中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用

2010年中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈）(第15题)【答案】82.03．（2010江西）如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝米（用计算器计算，结果精确到0.1米）【答案】0.134．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。

5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。

【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。

（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）7．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD 的面积为 。

【答案】3或338．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB 的坡度1i =︰3， 则该坡的坡角α= .【答案】30°（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（5332+）m B ．（3532+）m C ．53m D ．4m【答案】A9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了A ．5200mB ．500mC ．3500mD ．1000m图5BA ED C30°10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．53米B．10米C．15米D．103米【答案】A．三、解答题1．（2010安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。

（参考数据：7.13 ）【答案】2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．解：【答案】3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）45°39°D CAE B【分析】（1）由于∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以AC ＝AB ＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE ＝AC ＝610米，在Rt △BDE 中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长，用AB 的长减去BE 的长度即可． 【答案】（1）由题意，AC ＝AB ＝610（米）；（2）DE ＝AC ＝610（米），在Rt △BDE 中，tan ∠BDE ＝BE DE，故BE ＝DE tan39°．因为CD ＝AE ，所以CD ＝AB －DE ·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）答：大楼的高度CD 约为116米． 【涉及知识点】解直角三角形【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)【答案】（1）如图，作AD ⊥BC 于点D ……………………………………1分Rt △ABD 中，AD =AB sin45°=42222=⨯ (2)分在Rt △ACD 中，∵∠ACD =30°∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分 即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1 ∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。

已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°.求树的高度AB 。

（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 【答案】6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．3 1.732 ）【答案】过C 作CD ⊥AB 于D 点，C60°45°（第23题）由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000，解得CD1-）m≈366m．7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m）．【答案】解：设AB、CD的延长线相交于点E∵∠CBE=45º CE⊥AE∴CE=BE………………………（2分）∵CE=26.65-1.65=25 ∴BE=25∴AE=AB+BE=30 ……………………………………………（4分）在Rt△ADE中，∵∠DAE=30º∴DE=AE×tan30 º =30×33=10 3 …………………（7分）A B C DE∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9分）答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ……………………（10分） （注：不作答不扣分）8．（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）【答案】ABC DEA解：设CD = x ． 在Rt △ACD 中，tan37ADCD︒=， 则34AD x =， ∴34AD x =.在Rt△BCD 中， tan48° =BDCD， 则1110BD x=， ∴1110BD x =. (4)分∵AD ＋BD = AB ， ∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． (6)9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平地面上。

（1） 改善后滑滑板会加餐长多少米？（2） 若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。

1.414= 1.732= 2.449=，以上结果均保留到小数点后两位）。

【答案】10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．ABCD 3045第20题图【答案】解：在Rt △AFG 中，tan AG AFG FG∠=∴tan AG FG AFG ==∠……………（2分）在Rt △ACG 中，tan AGACG CG∠=∴tan AG CG ACG=∠…………（4分）又 40CG FG -= 即40=∴AG =…………………………（7分）∴ 1.5AB =（米）答：这幢教学楼的高度AB为 1.5)米．（8分）11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.(1) 说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.【答案】(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,由条件知, PB = 320, BPQ = 30°, 得BH= 320sin30° = 160 < 200,∴本次台风会影响B市. ---4分(2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200,∴P 1P 2 = 222160200-=240,--- 4分∴台风影响的时间t =30240= 8(小时).--- 2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD ，如图（单位：米）．设路基高为h ，两侧的坡角分别为α和β，已知2=h ，︒=45α，21tan =β，10=CD ．（1）求路基底部AB 的宽；（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？【答案】1）作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，则2==CF DE ，在Rt △ADE 中，∵︒=45α，∴2==DE AE ．在Rt △CFB 中，∵21tan =β，∴21=BFCF，∴42==CF BF ． 在梯形ABCD 中，又∵EF ＝CD ＝10， ∴AB ＝AE ＋EF ＋FB ＝16（米）． …6分 （2）在梯形ABCD 中，∵AB ＝16，10=CD ，2=DE ， ∴面积为262)1610(21)(21=⨯+=⨯+DE AB CD （平方米），αβABCED F（第21题）αβABCD （第21题）∴修筑1000米路基，需要土石方：26000100026=⨯（立方米）． …4分13．（2010浙江绍兴）如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球 沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气 球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）.【答案】解:(1) 作CD ⊥AB ,C /E ⊥AB ,垂足分别为D ,E.∵ CD ＝BD ·tan60°,CD ＝（100＋BD ）·tan30°,∴（100＋BD ）·tan30°＝BD ·tan60°, ∴ BD ＝50, CD ＝503≈86.6 m ，∴ 气球的高度约为86.6 m.第20题图第20题图(2) ∵ BD ＝50, AB ＝100, ∴ AD ＝150 ,又∵ AE ＝C /E ＝503, ∴ DE ＝150－503≈63.40， ∴ 气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?【答案】(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BCAB =25.44≈0.94，∴∠D ≈20°．（2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， 共需台阶28.9×100÷17=170级．15．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶P 处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为60º，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30º（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）（第19题）第20题图A PO B图②【答案】由题意知∠PAO ＝60º，∠B ＝30º，在Rt △POA 中，tan PO PAO OA∠=，30tan 60OA︒=，OA ＝30，在在Rt △POB 中，tan PO B AB=，30tan 30OA︒=，OA ＝303＝，∴AB＝OB －OA＝－16．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60和45．求路况显示牌BC 的高度．【答案】解：在Rt △ABD,AB ＝3m ，∠ADB ＝45°所以333tan tan 451AB AD ADB ====∠．Rt △ACD 中，AD ＝3m ，∠ADC ＝60°所以tan 3tan 603AC AD ADC ==⨯==所以路况显示牌BC 的高度为()333－m ．17．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？（2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732） 全品中考网【答案】解：（1）分别过A ，B 作地面的垂线，垂足分别为D ，E ．AB45° 60°CED (第19题在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°，∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m ∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高．（2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°，∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．18．（2010 山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山AB 45° 60°C ED B C E坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？【答案】解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，∴BG =AB·sin600=203，AG = AB·cos600=20同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，∴AF=EF=BG=203，∴BE=FG=AF-AG=20(13-)米.19．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度3=i，山坡长为2401∶米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）【答案】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC 中，由3:1=i 得tan C =3331=∴∠C =30°∴AD =21AC =21×240=120(米) 在Rt△ABD 中，∠B =45°∴AB ＝2AD ＝1202（米） 1202÷（240÷24）＝1202÷10＝122（米/分钟）答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ．20．（2010江苏无锡）在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．N M 东北B CA l【答案】解：（1）由题意，得∠BAC =90°，∴BC ==．∴轮船航行的速度为43=km/时．(2)能．……（4分） 作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，设直线BC 交l 于F ，l 东则BD =AB ·cos ∠BAD =20，CE =AC ·sin ∠CAE=，AE =AC ·cos∠CAE =12． ∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BDF =∠CEF =90°．又∠BFD =∠CFE ，∴△BDF ∽△CEF ，∴,DF BD EF CE =∴32EF EF +=，∴EF =8．∴AF =AE +EF =20． ∵AM ＜AF ＜AN ，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN 靠岸．21．（2010湖南邵阳，22，8分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10米（AB ＝10米），坡角为20°30`（∠BAC ＝20°30`）的斜坡通道改造成坡角为12°30`（∠BDC ＝12°30`）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处，求改造后的斜坡通道BD 的长。