中考数学复习第四章几何初步与三角形第四节解直角三角形随堂演练
九年级数学上册 4.4 解直角三角形的应用同步导练 (新版)湘教版
4.4 解直角三角形的应用基础导练1如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为( )2.小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（）.A.（-1.5）米 B.（）米 C.31.5 D.28.53.由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为450、300，若CD=100m，则山高AB等于（）.A.100mB.503mC.502mD.50（3+1）m4.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3B.1∶2.6C.1∶2.4D.1∶25.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为6.如图，甲、乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为米.能力提升7.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)8.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)9.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.10.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？参考答案1.C2.B3.D4.C5.（）7.作BD⊥AC于D.由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×2=10海里).在Rt△BCD中，BC=sin BD BCD∠=12=(海里).答：此时船C与船B的距离是.8.过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC=90°.在Rt△ABD中，tan45°=ABBD，∴AB=BD.设AE=xm，则AF=(x+29)m，CF=BD=AB=(x+56)m.∵在Rt△ACF中，tan36°52′=AFCF，∴tan36°52′=2956xx++.∵tan36°52′≈0.75，∴2956xx++=0.75，解得x=52.经检验x=52是原方程的根，且符合题意.答：该铁塔的高AE 为52 m.9.在Rt △ADC 中，∵AD ∶DC=1∶2.4，AC=13，由AD 2+DC 2=AC 2，得AD2+(2.4AD)2=132.∴AD=±5(负值不合题意，舍去).∴DC=12.在Rt △ABD 中，∵AD ∶BD=1∶1.8，∴BD=5×1.8=9.∴BC=DC-BD=12-9=3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米. 10.过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，∴CE ∥GB ∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5(海里). ∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.。
【数学课件】2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练
么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°
≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )
【分析】
作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角
形的知识进行解答．
【自主解答】
如图，过点A作BC的平行线AG，
过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.
∵∠AEF＝143°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°. 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72.
知识点二 解直角三角形 1．解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫做解直角三角形．
3．解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角；
(3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角；
(4)已知直角、两条直角边，求其他边和角．
好好学习，天天向上。
第四节 解直角三角形
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义
2．特殊角的三角函数值
由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角 的余弦值，即若∠A＋∠B＝90°，则sin 围内，sin α ，tan α 的值随
α 的增大而增大，cos α 的值随α 的增大而减小．
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 命题角度❶
(5年0考)
求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每 个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误 的是( )
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
全国通用中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练(四)解直角三角形中常见的基本模型练
（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方法技巧训练（四）解直角三角形中常见的基本模型模型1单一直角三角形1．（2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．（结果保留根号）解：作CH⊥AB于点H,则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°。
设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．在Rt△AHC中，HC＝错误!＝错误!（30－x），则BD＝CH＝错误!(30－x)．∴ED＝3(30－x)－10＝303－错误!x－10.在Rt△CDE中，错误!＝tan∠CED，即＝错误!＝错误!,解得x＝15－错误!错误!。
答：立柱CD的高为(15－错误!错误!）米．模型2背靠背型及其变式2．（2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C 地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．(参考数据:sin53°≈错误!,cos53°≈错误!，tan53°≈错误!)解：过点B作BD⊥AC于点D。
精选2019届中考数学第四章几何初步与三角形第四节等腰三角形要题随堂演练
等腰三角形要题随堂演练1．(2018·湖州中考)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )A．20° B．35° C．40° D．70°2．(2018·福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°3．(2018·雅安中考)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为( )A．22B．23C.5D. 64．(2018·成都中考)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为__________．5．(2018·邵阳中考)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__________．6．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于___________．7．(2018·天津中考) 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G 为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．8．(2018·高青一模)如图，已知等边△AB C中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点．参考答案1．B 2.A 3.C4．80° 5. 3 6.8 7.1928．证明：如图，连接BD.∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴∠DBC＝12∠ABC＝12×60°＝30°，∠ACB＝60°. ∵CE＝CD ，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E ＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED ，∴△BDE 为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴M 是BE 的中点．。
初中数学湘教版第四章 解直角三角形模拟考题模拟考试卷考点.doc
初中数学湘教版第四章解直角三角形模拟考题模拟考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题11．若方程有两个实数根，则k的取值范围是( ) A．≥1B．≤1C．>1D．<116．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是【】A．1：2B．1：3C．1：4D．1：54．在一次会议中，到会的所有同志互相握手，有人统计共握手36次，问共有多少人参加会议（）A．6人B．7人C．8人D．9人10．在离地面高度5米处拉线固定电线杆，拉线和地面成30°角，则拉线长为（）A．米B．米C．米评卷人得分D．10米8．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为。
1．两个相似三角形的相似比为1：2，则对应高的比为（）A． 1：1B． 1：2C． 1：3D． 1：45．如图所示，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD=100m，点C在BD 上，则山高AB为（▲）A、100mB、mC、mD、m6．某饲料厂今年三月份生产饲料600吨，五月份生产饲料840吨，若四、五月份两个月平均增长率为x，则有 ( )A．B．C．D．36．若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，则p，q的值分别是A．－3，2B．3，-2C．2，－3D．2，334．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C．等腰（不等边）三角形D．等边三角形17．计算：21．计算：21．计算：23．解方程：11．____________13．某超市一月份的营业额为200万元,第一季度总营业额为800万元, 设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为______________．12．将方程x2+6x－3=0的左边配成完全平方后所得方程为______________■.15．某超市一月份的营业额为200万元，二、三两月的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为__________________________________。
中考数学复习第四章几何初步与三角形第六节解直角三角形及其应用要题随堂演练(2021年整理)
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解直角三角形及其应用要题随堂演练1．(2017·日照中考)在Rt△ABC中,∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（ ) A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!2．(2018·金华中考）如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!3．（2018·日照中考）如图,边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( ）A。
错误! B.错误!C．2 D.错误!4。
如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为____________（结果精确到0。
1 m,参考数据：sin 50°≈0。
77，cos 50°≈0。
64，tan 50°≈1。
19)5．（2018·潍坊中考)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1。
中考数学复习第四章几何初步与三角形第一节几何的初步认识随堂演练(2)
中考数学复习第四章几何初步与三角形第一节几何的初步认识随堂演练(2)1．如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )A．35° B．45° C．55° D．70°2．(20__·日照)如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F.若∠1＝60°，则∠2等于( )A．120° B．30° C．40° D．60°3．(2017·临沂)如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起．若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．50° B．60° C．70° D．80°4．(20__·漳州)下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )5．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( )A．如图1，展开后测得∠1＝∠2B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C．如图3，测得∠1＝∠2D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD6．(20__·德州)如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是________________．7．(20__·威海)如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝________.8．(20__·淄博)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．参考答案1．C 2.D 3.A 4.B 5.C6．同位角相等，两直线平行7.200°8．解：AC∥OB，BC∥OA.理由如下：∵∠1＝∠2，∴AC∥OB.∵∠2＋∠3＝180°，∴BC∥OA.。
2019年初中中考数学第一轮复习第四单元四解直角三角形中常见的基本模型练习
2019年初中中考数学第一轮复习第四单元四解直角三角形中常见的基本模型练习解：过点B作BD⊥AC于点D.由题意，知∠BAD＝60°，则∠ABD＝30°，∠CBD＝53°.在△BCD中，tan∠CBD＝CDBD，即tan53°＝CDBD＝43.设CD＝4x，BD＝3x，则CB＝5x. 又∵AC＝13，∴AD＝13－4x.在△ABD中，tan∠DAB＝tan60°＝DB AD，即3x13－4x＝3，解得x＝4－ 3.∴BC＝5x＝20－5 3.答：B，C两地的距离是(20－53)千米．3．(2018·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图，其中山脚A，C两地海拔约为1 000米，山顶B处的海拔约为1 400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果保留整数，参考数据3≈1.732)解：作BD⊥AC于点D.由题意可得BD＝1 400－1 000＝400(米)．∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵tan30°＝BDAD，即400AD＝33.∴AD＝4003米．∵tan45°＝BDCD，即400CD＝1.∴CD＝400米．∴AC＝AD＋CD＝4003＋400≈1 093(米)．答：隧道最短为1 093米．模型3 母子型及其变式4．(2018·德州)如图，两座建筑物的水平距离BC为60 m．从C点测得A点的仰角α为53° ，从A点测得D点的俯角β为37° ，求两座建筑物的高度．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sim53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43 )解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝BC＝60 m.在Rt△ABC中，tan53°＝AB BC，∴AB60＝43∴AB＝80 m.在Rt△ADE中，tan37°＝AE DE，∴34＝AE60，∴AE＝45 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝35 m.答：两座建筑物的高度分别为80 m和35 m. 5．(2018·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B 处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B 处位于C 处的南偏西45°方向上，且BC ＝60海里；指挥船搜索发现，在C 处的南偏西60°方向上有一艘海监船A ，恰好位于B 处的正西方向．于是命令海监船A 前往搜救，已知海监船A 的航行速度为30海里/小时，问渔船在B 处需要等待多长时间才能得到海监船A 的救援？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1小时)解：延长AB 交南北轴于点D ，则AB⊥CD 于点D.∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD.在Rt△BDC 中，∵cos∠BCD＝CD BC ，BC ＝60，即cos45°＝CD 60＝22，解得CD ＝30 2.∴BD＝CD ＝30 2.在Rt△ADC 中，∵tan∠A CD ＝AD CD ，即 tan60°＝AD 302＝3，解得AD ＝30 6.∴AB＝AD －BD ＝306－302＝30(6－2)．∴渔船在B 处需要等待的时间为AB 30＝30（6－2）30＝6－2≈1.0(小时)．答：渔船在B处需要等待1.0小时．模型4 其他模型6．(2018·张家界)2017年9月8日～10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB＝1 000米)，沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.由题意知∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，∴AE＝12AD＝12×1 400＝700，DE＝AD·cos30°＝700 3.∴DF＝EB＝AB－AE＝1 000－700＝300.∵tan∠CDF＝FC DF，∴FC＝300×33＝100 3.∴BC＝BF＋FC＝DE＋FC＝7003＋1003＝8003(米)．答：该选手飞行的水平距离BC是8003米．。
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解直角三角形
随堂演练
1．(2017·聊城)在Rt△ABC 中，cos A ＝12
，那么sin A 的值是( ) A.22 B.32C.33D.12
2．(2017·日照)在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值
为( ) A.513B.1213C.512D.125
3．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan∠DAC 的值为( )
A ．2＋3
B ．23
C ．3＋3
D ．3 3
4．(2017·玉林)如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )
A ．15 3 海里
B ．30海里
C ．45海里
D ．30 3 海里
5．(2017·烟台)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D 的仰角为67.5°.已知测倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)( )
A ．34.14米
B ．34.1米
C ．35.7米
D ．35.74米
6．(2017·烟台)在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2
＝． 7．(2017·东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A 处测得塔顶的仰角为α，在B 处测得塔顶的仰角为β，又测量出A ，B 两点的距离为s 米，则塔高为米．
8．(2017·潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼底层为车库，高2.5 m ；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地
1.5 m ，在A 处测得五楼顶部点D 的仰角为60°，在B 处测得四楼顶部点E 的仰角为30°，AB ＝14 m ．求居民楼的高度(精确到0.1 m ，参考数据：3≈1.73)．
参考答案
1．B 2.B 3.A 4.B 5.C
6.12
7.tan α·tan β·s tan β－tan α
8．解：设每层高为x m ，由题意得 MC′＝MC －CC′＝2.5－1.5＝1， 则DC′＝5x ＋1，EC′＝4x ＋1.
在Rt △DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝DC′tan 60°＝33
(5x ＋1)． 在Rt △EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴C′B′＝EC′tan 30°＝3(4x ＋1)． ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB ，∴3(4x ＋1)－
33(5x ＋1)＝14， 解得x≈3.17.
∴居民楼高为5×3.17＋2.5≈18.4(m )．。