84x.
在Rt△AED中,∠D=30°,
∴DE=𝐴𝐸tan30°=3x.
∴3x-x=80,解得x=40.
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)≈103(m).
答:桥墩AB的高度约为103 m.

6.如图,在Rt△ABC中,AB=2,∠C=30°,将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C',使点B的对应点B'落在
AC上,在B'C'上取点D,使B'D=2,求点D到BC的距离.
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解:作DE⊥BC于点E,交AC于点F,
∴∠B'DF=∠C=30°,∴DF=2B'F.

在Rt△B'DF中,B'F=B'D·tan 30°=2√33,
∴DF=4√33.
由旋转的性质知AB'=AB=2.
在Rt△ABC中,∠C=30°,
∴AC=2AB=4,

∴CF=AC-AB'-B'F=2-2√33,
∴EF=12CF=1-√33,
∴DE=DF+EF=4√33+1-√33=√3+1,
即点D到BC的距离为√3+1.

7.某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶√3,
将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4,则斜坡CD的长为 80√17
米.

图1 图2
8.(2021·合肥包河区一模)如图,某大楼上树立一块高为3米的广告牌CD.数学活动课上,立新老师带领
小燕和小娟同学测量楼DH的高.测角仪支架高AE=BF=1.2米,小燕在点E处测得广告牌的顶点C的仰角
为22°,小娟在点F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°,AB=45米.请你根据两位同学测得的数据,
求出楼DH的高.(结果取整数,参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
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解:延长EF交CH于点G,
则∠CGF=90°,∠DFG=45°,
∴DG=FG.
设DG=x,则CG=CD+DG=x+3,
EG=FG+EF=x+45.

在Rt△CEG中,tan ∠CEG=𝐶𝐺𝐸𝐺,
∴tan 22°=𝑥+3𝑥+45≈0.4,解得x=25.
经检验,x=25是原分式方程的根,且符合题意,
∴DH=DG+GH=25+1.2≈26(米).
答:楼DH的高约为26米.

9.[创新思维]如图,在坡度为i=1∶2.4的斜坡CB上有一座建成的基站塔AB,小芮在坡脚点C测得塔顶
点A的仰角为45°,然后她沿坡面CB行走13米到达点D处,在点D处测得塔顶点A的仰角为53°.点
A,B,C,D,N
均在同一平面内,参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43

(1)求D处的竖直高度;
(2)求基站塔AB的高.

解:过点D作DM⊥CN,垂足为点M.
(1)∵斜坡CB的坡度为i=1∶2.4,
∴𝐷𝑀𝐶𝑀=12.4=512.
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设DM=5k,则CM=12k.
在Rt△CDM中,CD=√𝐷𝑀2+𝐶𝑀2=13k=13,∴k=1,
∴DM=5米.
答:D处的竖直高度为5米.
(2)延长AB交CN于点E,作DF⊥AE于点F,易知四边形DMEF为矩形,
∴DF∥CE,DF=ME,EF=DM,
∴∠BDF=∠DCM,∴𝐵𝐹𝐷𝐹=512.
设DF=12a,则BF=5a.
由(1)知CM=12,DM=5,且∠ACE=45°,
∴AE=CE=12+12a,
∴AF=AE-EF=7+12a.
在Rt△ADF中,
∵tan ∠ADF=𝐴𝐹𝐷𝐹,
∴7+12𝑎12𝑎≈43,解得a=74,
经检验,a=74为原分式方程的解,且符合题意,
∴AF=7+12a=28,BF=5a=354,
∴AB=AF-BF=28-354=774(米).
答:基站塔AB的高约为774米.