全国教师资格考试高中数学(供参考)
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2015年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力(高级中学)
一、 选择题 1.若多项式()432341f x x x x x =+---和()321g x x x x =+-- ,则f (x )和g (x )的公因式为
A.x+l
B.x+3
C.x-1
D.X-2
【解析】A :由辗转相除法可得
2.已知变换矩A =[1
000
200
03],阵则A 将空间曲面(x −1)2+(y −2)2+(Z −1)2=1 变成
A. 球面
B. 椭球线
C. 抛物线
D. 双曲线 【解析】B :由已知的条件设曲面经矩阵A 变化后为 [1
000
20003][x y z
]=[x 2y 3z ]=[ x 'y 'z ']
, 则x= x ', y=12y ', z=13y '故其方程为
(x −1)2+(12y −2)2+(13Z −1)2=1;
3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况,甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本,若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β (单位:cm 阴阳、严的大小关系为
A. α>β
B. α<β
C. α=β
D.不能确定
【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定;
4.已知数列{a n }与数列{b n },n=1,2,3…则下列结论不正确的是
A . 若对任意的整数n,有a n ≤b n ,lim n→∞
b n =b,且b <0,则a <0;
B . 若lim n→∞
a n =a,lim n→∞
b n =b,且a
C . 若lim n→∞a n =a,lim n→∞b n =b,且存在正整数N ,使得当n>N 时,a n ≥b n 则
a >b
D .
若对任意的正整数n,有a n ≥b n ,lim n→∞a n =a,lim n→∞
b n =b,且b>0,则a>0
【解析】B:取a n =1n ,b n =1−1
n ,lim n→∞a n =0,lim n→∞b n =b,0<1,而a 1=1>
b 1=0, a 1=b 1=1
2
,因此结论不正确; 5. 下列关系不正确的是
C.(a
⃗∙b ⃗⃗)2+(a ⃗×b ⃗⃗)2
=a ⃗2b ⃗⃗2 D. (a ⃗×b ⃗⃗)×c ⃗=(a ⃗∙c ⃗)b ⃗⃗+(b ⃗⃗∙c ⃗)a ⃗
【解析】B: 由向量积的性质可得(a ⃗+c ⃗)×b ⃗⃗=a ⃗×b ⃗⃗+c ⃗×b
⃗⃗ A.(-3,3) B.(−13,13] C.[−13,1
3) D. [-3,3] 7. 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是
A .贝利-克莱因运动 B.大众教学
C .新数学运动 D.PISA 项目
【解析】A: 第一次数学课程改革发生在20世纪初,史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向大众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想;德国数学家克莱因认为,数学教育的意义、内容、教材、方法等,必须
紧跟时代步伐,结合近代数学和教育学的新进展,不断进行改革。
8. 《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五种基本能力,其中不包括
A. 抽象概括
B. 推理论证
C. 观察操作
D. 数据处理
【解析】C: 《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五项基本能力,包括:抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解;
二、 简答题
9. 一条光线斜射在一水平放置的平面上,入射角为6π
,请建立空间直角坐标系,并求出反射光线的方程. 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周,求出旋转曲面的方程。
[解析] 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系,如下图:
则入射光线所在直线过原点且在yoz 坐标面上,所以入射光线的直线方程为
若将反射光线绕法线旋转一周,也就是绕z 轴旋转一周,则得出旋转曲面的方
11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 线性无关。
[解析](1)若向量11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关时,满足方程组的系数矩
阵的秩等于增广矩阵的秩相等这一条件,则方程组有解。
先证明唯一性:设方程组有两个解:
即111213212223,(1)
,(2)x v y v z v d x v y v z v d ++=++=
两式作差得()()()1211221230x x v y y v z z v -+-+-=
因为11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关
所以1212120x x y y z z -=-=-=
11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关,所以存在不全为0的实数使得
1112130x v y v z v ++=,
组有唯一解矛盾。